第39期 5.2 分式的运算(加减)（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

4 素养·拓展 数理招 本版责任编辑：任小娟 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 2.(10分)定义：如果两个分式A与B的差 第38期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话： 附加题⊙ 为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常 1 5.1分式及其基本性质 0351-5271248 分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”如 5.1.1分式 (以下试题供各地根据实际情况选用) tM-B=2x2 分式4=2B= 基础训练1.C;2.B;3.0. (上接4版参考答案) x-1x-1 18 a b 1.(10分)已知a,6,c为实数，且“+b =3 4.(1)m≠0；(2)x为全体实数； =2,则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常 a+(a-b) ab (3)2a≠b;(4)x≠3且x≠2. b+c 4,+a =5. 值”为2. 证明如下： bc ca (1)求+人+1的值： )已知分式C=D:判断C 5.(1)修这段路实际用的天数是，1500 2x+30 a3+b3 它是分式 a b C 是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由； a3+(a-b)5= 1500 (2)求b+c+“的值； 若是，请证明并求出C关于D的“差常值”. (2)当x=135时，原式=2×135+30=5 gi0。-m abc (3)求a,b,c的值 (2)已知分式E=x+1)(x-,F= 答：当x=135时，实际修完这段路用了5天 x+2 5.1.2分式的基本性质 x(x-b),其中E是F的“差常分式”，E关于F 基础训练1.C;2.B;3.A. x+2 a+b 的“差常值”为2，求a+b的值， 4.(1)2m (2)a-26 a+26 a+(a-b) x2 Y+4托=x(x+4)二x+4或24 附加题1.因 x 为abc=1,所以 x2 (+4)=x+4 1 5.2分式的运算（乘除） ab +b+l-ab +b+abc 5.2.1分式的乘除 基础训练1.B;2.C; a+l+ac'bc+c+1 3.2+2y+2 x-y a(bc +c+1) 数理报社试题研究中心 4 (2)7x3 6,2；(3)-1. a abc ac aI+ac +a (参考答案见下期) 5.(1)③. 2.因为2x+y 品味方法贴 (2)原式= m2-4 2-m m2-4m+42 ≠1，所以2x+y-1 简化园算有妙招 =(m+2)(m-2).2-m (m-2)2 2 ≠0. =-m+2 所 以 ◎河北叶洪流 2 一、运用乘法分配律简化运算 分析：观察式子的后两项，我们会发现它们 5.2.2分式的乘方 2x2+3xy+y2-x-y 例1化简：（4*2）n十2 的分母都是差为1的两个因式乘积的形式，且分 基础训练1.C:2.-3. 2x2-xy-y-x+y 1 1 1,将式子变 30之2)0：3)-￥ (2x+Y)(x+y)-(x+y)】 子为1，故可用n(n+1)=nn+1 (2x+y)(x-y）-(x-y） 分析：先把除法运算转化为乘法运算，然后形后再计算。 第38期3版参考答案 x+2+y- 运用乘法分配律求解即可 (x-y)(2x+y-1） = 解：原式 -、题号12345678 解：原式 1 1 答案BAACDB CA x+y 2m. 。1]·(m+2) x-y =[(m+2j(m-2)+2-m =x-1+x-2x-1+ x-3x-2 2m 1 =9≠19,102 1 因为x2+xy- (m+2m-2)·(m+2)+2-m(m+2) =-3 6 12.9; 2y2=0, 2mm+2 四、运用分离整式简化运算 1或 m-2m-2 例4计算：+4)+5_+6+10+1. 13.1-x;14.1或2. 所以(x =2m-m-2=m-2 x+2 x+3 x2+x1 m-2 =1. m-2 分析：由于x2+4x+5=(x+2)2+1,x2+ 三5.( (2)m+2 2y)(x-y)=0 故填1. m 6x+10=(x+3)2+1,故本题的两个分式都可 根据分式有意 二、运用乘法公式简化运算 先逆用同分母分式的加法法则，即运用“+b 16.(1)6xy; (2)4 n; (3)-1 2x+6 义的条件，得x-y 17.甲工程队修900m所用的时间为 900 ≠0. 分析：本题符合平方差公式的特点，应连续 仁+名，分离出一个整式和一个较简单的分式， 2-4 运用平方差公式后求解 600 合并后再通分. 天，乙工程队修600m所用的时间 所以x+2y= 解原武=(（+ (a-2)2天 t4 解：原式=：+2+1-+3+山+1 900 600 900 0.所以x=-2y. =y x+2 x+3 。-4÷(a-2)=(a+2(a-2) 所以原式= x+2x-3、1 =x+2+1 +1(a-2)2-3(a-2)-3a-6 三、运用裂项相消简化运算 x+3 600 =2a+2}=2a+4 例3计算：+0--2+ 1 1 _x+3-(x+2) 答：甲工程队修900m所用的时间是乙工程 x+2x+3=(x+2)(x+3) 1 队修60m所用时间的8，片倍 (全文完) (x-2)(x-3) x2+5x+6 （下转1,4版中缝) 数评括 2026年3月25日·星期三 初中数学 第39期总第1183期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-204 名师点睛。 恋周进0 5.2分式的运算（加减） 分式的加减“直通 学习目标：掌握分式的加减法法则，会 进行分式的加减运算. ◎江西 刘艳梅 学习分式的加减，我们可以类比以前学过法则进行计算 认知重点：熟练进行分式的混合运算， 的分数的加减运算进行.下面选取几例分析，供 这一法则可以用式子表示为：6士 d bc 同学们参考 ac 专题辅导 分式的加减运算应 一、同分母分式的加减 ±ad-bc±ad 分式 用广泛，下面举例加以说 ac 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把 明，供同学们参考 温馨提示：异分母分式的加减法实质分两 分子相加减 一、比较大小 步：第一步通分，化异分母分式为同分母分式； 例1已知b>a> 这一法则呵以用式子表示为：b士C=6±￡ a-a a 第二步运用同分母分式加减法则计算 直 0,则分式号与8的大 温馨提示：(1)式子中的a,b,c可以是单项 例2化简，1。 式，也可以是多项式，当分子相加减时，一定要 。)的结果是 击 减 小关系是 四 把各个分子看成一个整体，并加上括号；(2)运 A 1 B.a-3 a .a+1 A8<6+1 a+3 算后的结果要化为最简形式 例1计算，)-x的结果是( C.a+3 B.a-a+l D.1 a-3 x-y x-y 应 6=6+1 分析：两个分式的分母不同，应先通分，再 c号>8+ A.-1 B.1 按照同分母分式的减法法则计算即可. 用 C.y-x D. x-y a+3 6 D.不能确定 解：原式=(a+3)(a-3)(a+3)(a-3) 解： a+1 分析：利用同分母分式的减法法则运算即可 a+3-6 b+1 解：原式=yx=-1 (a+3)(a-3) a(b+1)-b(a+1) a-b x-y a-3 b(b+1) b(b+1) .因为b>a> 故选A =(a+3)(a-3) 0,所以a-b<0,b+1>0.所以6b+1) a-b 二、异分母分式的加减 <0. 1 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为 = a+3 所号8计<0所以号<8出 同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法 故选A 故选A 二、求待定字母 重点精进 例2 已知 B 2-x 如何确定最简公分母 (x-1)(x-2)则A-B= 2x-6 ©广东 孟轩睿 A B 解：x2122x= A(2-x）)-B(x-1) 一、分母是单项式 (x-1)(2-x) 为所有因式的最高次幂分别是x-1,(x+1)2 分母是单项式，应取各分母系数的最小公 2 (-A-B)x+(2A+B)=(A+B)x-(2A+B) (x-1)(2-x) (x-1)(x-2) 倍数与所有字母的最高次幂的积 所以+2x+21的最简公分母是(x+ 根据题意，得A+B2,解得A=4，所以 例1 分式，是号的最荷公分母是 1)2(x-1). 故填(x+1)2(x-1). 2A+B=6. lB=-2. 三、几种特殊的最简公分母的确定 A-B=6. 解析：3,2,6的最小公倍数是6；x的最高次 1.分式与整式通分时，分式的分母就是最简公 故填6 分母 三、求代数式的值 幂是动的最高次幂是y入.所以+上，3，y 3xy’2x2'6x 例3 若士+ 1 如：a,与a2+a+1的最简公分母是a-1 =-2,则分式 的最简公分母是6x2y2 故填6x2y2 2.分母互为相反数时，任何一个分母都可以 x-xY +y 3x 5xy +3y 二、分母是多项式 作为最简公分母 分母是多项式，先把各多项式分解因式，再 解：因为}+1=y+=-2,所以x+y 取所有因式的最高次幂的乘积 如：42号2的最简公分母是x-2或2 y 例2 1 2 =-2xy所以原式=3x+)+5对 (x+y)-xy 分式+2x+12二1的最简公 3.能约分的分式，要约分后再找最简公分母 -2xY -xY 分母是 a+b ab2 3×(-2xy）+5xy =3 解析：首先将各分式的分母因式分解：x2+ 如。+2b+b,6+b约分后的最简 故填3 2x+1=(x+1)2,x2-1=(x+1)(x-1).因公分母是a+b. 2 素养专练 数理极 5.22异分母分式相加减 5.2.3分式的混合运算 跟踪训练 垦础训练 屋础训练 gEnzoNGXUNLIAN 1.分式y 的最简公分母是 和4 1 ( ) 2 5.2分式的运算（加减） 1.化简2-12-2x+1+x+1的结果是 A.xy B.x2y C.x2y2 D.xy 5.2.1同分母分式相加减 垦础训练 玩，2+日的瑞果为 2.计算4 ( A.x-1 B.+1 x+1 x-1 + A.1 B.-1 C.a+2 C.1 D+4-1 1.化简m+n+m-”的结果是( a-1 D.a+2 2-a x2-1 2m -n'2m -n 2.如图，小敏同学不小 2m 3.若x+2=4,则分式-5x,的值为 A.2m-n B.0 x2+2 心将分式运算的作业撕环0，马 ( C.2 2n 了一角，若已知该运算正 D.2m -n A.-5 B.-4 十 确，则撕坏的部分中“■”代表的是 2.新定义：若两个分式A与B的差为n(n为 3.计算： 0.5 4 正整教)，则称A是B的“n©分式”.若}2+是 D. 4 1 (1)(1+ 3+2x ).-1 a b ax+6的“2圈分式”，则a的值为 () 4.已知a 0x+4+-4 2-16则ab的值为 8x 3+2x A.0 B.-1 5.通分： C.-2 D.-3 + 3U知P-塔0=完丰u>6 与0 >0,则P,Q的大小关系是 A.P=0 B.P>O + C.P<Q D.不能确定 4已知两分式口，十中间阴彩覆釜了 (2)(x+1-3 x-1 x+1 1 (2)2+2x与e- 运算符号 (1)若覆盖了“+”，其运算结果为 + (2)若覆盖了“÷”，并且运算结果为1，则x的 值为 5.计算： + (1)5x+3y 2x x2-y2x2-7 6.计算： 2+ 4先化简：1）22再从1. x-2 2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值， 2)43十 1 (2)2a-4-1 a2-4a a-4 ++ 6.先化简，再求值：(a-b)(a-c a2-b2 (3)b 2ab -6+a+662-2 (a-6b)(a-c)其中a=3,6=-2,c=-1 b2-c2 能刀提高 瓦已知m+=2(m>0),则代效式m 能刀提高 2m+5= () 的信为 A.3 B.4 7.若2"=5,5”=2，则 m+1+ C.5 D.6 数理报社试题研究中心 B.1 C.3 D.2 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 (2)若x2-x-1=0,求(1)所得代数式的值， 同步检测 TONGBUJIANCE- 【检测范围：5.2（加减）】 一、精心选一选（每小题4分，共32分） A.1 题号1234 "a+b 5 678 B.b-a 答案 C-ati Da-i 17.(10分)已知A=a+b,B=2b 2a a+6(a,b都 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 1.化简1- :十的结果是 9分式26与是的最简公分母是 是正整数) A.0 B、2 米+1 C.x D.x+2 （1)计算24-号8 “x+1 x+1 (2)若A=B,试判断a与b的数量关系 2若-口·，r口白的战足 10.计算： n x-1 m -n n-m ( 1将分式，。与分式。如 A.-1 B.-2 a2-2a+1通分后 C.-3 D.任意实数 1-。2的分子变为 1-x2 ,x的步骤如下： 3.化简2-2+11-x 12.如果a-b=1,那么代数式(。+8-26) 原式= 1-x2 x2-x (x-1)2 +(x-1 ÷0二b的值为 a 1-x 1 =+x=1x- (x-1)2 13对于正数x,规定代)=+x例如3) 上述解题过程中用到的依据有：①约分；②合 1 并同类项；③同分母分式的加减法则；④通分，排 3 3 1 18.(12分)阅读下列材料，完成相应的任务 +33)= = 计算 序正确的是 1+3 4 已知m 3x-1 A.①②3④ B.③②④① 1+2-2求mn C.④③②① D.④②③① 306+0)+30+…+号)+的值 a-1。+那么分 4如果A。2B= 2 1 2)+f1)+f2)+f3)+…+f2024)+ 法一：令x=0,得-m-及=-分令x 式A与B之间的关系是 ( )f2025)+f(2026)的结果是 A.A+B=0 B.A·B=0 14.已知2+3x-1=0,则代数式42+9+3，得+n=4.所以 m-号2解得 C.A=B D.A =2B 1 +2的值是 +n4 5已知-日=2则a的，动的值为 x2 m=-2, 三、耐心解一解（共44分） n=5. 15.(12分)计算： A-子B号 D.- 2 62 66 解法二：m x1+22=2一2+2x一2= (x-1)(x-2) 3x-1 6.小明每天上学都要 m+n）x-2m、九三x-1)（x-2)所以 (x-1)(x-2) 经过一段平路、一段上坡路 和一段下坡路（如图），其中上坡路程是下坡路程 m+n=3,解得m=2, 2m+n=1. ln=5. 的3倍，又知他走下坡路的速度是走上坡路的 2+- （①已知4+3+1+用 6 2倍.那么小明上学路上所用时间与放学回家路上 所用时间比较 ( 材料中的解法一求a,b的值； A.上学路上所用时间少 B.放学回家路上所用时间少 (2)已知中1+，名1=用材相中的 C.同样多 x2-25 解法二求p,9的值。 (3) x+5 D.无法确定 x-5-x2-10x+25÷x+1 7.下列各式的计算结果与。-。互为倒数的 a b A.6 B.ab “a+bb-a b C.1、1 Dia-a 16.(10分)老师在黑板上书写了一个代数式 a b 的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式 &小可在化简。。时，把整式M抄情 如下：( 了，得到的化简结果是。。他在核对时发现所抄 x2-x+1 写的M比原来的M大2b,则原式的化简结果是 ( (1)求所捂部分化简后的结果： (下转第4版)