第37期 4.2 全等三角形 4.3 探索三角形全等的条件(1)（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理极 品味方法 EF. 因为AE平分∠CAB, 截长补短来帮忙 所以∠FAE ∠BAE. 在△AEF和△AEB中， 因为AF=AB,∠FAE ◎山西江鸿哲 =∠BAE,AE=AE, 图3 所以△AEF兰△AEB(SAS). 问题：如图1，已知AC∥ 因为AC∥BD, 所以EF=EB,∠F=∠ABE. BD,AE,BE分别平分∠CAB 所以∠C+∠D=180° 因为BE平分∠DBA, ∠DBA,且CD经过点E,试判 又因为∠EFB+∠AFE=180°， 所以∠ABE=∠DBE. 断AB与AC+BD的数量关 所以∠EFB=∠D. 所以∠F=∠DBE. 系，并说明理由. 因为BE平分∠DBA. 因为AC∥BD, 方法一：截长法 所以∠FBE=∠DBE, 所以∠ECF=∠D 思路分析：在线段AB上截取AF=AC,连接 在△BEF和△BED中， 在△CEF和△DEB中， EF,根据“SAS”可得△CAE≌△FAE,则∠C= 因为∠EFB=∠D,∠FBE=∠DBE,BE 因为∠ECF=∠D,∠F=∠EBD,EF= ∠AFE,从而得出∠EFB=∠D.根据“AAS”可 BE. EB. 得△BEF≌△BED,则BF=BD,从而得到AB 所以△BEF≌△BED(AAS) 所以△CEF兰△DEB(AAS) 与AC+BD的数量关系. 所以BF=BD. 所以FC=BD. 解：AB=AC+BD.理由如下： 因为AB=AF+BF 因为AB=AF=AC+FC, 如图2，在AB上截取 所以AB=AC+BD 所以AB=AC+BD. AF=AC,连接EF 方法二：补短法 温馨提示：截长法和补短法是解决全等三 因为AE平分∠CAB 思路分析：延长AC到点F,使AF=AB,连角形中线段的和、差、倍、分等题目的常用方法 所以∠CAE 接EF.根据“SAS”可得△AEF≌△AEB,则∠F若题目的条件或待求结论中含有“a=b+c”,需 ∠FAE. =∠ABE,EF=EB.再根据“AAS”可得△CEF要添加辅助线时，应考虑截长法或补短法，其具 在△CAE和△FAE中， ≌△DEB,则FC=BD,从而得出AB与AC+BD 体做法为：在最长的线段上截取一条线段与较 因为AC=AF,∠CAE=∠FAE,AE=AE, 的数量关系. 短的线段相等，或是将一条较短的线段延长，使 所以△CAE兰△FAE(SAS). 解：AB=AC+BD.理由如下： 之与最长的线段相等，再利用全等三角形的知 所以∠C=∠AFE. 如图3，延长AC至点F,使AF=AB,连接识进行说明. +十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十+十…十十+十十…十+十十++十+十十十+十十十+++十十+十++… 第36期2版参考答案 6.因为CE平分∠ACD,∠DCE=35°，所以∠ACD 16.因为∠BED=40°，所以∠AEB=180°-∠BED 4.1认识三角形 =2∠DCE=70° =140° 4.1.1.1认识三角形 因为AD为BC边上的高，所以∠ADB=90°.所以又因为∠BAD=25°，所以∠ABE=180°-∠BAE 基础训练1.C;2.8,4,BE,∠BEC; ∠CAD=90°-∠ACD=20°. -∠AEB=15°. 3.(1)5,9;(2)37,(4n-3). 又因为∠BAC:∠CAD=3:2,所以∠BAC=30° 因为BE为△ABD的角平分线，所以∠ABC= 4.1.1.2三角形的内角和 所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=50.所以∠B=2LABE=30 基础训练1.A;2.D;3.35°；4.50° 90°-∠BAD=40°. 因为AF是△ABC的高，所以∠AFB=90°.所以 5.因为∠B=35°，∠ACB=85°，所以∠BAC= 能力提高7.依照题意画出图形，如图所示 ∠BAF=90°-∠ABF=60°. 180°-∠B-∠ACB=60°. 17.(1)因为1a-b1+(b-c)2=0,所以a-b= 0,b-c=0. 因为AD平分∠BAC,所以∠DAC=2∠BAC= 所以a=b,b=c.所以a=b=c.所以△ABC是等 30°.所以∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=65°. 边三角形 因为PE⊥AD,所以∠EPD=90°，即△EPD是直角 (2)因为a=5,b=2,所以5-2<c<5+2,即3 三角形.所以∠E=90°-∠PDE=25 <c<7. 4.1.2三角形的三边关系 图 2 因为三角形的周长为奇数，所以c是偶数.所以c 因为AD为△ABC的高，所以∠ADC=90°， 基础训练1.C;2.C;3.3. ①当△ABC是锐角三角形时，如图1所示 4或6. 4.(1)在△ABC中，因为AB=7,BC=2,所以AB- (3)由三边关系，得a-b<c,b-c<a,a+b>c. 在Rt△ACD中，因为∠CAD=20°，所以∠C=90 BC AC AB+BC,5 <AC <9. 所以原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a -∠CAD=70°.又因为∠B=40°，所以∠BAC=180° (2)因为△ABC的周长为偶数，AB+BC=9,为奇 +3b-c. -∠B-∠C=70°. 数，所以AC的长为奇数. 18.(1)120°，155°， 因为5<AC<9,所以AC=7=AB.所以△ABC的 又因为AE平分LBAC,所以LCAE=7LBAC= (2)猜想：∠BPC=90°+7∠A.理由如下： 周长为：9+7=16，是等腰三角形 35°.所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=15°. 能力提高5.(1)当腰长是8cm时，三角形的三边 因为△ABC的两条角平分线交于点P,所以∠PBC ②当△ABC是钝角三角形时，如图2所示 长分别为8cm,8cm,9cm,满足三角形三边关系，所以周 在△ABD中，∠B=40,∠ADC=90,所以∠BMD=号∠ABC,∠PCB=号∠ACB 长为：8+8+9=25(cm); =90°-∠B=50°. 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠PBC 当腰长是9cm时，三角形的三边长分别为8cm, 所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=30°. 9cm,9cm,满足三角形三边关系，所以周长为：8+9+9 +∠PCB=18O,所以∠BPC+2(LABC+LACB)= =26(cm). 又因为AE平分∠BAC,所拟∠CAE=2∠BAC= 综上所述，等腰三角形的周长为25cm或26cm. 15°.所以∠DAE=∠CAD+∠CAE=35. ∠BPC+7(180°-LA)=180°.所以∠BPC=90°+ (2)当腰长是6cm时，其他两边的长分别为6cm, 16cm,因为6+6=12<16，所以不能组成三角形； 综述，人A8C的高D与角平分线5的夹角的？∠L 度数为35°或15°. 当底边长是6©m时，腰长为：7×(28-6)= 第36期3版参考答案 (3)由(2)，得∠P=90°+号∠A,∠P=90°+ 一、 11(cm),此时三角形的三边长分别为6cm,11cm, 题号12345678 11cm,满足三角形三边关系. 答案BD D C D CAB 综上所述，其他两边的长分别为11cm,11cm 二、9.50°；10.26；11.7；12.115； 所以∠P=90°+7∠P=90°+2(90°+ 4.1.3三角形的高、中线和角平分线 13.4cm2;14.125°或55°. 基础训练1.B;2.A;3.B;4.55;5.4. 三、15.图略. 2LA)=135°+4∠A （下转1,4版中缝) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话： 初中数学 0351-5271268 2026年3月10日·星期二 报纸发行质量反馈电话： 数理超 第 37期总第1181期 北师大 0351-5271248 七年级 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 邮发代号：21-43 附加题 1 (1)△ABC是 入门向导 三倍角三角形”.理由 本周往饼 如下： 因为∠A=35 伴你走进全等的世界 4.2全等三角形 ∠B=40°，所以∠C 学习目标：理解全等三角形的概念，能识 180°-∠A- /B 1050 别全等三角形中的对应顶点、对应边、对应角， =35°×3=3∠A. ◎江西 郭春花 所以△ABC是“ 认知重点：掌握全等三角形的性质 倍角三角形” 全等三角形是平面几何领域极为重要的研 三、全等三角形的性质与判定 4.3探索三角形全等的条件(1) (2)因为∠B= 30°，所以∠A+∠C= 究工具，为攻克复杂的几何难题搭建了理论与 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相 学习目标：1.了解三角形的稳定性 150 方法的桥梁接下来，让我们一同推开全等知识等，周长相等，面积相等，对应边上的高、中线和 2.掌握判断三角形全等的条件，并能在解 设最小内角的度数 世界的大门，探索其中的奥秘 角平分线相等 题中进行有条理的说明」 为x ①当3x=30°时 一、正确理解全等三角形的含义 判定：三边分别相等的两个三角形全等；两 认知重点：掌握运用三角形判定方法说明 =10°，满足题意； 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角角及其夹边分别相等的两个三角形全等；两角 三角形全等，会解决相关求边、角问题， ②当x+3x=150 时，解得x=37.5°，因 形.互相重合的顶点边、角分别叫作对应顶点、分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 =∠D,AC=DB,所以△AEC≌△DFB(SAS) 为30°<37.5°，不满足 对应边、对应角，我们也把它们称为全等三角形角形全等；两边及其夹角分别相等的两个三角 (2)如图3，过点E 题意，舍去； 的对应元素点A与点D,点B与点E,点C与点形全等 ③当x=30°时， 作EH⊥AC于点H,过点 30°×3=90°，180° F对应时，△ABC与△DEF全等可记为△ABC 例 如图2，点A F作FM⊥AC于点M. 30°-90°=60°，满足题 ≌△DEF B,C,D在同一条直线上， 意 综上所述，△ABC 二、准确辨认全等三角形的对应元素 AB =CD 所以54c 中最小内角的度数为 辨认全等三角形的对 3BC.AE 10°或30°. 应元素，最简单也是最有 DF,AE∥DF EH,SAREC 2BC·EH 2.(1)①因为 ∠ACD=140°，所以 效的方法是：先找全等三 (1)试说明： 因为AB= BC,所以BC=3 AC. ∠ACB=180°-∠ACD 角形的对应顶点，再确定 △AEC≌△DFB: 3 40°. 对应边和对应角.如图1， 图 因为SA4Bc=6,所以S△mc=4.5. 又因为∠A=80° (2)若S△4Bc=6,求四边形BECF的面积 所以∠ABC=180 若△ADE二△BCE,∠1与∠2是对应角，AD与 解：(1)因为AE∥DF,所以∠A=∠D. 因为△AEC≌△DFB,所以SAAFC=S△DFB ACB-∠A=609 BC是对应边，则AE与BE是对应边，DE与CE是 因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC, 所以EH=FM. 因为BE平分 LABC,所以∠ABH 对应边，∠D与∠C是对应角，∠AED与∠BEC即AC=DB. 所以SAREC=SACFR ∠CBP= ∠ABC 是对应角， 在△AEC和△DFB中，因为AE=DF,∠A 所斤以S四边形BEcF=2S△BEc=9. 2 十十 十十十十十十十十十十十十十十。十十 因为CP∥AB,所 AC=DF,∠C=∠F,所以△ABC≌ 以∠BPC=∠ABP 专题辅导日 △DEF(ASA). 30 ②当CP⊥AC时 添加维判定全 所以BC=EF ACP=90°： 三、已知一边、一角对应相等 当CP⊥BC时 ∠BCP=90°，所以 AB DE, 安徽 杨文柏 已知条件 ACP=∠BCP ∠B=∠E ∠ACB=50°： 判定两个三角形全等的方法有“SSS” 等或第三边对应相等 当CP⊥AB时， “ASA”“AAS”“SAS”,它们都需要三个条件，而 添加AC=DF或∠ACB=∠F或∠B 找已知角的另一邻边对应相等：首先判断 方法 ∠ACP=90°-∠BAC= 常见的试题却往往只给出两个明显的已知条 ∠E,不能判定△ABC≌△DEF; BC=EF,然后应用“SAS”判定全等 10°. 综上所述，当直线 件，面对“二缺一”的局面，到底选择哪种方法来 添加∠A=∠FDE,根据“SAS”可判定 找已知边的另一邻角对应相等：首先判 方法二 CP与△ABC的一条边 判定呢？现列举添加条件三例，供同学们参考。 △ABC≌△DEF ∠A=∠D,然后应用“ASA”判定全等 垂直时，∠ACP的度数 、已知两边对应相等 故选B. 找已知边的对角对应相等：首先判定∠C 为90°或50°或10 方法三 (2)因为CP平分 二、已知两角对应相等 =∠F,然后应用“AAS”判定全等 AB=DE ACD,所以∠PCD= BC =EF 例3 如图3，已知 LACD=(180° ∠A=∠D, 知条 点A,D,E共线，∠1= 找第三边对应相等：首先判断AC=DF,然 LB=∠E ∠ACB)= 后应用“SSS”判定全等 ∠2，请你添加一个条 LABC). 找已知两角的夹边对应相等：首先判断AB 件： ,使△ABD 找已知两边的夹角对应相等：首先判断∠B 万去 因为∠BPC 方法二 DE,然后应用“ASA”判定全等 ≌△ACD. ∠PBC ∠BCP :∠E,然后应用“SAS”判定全等 十 180°，∠PCD+∠BCE 找已知一角的对边相等：首先判断AC=D 解析：由∠1=∠2，通过“等角的补角相 例1 如图1，AB= =180°，所以∠BPC 或者BC=EF,然后应用“AAS”判定全等 等”可得∠ADB=LADC,然后根据判定方法 LPCD 一 ∠CBP DE,AD=CF,添加下列 条件，能判定△ABC≌ 例2 如图2，△ABC “AAS”“ASA”“SAS”尝试添加条件 2(∠A+∠ABC) △DEF的是 ( 的顶点A,B和△DEF的顶 添加∠B=∠C,可用“AAS”判定两个三角 ∠ABC= 2<A A.AC DF 点D,E在一条直线上，且 形全等； 40°，即∠BPC的度数为 B.∠A=∠FDE ∠A=∠EDF,∠C=∠F, 添加∠BAD=∠CAD,可用“ASA”判定两 40° C.∠ACB=∠F 请你再添加一个条件使得 个三角形全等； (全文完) D.∠B=∠E BC=EF,并说明理由 添加BD=CD,可用“SAS”判定两个三角 解析：因为AD=CF,所以AD+CD=CF+ 解：答案不惟一，如添加的条件为AC= 形全等 CD,即AC=DF.要判定△ABC兰△DEF,已经DF.理由如下： 故填∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD 有两边对应相等，应添加这两边的夹角对应相 在△ABC和△DEF中，因为∠A=∠EDF,=CD. 素养专练 数理极 3.如图3，点D,A,E,B在同一直线上，已知 5.如图5，已知BC=DE,∠C=∠E,∠BAD 跟踪训练 EF=BC,DF=AC,DA=EB.试说明：△DEF≌ =∠CAE.试说明：△ABC兰△ADE. △ABC. 】 GEnzoNGXUNLIAN 4.2全等三角形 屋础训练 1.如图1，已知△A0B≌△COD,点A是点C 的对应点，下列结论不一定正确的是 6.已知：如图6，AD,BC交于点0，AB∥CD ( A.∠B=∠D B.∠AOB=∠COD OA=OD,点E,F在直线AD上，且∠E=∠F.试 C.AC BD D.AB =CD 说明：BE=CF. 4.如图4，DB=BC,ED=AB,E是BC的中 点，且AC=2BC 图1 图2 2.如图2，△EFG兰△NMH,点H,G在线段 (1)试说明：△ABC≌△EDB; EN上，若EN=5,NG=1.5,则HG的长为 (2)试判断AC和BD的位置关系，并说明理 由 3.如图3，已知△ABC兰△DEB,点E在AB十 4.3.3边角边(SAS) 上，DE与AC相交于点F,若DE=10,BC=4,∠D 堡础训练 =30°，∠C=70°. (1)求线段AE的长； 1.在△ABC和△DEF中，下列给出的条件， (2)求∠DBC的度数. 能用“SAS”判定这两个三角形全等的是() A.AB=DE,BC=DF,∠A=∠D B.AB=EF,AC=DF,∠A=∠D C.AB=BC,DE=EF,∠B=∠E D.BC=EF,AC=DF,∠C=∠F 2.如图1，这是折叠凳及其侧面示意图.已知 AC CD BC CE 25 cm,DE =40 cm,AB 4.3.2角边角(ASA)、角角边(AAS) cm. 4.3探索三角形全等的条件(1) 垦砂训练 4.3.1边边边(SSS) 1.王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如 垦础训练 图1所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完 全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是() 图1 1.黔东南州黄平县有目前已知国内外仅有的 A.只携带①去 B.只携带②去 3.如图2，已知DE∥AB,DF∥BC,DE= 处修建于三个不同历史时期的桥梁群一一“重 C.只携带③去 D.携带②和③去 BC,FD=AB,AB,DF交于点G.试说明：∠F 安三朝桥”.如图1-①，其中处于中间的钢桁构 ∠A. 桥侧面有很多钢架结构，示意图如图1-②所示， 其中蕴含的数学原理是 2 图1 图2 2.如图2，已知∠ACB=∠BDA,只要再添加 ② 图1 个条件： ,就能使△ACB≌△BDA(填 A.三角形具有稳定性 一 个即可) B.四边形具有不稳定性 3.如图3，△ABC中BC边上的高为h1,△DEF 4.如图3，已知BC=ED,AB=AE,∠B= ∠E,F是CD的中点，试说明：AF⊥CD. C.两点之间，线段最短 中DE边上的高为h2,则h, h2(填 D.垂线段最短 “>”“=”或“<”). 2.如图2-①是一乐谱架，利用立杆可进行 高度调节，图2-②是底座部分的平面图，其中支 撑杆AB=AC,点E,F分别为AB,AC的中点，ED, 113 FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED=FD.立 图3 杆在伸缩过程中，总有△AED≌△AFD,其判定 依据是 4.已知一个三角形的两角分别为∠α，∠B, 夹边为c,如图4，求作这个三角形. B 数理报社试题研究中心 图4 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 17.(12分)如图16，已知△ABC和△CDE均 同步达标检测题（七） 为直角三角形，∠ACB=∠CED=90°，AC=CE, AB⊥CD于点F. (1)试说明：△ABC≌△CDE; ■ TONG BU DA BIAO JIAN CE TI (2)连接AE,若EA平分∠CED,∠D=60° 【检测范围：4.24.3(1)】 求∠EAB的度数： 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 如图8，盛李豪在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪 题号 2 34 678 三角形，这种方法应用的几何原理是 答案 1.如图1，已知△ABC兰 △DFE,则AC的对应边是 A.DF B.EF 图8 C.DE D.EC 10.如图9，△A0D兰△B0C,∠A=30°，∠C 图1 =50°，∠A0C=145°，则∠B0D= 18.(14分)如图17-①，在四边形ABCD中 2.如图2，AB=AC,AD=AE,则△ABE兰 △ACD的理由是 11,如图10，在3×3的正方形网格中，每个小AB=MD,∠B=∠D=90,E,F分别是边BC,CD A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 正方形的边长都是1，则∠ABC与∠EDF的和为 上的点，连接AB,AF,EF,∠EAF=之∠BAD,试探 究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是延长EB到 点G,使BG=DF,连接AG,先说明△ABG≌ △ADF,再说明△AEG≌△AEF即可得出结论，他 的结论应是 (2)如图17-②，在四边形ABCD中，AB= 图2 图10 11 AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的 3.如图3，△ABC兰△CDA,∠B=60°，∠BCA 12.如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC,连 =40°，则∠ACD的度数为 ( 点，且∠BAF=)∠BAD,请断(1)中结论是否 A.90° B.80° C.60°D.40° ）接AC,∠BAC=90°，AC=8,AB=6,0是AC的中 仍然成立，并说明理由 4如图4，∠A0B=90°，LA0C=56°，以点0为的面积为 点，连接DO并延长，交BC于点E,则图中阴影部分 圆心，任意长为半径画弧①，分别交OB,OC于点M, 13.如图12，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 V,再以点N为圆心，MW长为半径画弧，交弧①于点 点D,E,BE,CD相交于点F,连接AF.若BD=CE, D,画射线OD.则∠COD的度数为 则图中的全等三角形一共有 A.22 B.32 C.34 D.56° 图12 13 图4 图5 14.如图13，在四边形ABCD中，AB=12cm,BC 5.如图5，点C,F,A,D在同一条直线上，∠C =8cm,CD=14cm,∠B=∠C,点E为线段AB的 =∠EFD,BC=EF,添加一个条件，不能判定中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向 △ABC≌△DEF的是 ( 点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运 A.CF AD B.∠B=∠E 动.当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使 C.AB DE D.AB∥DE △BPE与△CPQ全等. 附加题⊙ 6.根据下列已知条件，能画出惟一的△ABC 三、耐心解一解（共44分） (以下试题供各地根据实际情况选用) 的是 15.(8分)如图14，点D在△ABC的边BC上 1.(10分)如图1，在△ABC中，D为边BC上 A.∠C=90°，AB=6 (1)求作△DEF,使△DEF兰△BCA,并满足 B.AB=4,BC=3,∠A=30° 点，E为边AB上一点，且AE=CD,连接AD,F为 点E在BC的延长线上，DF∥AB(请用尺规作图， C.AB =3,BC =4,CA =8 AD的中点，连接EF并延长，交AC于点G,在FG上 不写作法，保留作图痕迹)； D.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 取点H,使FH=FE,连接HD,GD.若HG=CG,试 7.如图6，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，△BCA的理由. (2)根据你的作图方法，试说明△DEF≌ 说明： (1)△AEF≌△DHF: ∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E,若 (2)∠B=2∠GDC. △ABC与△CDE的周长分别为15和3，则AB的长 为 ( A.3 B.6 C.9 D.12 图14 16.(10分)如图15，B,C,D三点在同一条直 线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=5, 图1 BC=12,CE=13. 2.(10分)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB= 图6 (1)求△ABC的周长； 90°，在Rt△ECD中，∠ECD=90°，BC=CD (2)求△ACE的面积 ∠BAC=∠DEC. 8.如图7，D为△ABC内一点，AC=BC=BP (1)试说明：AB=ED; AD=BD,∠DBP=∠DBC,∠C=62°，则∠BPD (2)连接AD,连接BE交AC于点F,若点F恰 的度数为 ( A.20° B.28° C.30° D.31° 好是BE的中点，试猜想AD与CF的数量关系，并 说明理由. 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.2024年7月29日，在巴黎奥运会男子10米 数理报社试题研究中心 气步枪决赛中，盛李豪打破奥运会纪录夺得冠军 图1 (参考答案见下期)