第31期 2.1 两条直线的位置关系（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理招 名师点睛 利用垂线的性质 对顶角助你解题 垂线段最短，可以解决生活 中常见的引水挖渠等问题。 引圈 现列举例供同学们参考. ⊙重庆毛燕 例 如图1，某河流 水解 对顶角在求角度时起到了很大的作用，它 解：因为∠B0D=48°， EF的同侧有A,B,C,D四 线挖 常与垂线、角平分线等联合，为求角提供便利. 由对顶角相等，得∠AOC=∠B0D=48° 个村庄，为了解决当地的缺 水问题，政府准备出资修建 下面举例说明，供同学们参考 因为OM平分∠AOC, 渠 个蓄水池 周 一、伴随垂线 所以∠A0M=7∠A0C=24 (1)若不考虑其他因 忙 例1如图1，直线AB与 CD相交于点O,射线OE在 所以∠B0M=180°-∠A0M=156°. 素，请你确定蓄水池H的位 故选D. 置，使它到四个村庄的距离 ∠AOD的内部，且OE⊥CD于 之和最小； 点0.若∠A0C=35°，则 图1 三、共同携手 (2)现计划把河中的 ∠BOE的度数为 例3如图3，直线AB,CD 水引入蓄水池H,怎样开挖水渠最短？请画出图 A.125° B.135° 相交于点O,E0⊥OF.已知 形，并说明理由。 C.65° D.55° ∠B0F=20°，OC平分∠A0E,A A. 则∠BOD= ( D 解：因为OE⊥CD, B 所以∠E0D=90° A.20 B.309 因为∠A0C=35° C.55 D.359 由对顶角相等，得∠B0D=∠AOC=35 解：因为E01OF, 图1 图2 所以∠B0E=∠E0D+∠B0D=125° 所以∠E0F=90. 分析：(1)要使蓄水池H到四个村庄的距离 故选A. 因为∠B0F=20°， 之和最小，则根据“两点之间，线段最短”可知，点 二、联合角平分线 所以∠AOE=180°-∠EOF-∠BOF= H的位置应在线段AC与BD的交，点处：(2)利用 例2如图2，直线AB, M 70° 垂线的性质即可确定所挖水渠的位置. CD交于点O,射线OM平分 B 因为OC平分∠A0E 解：(1)如图2，连接AC,BD,交于点H,则点 ∠A0C.若∠B0D=48°，则 H就是所求蓄水池的位置.根据“两，点之间，线段 D ∠BOM= ( 图 所以∠A0G=方LA0E=353 最短”可知，点H到四个村庄的距离之和最小 A.96° B.132° 由对J顶角相等，得∠BOD=∠AOC=35 (2)如图2，过点H作HG⊥EF于点G,则沿 C.1469 D.156 故选D. HG挖渠，可使水渠最短.理由是：垂线段最短 第29期2版参考答案 第29期3版参考答案 1.3乘法公式 一、 题号12345678 =2×[1-1+1+)1+分]+品 1.3.1平方差公式 答案DAB D C B D B =2×[(1-2)(1+2)(1+2)]+25 基础训练1.B;2.A;3.B;4.6:5.0. =9.4x2-25y2;10.18xy2;11.4;12.16: 6.(1)9a2-1:(296-4;(3)-+8g =2x[1-)1+京]+是 13.6;14.4或16. 7.(1)1:(2)309号 三、15.(1)x2+4xy+4y2；(2)-3x+2y-6 =2×1-)+=2-六+=2 (3)a2-4b2+4bc-c2. 2.(1)①4；②4. 1.3.2完全平方公式 (2)设AC=x,BC=y 基础训练1.A;2.D;3.C;4.19;5.±1. 16(1)3592若：(2)10609. 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2=64. 6.(1)16a2-24ab+962;(2)-x; 因为S+S2=44,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2xy (3)5x2-42x+16:(4)9980.01: 17.(1)原式=(a2+3a)(a2-3a)-(16a5-8a4)÷ (2a)3=a4-9a2-(16a5-8a4)÷8a3=a4-9a2-2a2 (5)a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2. =44+2y=64,解得y=10.所以5形c=2y=5 +a=a4-11a2+a. 7.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 第30期综合测评卷参考答案 (2)当a=-2时，原式=(-2)4-11×(-2)2+ (1Dy=4[(x+)2-(x-0]=4×(25-9)(-2)=-30 题号12345678910 18.(1)因为a-b=1,a2+6=17,(a-b)2=a2 答案CC D B CC CC B D =4: +b2-2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8: 二、11.0；12.25；13.-2； (2)x+y=2(x+y)2+(x-y)2]=2×(25 (2)根据题意，得 14.25cm2;15.10或-10. 三、16.(1)-y; +9)=17; S盼=a2-2×之b(a-b)=d2+-ab. （2)-6x3y2z+4x2y3z-2x2y (3)x+y=(x2+y2)2-2x22=(x2+y2)2- 因为a+b=7,所以(a+b)2=72,即a2+2ab+b2 17.(1)a2+a+3; 2(xy)2=172-2×42=289-32=257. (2)4m2-n2-6n-9. =49. 能力提高8.a2-2. 18.原式=8x-10y.当4x=5y时，原式=2×4x 因为ab=9,所以ad+b2+2×9=49,即a2+b2=31. 1.4整式的除法 10y=2×5y-10y=0. 基础训练1.D;2.A; 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. (3)令2026-x=m,x-2025=n,则m+n= 四、19.(1)(5a+36)(4a+2b)-4×2(2a+b)2- 3.-2xy3+3xy;4.9x2-6x+1. 2026-x+x-2025=1, (3a+2b) 5.(1)12x4y3;(2)-x2+2x;(3)2x-4 因为(2026-x)(x-2025)=-6,所以mn=-6. =20a2+22ab+6b2-2(4a2+4ab+b2)-(9a2+ 能力提高6.(1)x”+x-1+…+x+1; (2)2226+22+…+2+1=(22-1)）÷(2- 所以(2026-x)2+(x-2025)2=m2+n2=(m12ab+462) 1）=227-1. +n)2-2mn=12-2×(-6)=13. =20a2+22ab+6b2-8a2-8ab-2b2-9a2-12ab -462 (3)由1+x+x2+…+x5=0,得(x26-1)÷(x 附加题1.原式=2×[(1-宁)1+)1+ =3a2+2ab」 -1)=0, 所以绿化地带的面积为(3a2+2ab)平方米 所以x26-1=0且x-1≠0，所以x=-1. )1+分)1+)]+2品 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：周晓敏 报纸编辑质量反馈电话 羞理橘 2026年2月3日·星期二 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 31期总第1175期 北师大 0351-5271248 七年级 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-43 (2)当a=5,b=20 时，3a2+2ab=3×52+2 入门向导 ×5×20=75+200=275, 即绿化地带的面积为275 本周主讲 d 平方米. 辨析比较学垂线 20.(1)25; 2.1两条直线的位置关系 (2)设202404=x.所 四川王清瑞 以A-B=(x-3)(x+3 学习目标：1在具体情境中，了解两条直 一、垂线与垂直 处在于：垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是 (x-1)(x+1)=x2-9 线的相交和平行关系 当两条直线相交所成的四个角中有一个角垂线的一部分. -x2+1=-8<0.所以A <B. 2掌握对顶角、补角、余角、垂线和垂线 是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的 四、垂线段与点到直线的距离 21.(1)因为26=3 段的概念及其相关性质 条直线叫作另一条直线的垂线.垂直是相交的 垂线段是一种几何图 所以(22)3=a3,所以4 认知重点：1探索两条直线互相垂直的性 种特殊情形.由此我们可以知道，垂线是指互形，属于“形”的概念，垂线 =a3,所以a=4.因为26 4,所以26=(22)，所 相垂直的两条直线中的一条，表示一种图形，而 段的特征是：(1)是一条线 以26=22,所以2b=6,所 2能用三角尺或量角器过一点画已知直线 垂直则是指两条直线之间的位置关系 段；(2)垂直于某一直线 以b=3.所以a+b=4+ 3=7 的垂线，理解点到直线的距离的意义，能度量 二、垂线与斜线 点到直线的距离是指垂线 图2 (2)因为x2m =2 点到直线的距离 垂线和斜线是以两条直线相交是否成直角 段的长度，属于“量”的概念，不能认为点到直线 所以(3x“)2 来区分的，反映了两条直线的位置关系的不同. 的距离就是垂线段.如图2，点C到直线AB的距 10(x2)2=9x6m -10x 一、对顶角的概念 过直线AB外的一点 离不是垂线段CD,而是垂线段CD的长度， 9(x2n)3-10(x2m)2=9× 23 -10×22=9×8-10× C作直线AB的垂线，只 如图1，∠1与∠3是 72-40= 32. 能作一条.如图1，CD1 牛刀小武 五、22.(1)3x+1,1: 对顶 直线AB与CD相交所构 AB,而过直线AB外的 成的，它们有一个公共顶 图1 (2)a+2b: (3)由题意，得M= 点C画斜线和直线AB相交可画无数条，如直线 下列说法中，正确的是 点0，并且∠1的两边分 (x2+mx+36)÷(x+1), CE,CF,CG等，线段CE,CF,CG都比垂线段CD A.垂线最短 列竖式计算如下： 别是∠3的两边的反向延 要长 B.两条直线相交所成的四个角中，如果有 x+m-1 角知多 长线，具有这种位置关系 x+1F+mx+36 三、垂线与垂线段 三个角相等，那么这两条直线互相垂直 x+x 的两个角，互为对顶角.图 垂线是相交线的一种特殊情形，不可度量； C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (m-1)x+36 东1中∠2和∠4也互为对 垂线段是线段（垂线上一点与垂足之间的线 D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作点 (m-1)x+m-1 37-m 刘 顶角， 段)，可以度量，这是二者的不同.二者的相同之 到直线的距离 十十4十4 因为M是一个整式， 琦 所以37-m=0,所以m= 专题辅导 23.【问题探究】方法 图1 浅谈互补、互余 1:(m+n)2 -4mn: 由此可以看出，确定 方法2：(m-n) ©山西何妙悦 【得出结论】(m+n)2 两个角是对顶角，必须同 一、牢记基本概念 =∠3，则∠2=∠4. 4mn=(m-n)2. 时满足以下两个特征： 【应用结论】(1)因为 1.互为补角的定义：如果两个角的和是 三、把握注意事项 (1)有公共顶点； +y）)2=x2+y2+2xy 180°，那么称这两个角互为补角. 1.互余、互补是指两个角的数量关系，只与 +y=4,x2+y2=10,所 (2)两边互为反向延长线： 符号表示：若∠1+∠2=180°，那么∠1与它们的度数有关，而与它们的位置无关 以=[(x+)2-( 温馨提示：对顶角是成对出现的，它们是互 ∠2互为补角，其中∠1是∠2的补角，∠2也是 2.一个角或三个及三个以上的角之间不存 +2)]=7×(16-10) 为对顶角，即其中一个角是另一个角的对顶角」 ∠1的补角. 在互余或互补的关系，如∠1+∠2+∠3=90°， =3. 单独的一个角不能构成对顶角 2.互为余角的定义：如果两个角的和是 但不能说这三个角互余 (2)①±2；②22 二、对顶角的性质 90°，那么称这两个角互为余角. 3.∠1的补角表示为180°-∠1，∠1的余角 (3)由题意，得ED 对顶角相等，但相等的两个角 符号表示：若∠1+∠2=90°，那么∠1与表示为0°-∠1，由此可见，同 个角的补角此 AD-AE =2x-44,DG -CG=x-30.所以M7 不一定互为对顶角.如图2，已知 ∠2互为余角，其中∠1是∠2的余角，∠2也是 它的余角大90°. =M0=(2x-44)+2(x ∠1=∠2=30°，但∠1与∠2不互 ∠1的余角. 四、灵活应用解题 30).因为长方形EFGD的 为对顶角.因为∠1与∠2虽然有公 拓展：特别地，当互为 例如图2，点0在直 面积是200，所以(2x 图2 补角的两个角有一条公共 线AB上，LAOC与∠COD 44)(x-30)=200.所以 共顶点，但∠1的两边与∠2的两边不互为反向 14 2(x-30)(2x-44)= 边，且它们的另一边互为 0 互补，0E平分∠A0C.若 400. 延长线 反向延长线时，那么称这 图1 ∠DOE=33°，求∠BOD 令.a=2x-44,b -30) 例 如图3，直线AB,CD 两个角互为邻补角.如图1，∠1与∠2是一对邻 的度数. 2(x 所以ab=400,a-b= 相交于点0.若∠1=40° 补角，∠1+∠2=180° 解：因为∠AOC与∠COD互补，所以 ∠2=120°，则∠C0M的度 二、理解基本性质 ∠AOC+∠C0D=180° 所以(a-b)2=a2+ 数是 1.同角或等角的补角相等 又因为∠A0C+∠B0C=180°，所以 12 -2ab=256.所以a2+ =256+2ab=1056 A.70° B.80° 若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2 ∠BOC=∠COD. 所以四边形MORT的 C.90° D.100 =∠3： 因为OE平分∠A0C,所以∠A0E= 面积=MT2=(a+b)2 若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且 ∠E0C. a2+b2+2ab=1056+800 解：因为∠2=120°，由对顶角相等，得 ∠1=∠3，则∠2=∠4. 因为∠D0E=33°，所以∠A0B=∠A0E+ =1856. （全文完) ∠B0C=120 2.同角或等角的余角相等 ∠D0E+∠COD+∠B0C=2(33°+∠BOC)+ 因为∠1=40°，所以∠COM=∠B0C 若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2∠B0C=180°. ∠1=80. ∠3； 所以∠BOC=38°. 故选B. 若∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1 所以∠BOD=2∠B0C=76° 2 素养专练 数理极 2.1.2补角和余角 D.已知直线的垂线只有一条 跟踪训练 垦础训练 GENzoNGXUNLIAN 1.已知∠A=35°，则∠A的补角是( 2.1两条直线的位置关系 A.155°B.145° C.65° D.559 2.1.1相交线与平行线 2.泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然科 图1 图2 学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等” 2.如图2，点0在直线BD上.已知∠1=25 垦础训练 就是泰勒斯首次发现并论证的.论证“对顶角相OC1OA,则∠B0C的度数是 () 1.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是 等”使用的依据是 () A.55°B.65°C.75 D.155° A.等角的补角相等 B.同角的余角相等 3.下列各图中，过直线1外的点P画直线1的 C.等角的余角相等D.同角的补角相等 垂线，三角尺操作正确的是 3.将一副三角板按下列位置摆放，其中∠α与 ∠B一定互余的是 A B D 2.如图1，直线AB与直线CD交于点0，∠A0C =35°，则∠B0D的度数为 A.35° B.145° C.55° D.125° 4.如图3是光的反射规律示意图，C0是入射 C○N 光线，OD是反射光线，法线EO⊥AB,∠COE是入 0 射角，∠EOD是反射角，∠COE=LEOD.若 D ∠AOC=2∠E0D,则∠COE的度数为 图1 图2 4.若∠1的对顶角是∠2，∠2的补角是∠3， 3.下列说法正确的是 ) ∠3=54°，则∠1= A.同一个平面内，不相交的两条线段是平行 5.如果一个角的补角是这个角的余角的6倍 线 则这个角的度数为 B.同一个平面内，两条直线不相交就重合 6.如图1，∠COD在∠AOB内部，若∠A0B+ 图3 4 C.同一个平面内，没有公共点的两条直线是∠C0D=180°，∠A0C与∠B0D互余，求∠C0D 5.如图4,0A⊥OB,直线EF,GD都经过点O 平行线 的度数. ∠AOE=35°，且∠G0F=70°，则∠B0D的度数 D.不相交的两条直线是平行线 为 4.如图2是一把剪刀的示意图，我们可想象成 6.如图5，P是∠A0B的边0B上一点 一个相交线模型，若∠A0B+∠C0D=76°，则 (1)过点P画OA的垂线，交OA于点H; ∠AOB= (2)过点P画OB的垂线，交OA于点C: 5.两条直线相交所成的四个角中，有两个角 (3)点0到直线PC的距离是线段 的 分别是(2x-10)°和(110-x)°，则x= 长 6.如图3，直线AB,CD相交于点0,0E平分 (4)比较PH与C0的大小，并说明理由 ∠A0D,0F平分∠B0E.若∠B0C=140°，求 ∠DOF的度数. 能刀提高 7.如图2，直线AB,CD相交于点0，LC0F= ∠B0E=90. (1)写出图中∠A0F的余角； 图 （2)如果∠BOF=子LA0D,求∠E0F的度 数 X 7.如图6，直线AB,CD相交于点0，射线OE在 ∠DOB内部，且∠DOE=2∠BOE,过点O作OF⊥ 0E. (1)若∠C0F=54°，求∠B0E的度数； 能刀提高 (2)若∠C0F=∠D0E,那么OB平分∠D0F 吗？为什么？ 7.如图4，观察下列图形，寻找对顶角（不含平 角) 2.1.3垂直 图4 屋础训练 (1)如图4-①，两条直线相交于一点，共有 1.如图1，直线1代表一条河流，在河边0处修 _对对顶角；如图4-②，三条直线相交于建一水闸，再过点0修建两条引水渠04和0B,使 一点，共有 对对顶角；如图4-③，四条直得0A11,0B11,垂足为点0，则0A与0B重合的 线相交于一点，共有 对对顶角 理由是 ( (2)探究：当n条直线相交于一点时，共有 A.两点确定一条直线 + 对对顶角. B.垂线段最短 (3)应用：当101条直线相交于一点时，共有 C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与 数理报社试题研究中心 对对顶角。 已知直线垂直 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 17.(12分)如图13，直线AB,CD相交于点0， 同步达标检测题（四） OM⊥AB. (1)若∠1=∠2，判断0N与CD的位置关 系，并说明理由； TONG BU DA BIAO JIAN CE TI (2)若∠1= ∠BOC,求∠BOD的度数 【检测范围：2.1】 6 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 补的角 题号123 4567 8 11.如图7-①，筒车是利用水流冲击水轮转 动来取水灌田的工具，如图7-②是其部分示意 答案 图，点A,B,C,D,E分别表示不同位置的盛水筒，点 1.已知∠=20°，则∠ax的余角为( :0为筒车中心支点，点A,0,B在同一条直线上，0C A.160°B.70°C.40° D.20° ⊥OE.若∠AOC=32°，∠B0D=100°，则∠D0E 图13 2.在同一 平面内，两条不重合的直线的位置 关系是 A.相交或平行 B.相交或垂直 C.平行或垂直 D.不能确定 3.如图1，当光线从空气 射入水中，会发生折射与反射 现象，其中与∠AOM互为对 ① 网7 18.(14分)如图14，直线AB,CD相交于点0 顶角的是 ( 12.如图8，直线AB,CD相交于点0，OE⊥AB, OD平分∠B0E,OF⊥CD. A.∠MOE B.∠NOB ∠A0D+∠B0C=240°，则∠C0E= (1)若∠FOE=2∠AOC,求∠DOB的度数； C.∠B'OBD.∠B'ON (2)试说明：∠AOF=∠FOE, 4.下列各选项中能用“垂 图1 线段最短”来解释的现象是 图14 测量跳远成绩木板上弹墨线两钉子固定木条弯曲河道改直 图8 图9 A D 13.如图9，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AE 5.如图2，三条直线相交于点0，则∠1+∠2+ =5,则点C到直线AB的距离为 ∠3的度数等于 () 14.如图10，点0为直 A.210° B.180° C.150° D.120° 线AB上一点，过点O作射 线0C,使∠B0C=135. 将直角三角板MON绕点O 旋转一周，当直线0M与直 :线OC互相垂直时，∠AOM 图10 的度数是 图2 图3 附加题⊙ 6.如图3，已知直线AB与直线CD相交于点 三、耐心解一解（共44分） 15.(8分)如图11，直线m和l交于点0，已知 (以下试题供各地根据实际情况选用) O,下列条件中不能说明AB⊥CD的是 ∠1的补角是它的余角的4倍，求∠2的度数， 1.(10分)如图1，直线AB,CD A.∠A0C=909 相交于点0，ON把∠A0D分成两 B.∠AOC=∠BOC 个角，且∠A0N:∠NOD=2:3. C.∠AOC=∠BOD 02 (1)若∠BOC= 75°，求 D.∠AOC+∠B0D=180° ∠AON的度数. 7.已知∠&，∠B互补，那么∠B与2(La (2)如果∠B0C=75°，0M平 分∠B0N,那么OB是∠COM的平分线吗？请说明 ∠B)之间的数量关系是 理由 A.和为45 B.差为45° C.互余 D.差为90 (3)若0ML0N,则号∠A0C-∠D0M是否为 8.如图4，直线AB,CD相 定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 交于点0，OE⊥AB,垂足为点 2.(10分)定义：在一个钝角内部作一条射线， 0,0F平分∠B0D,若∠AOC+ 0 ∠D0F=39°，则∠E0F的度 16.(10分)如图12，在河岸MN的同侧有村庄 如果这条射线把这个钝角分成的两个角中存在 图4 A和自来水厂B.现要在河岸上建一个抽水站P,把 个角与这个钝角互补，那么称这条射线为这个钝 数为 角的“补给线”.例如：如图2，∠A0B=100° A.77° B.74°C.67°D.64° 河中的水先输送到自来水厂B,处理后再输送到村 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 庄A.为了节省资金，所铺设的水管应尽可能短，那 LB0C=80°，则OC是∠AOB的“补给线” 9.为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB 么抽水站P应建在何处？应怎样铺设水管？请画出 (1)已知0C是∠A0B的一条三等分线，若OC 图形，并说明理由 也是∠A0B的“补给线”，则∠AOB=_ 的度数，李潇同学设计了如下方案：如图5，作A0, (2)若∠AOB的“补给线”有且只有一条，求 B0的延长线OD,OC,量出∠COD的度数，从而得 ∠AOB的度数； 到∠AOB的度数.这个方案的依据是 (3)若射线0C,OD是∠A0B的两条“补给 :线”，且∠C0D=30°，求∠AOB的度数 图12 言 图5 10.如图6，点0是直4 图2 备用图 备用图 线AB上一点，∠1=∠2， 数理报社试题研究中心 则图中共有」 一对互 图6 (参考答案见下期)