第44期 第六章 平行四边形 复习与小结（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

+ 1)181 × + S98130-1St0 61S-190 牌081-081x .0t-e081X(C- 019008X(2-k) :081 +V 5.15 dogy OVN7 1 -07 -() 081X(C- 原有 08I x ( 07+87 - 15 9va7 30V7 .:021 冷 联本3·31 e08 四、耐心解 解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 21.如图13，在口ABCD中，G,H分别是AB,CD的中点，点E,F 23.如图15，点M是△ABC的AB边上 点，连接CM,过点A作 19.如图12，已知E,F分别是口ABCD的边AB,CD上的两点，且 在对角线AC上，且AE=CF. AD⊥CM于点D,过点B作BE⊥CM于点E. ∠CBF=∠ADE.求证：BE=DF (I)求证：四边形EGFH是平行四边形； (1)如图15-①，若点M是AB的中点时，连接AE,BD,求证：四 (2)连接BD交AC于点O.若BD=14,E是AO的中点，求EG 边形ADBE是平行四边形； 的长 (2)如图15-②，若点M不是AB的中点，点O是边AB上不与 M重合的一点，连接DO,EO.已知点O在DE的垂直平分线上，求证： A0=B0. 1 数理报●初中数学·北 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题 14分，共27分) 22.四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如 20.小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明 图14所示的形状. 师 所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求这 (1)已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数； 个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数. (2)请直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的数量关系. 大八年级综合测评卷 数理报·初中数学·北师大八年级综合测评卷 图14 数理报社试题研究中心 【参考答案见《升级突破》15版) 数理报 2026年4月29日·星期三 初中数学 第44期总第1188期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-204 名师点睛， 本周主种 平行四边衫牵手角平分线 第六章平行四边形 认知重点：能灵活应用平行四 边形的性质和选取恰当的判定定 ◎广东谢建铭 理解题 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边 故选C 形相关的考题也多种多样，其中与角平分线有 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 三、已知平行四边形一组对角的平分线 关的问题是近几年命题的热点.下面选取几例 例2如图2，在□ABCD 例3如图3，点E,F分 加以说明，供同学们参考。 中，∠ABC的平分线交AD于点 别在口ABCD的BC,AD边上， 一、已知平行四边形一个角的平分线 E,∠BCD的平分线交AD于点 AE平分∠BAD,CF平分 例1如图1，在平行四 F.若AB=3,AD=4,则EF的A ∠BCD.求证：AF=CE. 图 边形ABCD中，LABC的平 长是 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 分线交AD于点E,且∠BEA 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠B=∠D,AD=BC,AB=CD, =30°，则∠A的大小为 所以AD∥CB,AB=DC=3. ∠BAD=∠BCD. 所以∠CBE=∠AEB,∠BCF=∠CFD. 因为AE平分∠BAD,CF平分∠BCD, A.150°B.1300 C.120° D.1009 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 因为BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,所以 所以∠EMB=∠BMD,∠FPCD=∠BCD 所以AD∥BC. ∠ABE=∠CBE,∠DCF=∠BCF. 所以∠EAB=∠FCD. 因为∠BEA=30° 所以∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF 在△ABE和△CDF中，因为∠B=∠D,AB 所以∠CBE=∠BEA=30° 所以AE=AB=3,DF=DC=3. =CD,∠EAB=∠FCD,所以△ABE≌ 因为BE平分∠ABC, 因为AD=4,所以AF=AD-DF=1 △CDF(ASA). 所以∠ABE=∠CBE=30° 所以EF=AE-AF=2, 所以BE=DF 所以∠A=180°-∠ABE-∠BEA=120° 故填2. 所以AD-DF=BC-BE,即AF=CE 题型空间 平行四边形的折叠问题 平行四边形的性质与判定 ◎湖南祁泽 1.在平行四边形ABCD中，∠A:∠B=5:4, 折叠问题是轴对称性质的应用，同时考AB∥CD 则∠D的大小是 查空间想象能力，此类问题可以涵盖三角形的 所以∠ACD=∠BAC=90° A.60° B.809 C.1009 D.1609 全等、等腰三角形、平行线等众多知识.下面我 所以∠ECD'=180°-∠ACD=90°. 2.根据所标数据，不能判断下列四边形是 们就一起学习折叠型问题在平行四边形中的 由折叠的性质，得D'E=DE=5,AD'=AD. 平行四边形的是 应用 所以CD'=√/D'E2-CE2=3. 一、求角的度数 7不7 所以BC=AD'=AC+CD'=AC+3. 例1如图1，将口ABCD A 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB 3.如图1，在平面直角坐标系中，口ABCD的 沿对角线BD折叠，使点A落 +AC,即(AC+3)2=92+AC2 对角线交于点O,过点O的直线分别与边AB, 在点E处.若∠1=56°，∠2 解得AC=12. CD交于点E,F,若点E的坐标为(a,b),则点F =42°，求∠A的度数 图1 三、证明三角形全等 的坐标为 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 例3如图3，将口ABCD A.(a,b) B.(-a,b) 所以AB∥CD.所以∠ABE=∠1=56， 沿对角线BD翻折，点A落在点 C.(a,-b) D.(-a,-b) 由折叠的性质，得∠ABD= 2∠ABE=28°. E处，BE交CD于点F.求证： 因为∠2=42° △BCF≌△DEF. 所以∠A=180°-∠2-∠ABD=110°， 证明：由折叠的性质，得 二、求线段的长度 ∠E=∠A,DE=DA. 客2 例2如图2，将 因为四边形ABCD是平行四边形， 4.如图2，在平行四边形ABCD中，AB=3 口ABCD进行折叠，折叠后 所以∠C=∠A,BC=DA AD=9,AE,DF分别平分∠DAB,∠ADC,那么 EF的长为 AD恰好经过点C得到AD' 所以∠C=∠E,BC=DE 5.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点， 若∠BAC=90°，DE=5,CE 由对顶角相等，得∠BFC=∠DFE. 点C的坐标是(1,3)，点A的坐标是(5,0)，点B =4,求线段AC的长度 在△BCF和△DEF中，因为∠BFC= 不在第一象限，若以点0，A,B,C为顶点的四边 解：因为四边形ABCD是平行四边形， ∠DFE,∠C=∠E,BC=DE,所以△BCF ≌ 形是平行四边形，则点B的坐标是 所以AD=BC,AB=CD=DE+CE=9,△DEF(AAS) (下转第2版) 2 素养专练 A 数理极 (上接第1版) 第43期2版参考答案 6.如图3，在四边形ABCD中，BE垂直平分 6.3多边形的内角和与外角和 AC,连接DE并延长，与BC交于点F,且BE∥AD, 6.3.1多边形的内角和 BF FC. 多边形的内角和与外角和 基础训练1.C;2.C;3.D;4.18;5.10. （1)求证：四边形ABED是平行四边形： 6.因为AB∥CD,∠B=70°，所以∠C=180 (2)若∠ECF=60°，FC=1,求CD的长. 1.石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医 ∠B=110°.因为五边形的内角和为：(5-2)× 学和药物传递等方面具有重要的应用前景.它的 180°=540°，所以x°+120°+140°+70°+110°= 分子结构如图1所示，所有多边形都是正多边形， 540°.解得x=100, 则∠ABC的度数为 7.(1)60. A.1359 B.120 (2)因为CE⊥AB,所以∠AEC=90°.因为四 C.1059 边形ADCE的内角和为360°，所以∠DCE=3609 D.609 ∠A-∠D-∠AEC=30°.因为CE平分∠BCD, 所以∠BCD=2∠DCE=60°.所以∠B=360° ∠A-∠BCD-∠D=60°. 能力提高8.108° 专题9 9.根据题意，得1780<(n-2)×180<1780 +180解得1氵<n<128因为n为正整数，所 三角形的中位线 2.若一个正多边形的内角和为720°，则这个 以n=12.所以除去的内角的度数为：(12-2)× 正多边形的一个外角为 ( 180°-1780°=20°. 1.如图1所示的网格中，每个小正方形的边 A.90° B.60° 6.3.2多边形的外角和 长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点 C.459 D.30° 基础训练1.A;2.D;3.A; 上，点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点，连 3.如图2，∠1，∠2，∠3是四边形ABCD的3 4.40°；5.45°. 接DE,则DE的长为 ( 个外角，若∠1+∠2+∠3=280°，则∠A= 6.因为∠ABE是四边形ABCD的外角，所以 ∠ABE+∠ABC=180°.因为∠ABE=∠D,所以 A B.1 C.2 D.√3 ∠ABC+∠D=180°.又因为四边形的内角和等于 4.已知一个n边形的内角和等于1980°，则从 360°，所以∠A+∠C=360°-（∠ABC+∠D)= 这个多边形的一个顶点出发可以画 条对 180 角线 7.设这个正多边形的一个外角的度数为x. 5.正多边形的每条边都相等，每个角都相等 根据题意，得x+弓=180.解得x=72.所以这个 图1 已知正x边形的内角和为1080°，边长为2. 图2 2.如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, (1)该正多边形的周长为」 正多边形的边数为：360°÷72°=5. BC=4,点N在BC边上，点M为AB边上的动点， (2)若正n边形的每个外角的度数比正x边 能力提高8.根据题意，得王明所走路径是 点D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小值是 形每个内角的度数小63°，则n= 个正多边形.因为王明第一次回到A点时走了 72米，每次沿直线走6米转弯，所以这个正多边形 6.如图3，阅读佳佳与明明的对话，解决下列 的边数为：72÷6=12.所以0=360°÷12=30° A.2 B.2.5 C.2.4 D.1.2 问题： 9.(1)160,100. 3.如图3，在四边形ABCD中，AD=BC,P是 我把一个多边形的各内角 什么？虽然你计算没问题， (2)∠E+∠F=180°.理由如下： 对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中 相加，所得的和为2020 但是你多加了一个外角. ∠BAD+∠ADC+∠ABC+∠BCD=(4-2) 点，∠A=75°，∠ABC=85°，则∠PNM的度数是 ×180°=360°.因为AF平分∠BAD,DF平分 ∠ADC,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,所以 佳佳 明明 图3 LFAD=3∠BAD,LFDA=3∠ADC,∠EBC= (1)“多边形内角和为2020”，为什么不可 2∠ABC,LECB=2∠BCD所以∠B+LF 能？ 180°-（∠EBC+∠ECB)+180°-（∠FAD+ ☒4 (2)明明求的是几边形的内角和？ 4.如图4，△ABC是边长为1的等边三角形， (3)多加的外角为多少度？ LFDA)=360°-2（∠ABG+LBGD+∠BAD+ 取BC边中点E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四边 ∠ADC)=180°. 形EDAF,它的周长记作C1;取BE中点E,作 第43期3版参考答案 E,D1∥FB,E,F:∥EF,得到四边形E,DFF1,它 一、题号12345678 的周长记作C2,…,照此规律作下去，则C26= 答案A B C B D A CC 二、9.2；10.900°；11.54°；12.8,135°； 5.如图5，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC 13.366;14.54°. 的中点，连接DE,∠ACB的平分线交DE于点F, 三、15.设这个正多边形每一个内角的度数为 若AC=10,BC=16,求DF的长 x°.根据题意，得x+x-100=180.解得x=140, 即这个多边形每一个内角的度数为140°. 16.(1)六边形ABCDEF的内角和为：(6-2)》 ×180°=720°. (2)因为六边形ABCDEF的内角和为720° ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=470°，所以∠GBC +∠C+∠CDG=720°-470°=250°.所以∠G= 数理报社试题研究中心 360°-（∠GBC+∠C+∠CDG)=110°. (参考答案见《升级突破》15版) (下转1,4版中缝) 7.如图3，在由一个正六边形和正五边形组 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 《平行四边形》综合测评卷 成的图形中，∠1的度数为 16.如图9，在△ABC中，∠ACB=120°，分别以AC,BC为边向 A.72 B.82 △ABC外侧作正方形ACDE和正五边形BCFGH,求∠DCF的度数， 图3 班级： 姓名 学号： 满分：120分 C.84° D.94° 8.在平面直角坐标系中，已知点A(0,0),B(2,2),C(3,0).若 题 四 总 分 以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能 得 分 为 ( ) 、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分》 A.(-1,2)） B.(5,2) C.(2,-2)） D.(1,-2) 题号 1 234 5 6 789 10 9.如图4，在ABC中，AB=13,BC=12,D,E分别是AB,BC的 答案 中点，连接DE,CD.若DE=2.5,则△ACD的周长为 () 1.在平行四边形ABCD中，∠A=160°，则∠D= A.25 B.18.5 A.20° B.40° C.140° D.160° C.17.5 D.18 数 2.在△ABC中，BC=4,点D,E分别是AB,AC的中点，则DE= 17.如图10，BE是△ABC的中线，延长BE到点D,使DE=BE, 数 理 ( 连接AD,CD,补全图形.请判断四边形ABCD的形状，并证明你的 理 报 A R行 报 C.1 D.2 结论. 初 图4 中 3.一个七边形的内角和是 10.如图5，E是口ABCD的边AB上的点，Q是CE的中点，连接 A.1080° B.900° BQ并延长交CD于点F,连接AF与DE交于点P.若S AAPD=3cm 数学 图10 北 C.720° D.540° S△oc=7cm2,则阴影部分的面积为 师 4.如图1，在口ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD, A.24 cm2 B.17 cm2 师 AB于点E,F,连接CF.若△BCF的周长为4，则口ABCD的周长为 大 八 C.13 cm2 D.10 cm2 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） A.14 B.12 C.10 D.8 11.过一个多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成6个三 合测评卷 角形，则这个多边形的内角和为」 12.如图6，直线AD∥BC.若AD=5,BC=8,△ABC的面积为 八年级综合测评卷 图1 32,则△ADC的面积为 图2 18.一个零件的形状如图11所示，按规定∠A=∠B=∠C= 5.如果一个多边形的边数增加2，那么关于其内角和与外角和 ∠CDE=∠AGF=90°，∠E=140°，质检工人测得∠F=140°，就 的变化，下列说法正确的是 断定这个零件不合格，这是为什么？ A.内角和、外角和均增加360 B.内角和不变，外角和增加360 C.外角和不变，内角和增加360° 13.一个正多边形的内角和为720°，则这个多边形的外角的度 D.内角和、外角和均不变 6.如图2，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.嘉嘉说： 数为 “作DP∥OC,CP∥OD,则由O,C,D,P四点构成的四边形是平行四 14.如图7，在口ABCD中，AB=2,∠ABC的平分线与∠BCD的 边形”.琪琪说：“作DQ=OC,CQ=OD,则由0，C,D,Q四点构成的 平分线交于点E.若点E恰好在AD边上，则BE2+CE2的值为 四边形是平行四边形”.下列判断正确的是 A.两人的说法都正确 15.如图8，直线1与x轴y轴分别交于点A(3,0),B(0,6),已知 B.嘉嘉的说法正确，琪琪的说法不正确 C(-1,4),D(-3,4).若点P是直线1上的动点，点Q是y轴上的动 C.嘉嘉的说法不正确，琪琪的说法正确 点，要使以P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为 D.两人的说法都不正确 平行四边形的一边，则满足条件的点P的坐标为