第五章 问题解决策略：转化-【教材笔记】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版·新教材）

间题解决策略：转化 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题。转 化是解决数学问题的一种重要策略。 问题如图5-23，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工 作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间。你认为该储 物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 即大门到储物点的连线与储物点到车 大门@ 间的连线总长度最短 。车间 道路 图5-23 理解问题 如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线， 那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。 拟订计划 “最短”易想到两点之间线段最短 (1)你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你有哪些认识？ (2)相信你能解决以下问题：如图5-24，直线1的两侧分别有A,B两点， 在直线1上确定一个点C,使AC+CB最短。原问题与图5-24这个问题有什么 区别和联系？：你能将原问题转化为图5-24这样的问题吗？说说你的想法。 连接AB,AB与直线 原问题中的道路可以 L的交点即为点C A。 >看作直线1，大门可以 看作点A,车间可以 看作点B关于直线U ·B 的对称点 图5-24 136教材笔记数学七年级下册BS 实施计划 写出你的解决方案，并说明道理。 小明的思考过程如下。 一一一一一一一一直线1就是我段BB的垂直平分线 如图5-25，作点B关于1的对称点B',根据轴对称的性质，对于11 上任意一点C,都有BC=B'C,因此AC+BC=AC+B'C,问题转化为： 1 在直线L上确定一个点C,使AC+B'C最短。 根据“两点之间线段最短”，连接AB',与l交于点C,点C就是所 要确定的点。 1 解决“在直线上我一点，使这点到直线外两个定 1点的距离之和最短”的策略： ！(1)当两点在已知直线的异侧时，直接连接这 两点，所连线段与已知直线的交点即为要我的点。 0 (2)当两点在已知直线的同侧时，先以已知直 线为对称轴作出其中一点的对称点，再与另一点 「相连，所连线段与已知直线的交点即为要我的点。 图5-25 回顾反思 (1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ (2)利用转化策略解决问题时，需要注意些什么？ 答案不唯一。例如，运用转化策略解< 决问题时应当实施等价转化。 在这个问题中，小明利用轴对称，将两点位于直线同一侧的问题，转化 为两点分别位于直线1两侧的问题，从而使问题得以解决。通过转化，可以把 一个问题转化为与它等价的问题，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉 的目的。 请用转化策略解答下列问题。 1.如图5-26，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，求图 中阴影部分的面积。1.图中阴影部分的面积为受-1。 第五章 图形的轴对称137 可以将正方形 看成是由四个 可以将阴影 半圆叠放在一 部分的面积 起形成的，重 叠部分的面积 转化为好国 就是阴影部分 的面积进行 的面积 下、 图5-26 图5-27 计算 2.如图5-27，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形。以点 B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A,C两点，连接AF。求 图中阴影部分的面积。2.图中阴影部分的面积为π。 3.（1)有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取， 每次取的棋子数量不限，但不能不取。规定取得最后一枚者获胜。你认为获胜 的策略是什么？ (2)如果两堆棋子的数量不相等，获胜的策略又是什么？ 3.（1）如果两堆棋子的数量相等，那么后取者有必胜策略：当先取者从其中一 堆取了棋子后，后取者从另一堆取相同数量的棋子，这样就保证两人每次取完 棋子后，两堆剩余棋子的数量始终保持相等，直到对方把一堆取完了，后取者 就能保证取到最后一枚棋子，从而获胜。 (2)如果两堆棋子的数量不相等，那么先取者有必胜策略：先取者从棋子多的 一堆取若千棋子，使两堆剩余棋子的数量相等，便可将问题转化为(1)中的情形。 4.如图5-28，定点P位于∠AOB的内部，在射线OA和OB上分别确定点M, N,使得△PMN的周长最小。 4.如图5-28，分别作点P关于 射线OA和OB的对称点P1, P2;连接PP2,分别交射线OA 和OB于点M,N,连接PM, PN,此时PM+MN+NP=PM+ MN+NP2=PP2,△PMN的周 长最小。 B 图5-28 138教材笔记数学七年级下册BS