4.4 利用三角形全等测距离 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形教师以生活场景提问导入：同学们，我们在生活中经常能看到三角形的身影——屋顶的框架、自行车的车架、三角尺、交通标志中的警示标志，这些图形都有什么共同特点？它们为什么都设计成三角形的形状呢？ 邀请学生自由发言，分享自己观察到的三角形特点，教师点评总结：这些图形都是由三条线段围成的封闭图形，三角形不仅美观，还具有独特的稳定性，这也是它在生活中广泛应用的原因。今天我们就正式开启第四章——三角形的学习，本节课我们将探究三角形的定义、分类、构成要素及基本性质，为后续深入学习打下基础。 二、探究新知，突破重点（18分钟） （一）三角形的定义与构成要素 1. 概念探究：出示一组图形（三角形、四边形、五边形及不封闭的三条线段），引导学生分组讨论，找出三角形的共同特征，区分三角形与其他图形的差异。 师生共同总结：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫作三角形。强调两个核心条件：① 三条线段不在同一直线上；② 首尾顺次相接、封闭，缺一不可。 2. 构成要素：结合画出的三角形ABC，讲解三角形的组成部分： （1）边：组成三角形的三条线段，记作AB、BC、AC，三角形的三边可以用小写字母表示，即a（BC）、b（AC）、c（AB）； （2）顶点：三条线段的交点，即A、B、C三个点； （3）内角：三角形相邻两边组成的角，记作∠A、∠B、∠C，三个内角的和为180°（暂不推导，重点感知）。 补充说明：三角形可以记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，规范三角形的表示方法，避免书写错误。 （二）三角形的分类 1. 按角分类：引导学生观察不同的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），根据内角的大小分类： （1）锐角三角形：三个内角都是锐角（小于90°）的三角形； （2）直角三角形：有一个内角是直角（等于90°）的三角形，直角所对的边叫作斜边，另外两条边叫作直角边； （3）钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形。 强调：一个三角形中最多有一个直角或一个钝角，不可能有两个及以上的直角或钝角，结合图形让学生快速识别各类三角形。 2. 按边分类：根据三角形三边的长度关系，分为： （1）等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角； （2）等边三角形：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形； （3）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 （三）三角形的三边关系 1. 动手探究：引导学生用准备好的小木棒（长度分别为3cm、4cm、5cm，2cm、3cm、6cm，4cm、4cm、5cm），尝试拼出三角形，观察哪些组合能拼成三角形，哪些不能。 2. 规律总结：结合操作结果，师生共同推导三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 举例示范：判断3cm、4cm、5cm能否组成三角形，3+4>5，3+5>4，4+5>3，满足三边关系，能组成三角形；2cm、3cm、6cm，2+3<6，不满足，不能组成三角形。 强调：“任意”二字的含义，即三条边中任意两条边的和都要大于第三边，缺一不可。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列图形是否为三角形，并说明理由： （1）三条线段首尾顺次相接，但有两条线段在同一直线上；（2）由三条线段组成，但不封闭；（3）不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接。 解析：（1）不是三角形，理由：三条线段中有两条在同一直线上，不符合“不在同一直线上”的条件；（2）不是三角形，理由：图形不封闭，不符合三角形的定义；（3）是三角形，理由：满足“不在同一直线上、三条线段首尾顺次相接、封闭”的条件。 例2：已知一个三角形的两边长分别为4cm和6cm，求第三边的取值范围。 解析：根据三角形三边关系，设第三边长为x cm，可得：6-4<x<6+4，即2<x<10，所以第三边的取值范围是大于2cm且小于10cm。 例3：判断下列三角形按角和按边分别属于什么三角形： （1）三边为5cm、5cm、7cm，内角分别为70°、70°、40°；（2）三边为3cm、4cm、5cm，内角分别为37°、53°、90°；（3）三边为2cm、3cm、4cm，内角分别为30°、60°、90°。 解析：（1）按边：等腰三角形；按角：锐角三角形；（2）按边：不等边三角形；按角：直角三角形；（3）按边：不等边三角形；按角：直角三角形。 补充说明：判断三角形类型时，按角看最大内角的度数，按边看三边的长度关系，灵活运用分类标准。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列各组线段能否组成三角形，说明理由；（1）2cm、3cm、4cm；（2）1cm、2cm、3cm；（3）5cm、5cm、5cm。 2. 提升题：一个三角形的两边长为3cm和8cm，第三边长为偶数，求第三边的长度。 3. 拓展题：指出下列三角形按角和按边的分类，学生独立完成，小组内互相核对。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如忽略“任意”二字判断三边关系、混淆三角形分类标准）进行重点讲解，强化对三角形定义、分类和三边关系的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接的封闭图形；2. 构成要素：边、顶点、内角；3. 分类：按角分为锐角、直角、钝角三角形，按边分为等腰、等边、不等边三角形；4. 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调三角形是初中几何的基础图形，掌握其基本性质和分类，为后续学习三角形的内角和、全等三角形等知识奠定基础。 4.4 利用三角形全等测距离 【素养目标】 1．能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系． 2．能在解决问题的过程中进行有条理地思考和表达. 重点：利用三角形全等解决实际问题． 难点：在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达. 【复习导入】 1. 要判定两个三角形全等有哪些方法？ 【合作探究】 探究点：利用三角形全等测距离 活动1：你听过智慧炸碉堡的故事吗？(图片显示) 播放音频或者让学生阅读书上的故事内容．你知道这位战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？ (1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证． (2)你能解释其中的道理吗？ 要点归纳：1.利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离． 2．依据：全等三角形对应边相等． 3．关键：构造全等三角形． 　 活动2：小明在上周末游览风景区时，看到了一个池塘，他想知道最远两点A，B之间的距离，但是他没有船，不能直接去测．手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A，B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁的方案更便捷． 要点归纳： 　 例1 如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径．现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能设法帮助他完成吗？ [针对训练] 1. 如图，已知 AC = DB，AO = DO，CD = 100 m，则 A，B 两点间的距离 ( ) A. 大于 100 m B. 等于 100 m C. 小于 100 m D. 无法确定 当堂反馈 1.如图，亮亮想测量某湖两端A，B两点之间的距离，他选取了可以直接到达点A，B的一点C，连接CA，CB，并作BD∥AC，截取BD＝AC，连接CD.他说，根据三角形全等的判定定理，可得△ABC≌△DCB，所以AB＝CD.他用到三角形全等的判定定理是(　　) A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF.若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等(　　) A.BE B.AE C.DE D.DP 3.如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，测出DE＝20m，则AB的长是　　m. 4.如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB＝20cm.在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC＝35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出.这是什么道理？ 参考答案 【复习导入】 1. （1）“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. （3）“AAS”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. （4）“SAS”：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 【合作探究】 探究点：利用三角形全等测距离 活动2：方案一：先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D， 使AC＝CD；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度， 则DE的长度就是点A，B间的距离． 追问：同学们知道这其中的原理吗？你能说出每步的道理吗？ 在△ABC和△DEC中， 因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC， 所以△ABC≌△DEC(SAS). 所以AB＝DE.(全等三角形，对应边相等) 方案二：在△ABC与△DEC中， 已知AB⊥BE，BC＝CE，DE⊥BE， 点A，C，D在同一直线上，结论：AB＝DE. 理由：ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 方案三：如图，先作△ABD，再找一点C，使BC∥AD，并使AD＝BC，连接CD，量CD的长即得AB的长． 理由：因为AD∥CB，所以∠1＝∠2. 在△ABD与△CDB中，因为AD＝CB，∠1＝∠2， BD＝DB，所以△ABD≌△CDB(SAS).所以AB＝CD. 方案四：如图，找一点D，使AD⊥BD，延长BD至C，使CD＝BD，连接AC，量AC的长即得AB的长. 理由：因为AD⊥BD，所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△ADB与Rt△ADC中， 因为AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，BD＝CD， 所以Rt△ADB≌Rt△ADC(SAS).所以AB＝AC. 例1 如图，在容器外取一点O，连接CO，DO并延长， 使AO＝CO，BO＝DO，连接AB. ∵∠AOB＝∠COD， ∴△ABO≌△CDO(SAS). ∴CD＝AB，测出AB的长即可知CD的长， 即可知容器的内径． [针对训练]1. B 当堂反馈 1.　A 2.　C 3.　20　 4.解：在△AOB和△COD中， 所以△AOB≌△COD(SAS). 所以∠AOB＝∠COD. 因为∠AOB＋∠BOC＝180°， 所以∠DOC＋∠BOC＝180°， 即D，O，B三点在一条直线上. 所以钻头正好从点B处打出. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $