第43期 6.2 三角形的中位线 6.3 多边形的内角和与外角和（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

本版责任编辑：任小娟 4 素养拓展 数理招 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 锶维天 第42期2版参考答案 报纸发行质量反馈电话： 多边形中的数学思想 6.1平行四边形的性质及判定 0351-5271248 6.1.1平行四边形的性质 基础训练1.C:2.C:3.1.5. 【上接4版参考答案) ◎天津郝婧 4.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD: (2)延长DA,FE交 一、方程思想 156°，所以这个多边形的每个外角都为：180° BC=AD,∠ABC=∠ADC.因为△BCE和△CDF都是 于点M,图略.因为点E 具有方程意识，并且会用方程解决问题，是156°=24°.所以这个多边形的边数为：360°÷ 等边三角形，9所以CD=DF,BC=BE,∠EBC= 是AB的中点，所以AE ∠CDF=6O°.所以AB=DF,BE=AD,∠ABC+∠EBC 初中生应具备的基本数学能力，方程思想的确 24°=15，即这个多边形是十五边形.故选D, =BE.因为四边形 =∠ADC+∠CDF,即∠ABE=∠FDA.所以△ABE≌ 立，标志着真正数学思维的形成 三、整体思想 ABCD是平行四边形， △FDA(SAS).所以AE=AF 例1一个多边形的每个外角都相等，且是 整体思想，就是在研究和解决有关数学问 5.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，∠B= 所以AD∥BC.所以 ∠M=∠EFB=45°.由 它相邻内角的？，则此多边形是 题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整 60°，所以AD∥BC,∠D=∠B=60°.所以∠BAD= 边形. 体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法 180°-∠B=120°.因为AE⊥BC,AF⊥CD,所以 对顶角相等，得∠AEM 分析：根据正多边形的一个外角与相邻内有一些数学问题，如果从局部人手，难以各个突 ∠AEB=∠AFD=90°.所以∠BAE=90°-∠B=30°， =∠FEB.所以△AEM 角互补列出方程，从而求得外角的度数，最后根 DAF=90°-∠D=30°.所以∠EAF=∠BAD 兰△BEF(AAS).所以 破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思 ∠BAE-∠DAF=60°. 据任意正多边形的外角和是360°求解即可. ME=FE.因为DF⊥ 想方法，则常常能出奇制胜、简捷解题 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，BC=6,所以 BC,所以∠DFB=90° 解：设这个多边形的一个外角的度数为x. 例3如图，在五边形 AD=BC=6.由(1)知∠DAF=30°所以DF= 所以∠DFE=∠DFB 根据题意，得x=子(180-x).解得x=45.所以ABCDE中，∠A+∠B+∠E= ∠EFB=45°.所以DM =3.由勾股定理，得AF=√AD2-DF=3√5. 这个多边形的边数为：360°÷45°=8，即这个多 320°，DP,CP分别平分∠CDE 能力提高6.B. =DF所以DE⊥EF 边形是八边形.故填八 ∠BCD,则∠P的度数是 6.1.2平行四边形的判定 附加题1.因为 基础训练1.B;2.A;3.D;4.是 四边形ABCD是平行四 二、转化思想 A.70 B.65° C.60 D.559 5.因为a2+b2+c2+d=2ac+2bd,所以(a-c)1 边形，AB=4,所以CD 转化思想是数学的基本思想，也是数学解决 问题的基本方法数学解决问题的基本思路就是 分析：根据五边形的内角和等于540°可求 +(b-d)2=0.所以a=c,b=d.所以四边形ABCD是 =AB=4,AD∥BC.因 平行四边形 为∠ACB=30°，所以 将复杂的未知的问题转化为简单的已知的问题， ∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定 6.由对打顶角相等，得∠AOE=∠COD.在△AOE和 ∠DAC=∠ACB= 至于转化的具体方法，因问题而有所不同，但总的义可得∠PDC+∠PCD的度数，进一步求得∠P △COD中，因为∠EA0=∠DC0,A0=C0,∠AOE= 30°.根据折叠的性质， 方向是化大为小、化异为同、化繁为简 的度数. ∠COD,所以△AOE≌△COD(ASA).所以OE=OD. 得AE=AD,CD=CE, 例2一个多边形的每个内角均为156°，则 解：五边形ABCDE的内角和为：(5-2)× 所以四边形AECD是平行四边形. 6.2三角形的中位线 LACD=90°.所以∠D 这个多边形是 )180°=540°.因为∠A+∠B+∠E=320°，所以 基础训练1.B;2.D;3.C;4.4. =90°-∠DAC=60°. A.九边形 B.十边形 ∠BCD+∠CDE=220°.因为DP,CP分别平分 5.因为∠ACD=120°，所以∠ACB=180°-∠ACD= 所以△ADE是等边三 C.十二边形 D.十五边形 ∠CDE,∠BCD,所以∠PDC+∠PCD 60°.因为AB=AC=2,所以△ABC是等边三角形.所以BC 角形.所以AD=AE= 分析：振据E多边形的肉角与外角的美系之∠CDR+宁∠BCD=分（∠CDB+LBCD) AB=2.所以CD=BC=2因为E,F分别为AC,AD的 DE=2CD=8.所以 将多边形的内角问题转化为多边形的外角问题 中点，所以EF=2CD=1,LAEF=∠ACD=120 △ADE的周长为：8×3 解决，可以快速得解 110°.所以∠P=180°-（∠PDC+∠PCD) =24 6.因为CD是△ABC的中线，所以AD=DB.因为 解：因为这个多边形的每个内角都等于70°.故选A EF=AE,所以DE∥BF.又CF∥AB,所以四边形DBFC 2.(1)因为AC= 是平行四边形. AE,BC=BE,所以AB 题型 第42期3版参考答案 CE,∠AEC 多边 一、 题号12345678 ∠ACE,∠BEC 就在你身边 ∠BCE.所以∠AEC+ 答案DBADBCAC ∠BEC=∠ACE + 二、9.14；10.118°；11.答案不惟一，如AB=CD: ∠BCE,即∠AEB = ◎广州朱林丽 现实情景中有许多与多边形相联系的问 分析：根据正多边形的外角和是360°，且每 12.30°；13.6； 14.9或10 LACB.因为∠AEB= LCAD,所以∠ACB= 题，这些问题立意新颖，趣味性、应用性强，下面 个外角都相等，即可求出∠1. 三、15.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA 举例予以说明. 解：因为“停车让行标志”可以看成是正八 =OC,OB=OD.因为AE=CF,所以OA+AE=OC ∠CAD.所以BC∥AD. CF,即OE=OF.因为BG=DH,所以OB-BG=OD 因为CD⊥CE,所以AB 一、班徽设计 边形，所以∠1=360°÷8=45°.故填45 DH,即OG=OH.所以四边形EGFH是平行四边形. ∥CD.所以四边形 例1为了提高同学们 三、行走路线 16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ ABCD是平行四边形 的创新能力和设计能力，某 例3如图3，一只蚂蚁从点A出发每向前 BC,AD=BC.所以∠AEB=∠DAE.因为AB=AE,所 (2)过点A作AG⊥ 中学进行班徽设计大赛，如 爬行5厘米，就向左边偏转9°，则这只蚂蚁回到 以∠B=∠AEB.所以∠B=∠DAE.在△ABC和 CD于点G,图略.所以 △EAD中，因为AB=EA,∠B=∠DAE,BC=AD,所以 图1是某班一位同学的班徽 点A时，共爬行了 △ABC≌△EAD(SAS) AG∥CF.又AB∥CD, 设计获奖作品，其形状可以 17.(1)因为BD是△ABC的角平分线，所以∠CBD AB⊥CE,所以CF= 近似看作正五边形，则每 =∠EBD.因为ED∥BC,所以∠CBD=∠EDB.所以 AG.根据勾股定理，得 个内角的度数为 ∠EBD=∠EDB.所以BE=ED.因为BE=CF,所以ED AC2-CC2 AD2 DG,即42-(3-DG) 分析：根据正多边形的内角和公式、概念即 20 =CF又ED∥FC,所以四边形EFCD是平行四边形. (2)因为BD是△ABC的角平分线，∠ABC=60° 图3 =32-DG.解得DG= 可求解 A.100厘米 解：正五边形的内角和为：(5-2)×180°= B.200厘米 所以∠ABD=∠ABC=30因为∠ADB=100,所 3所以CF=AG= 540°.因为正五边形的每一个内角都相等，所以 C.400厘米 D.不能回到点A 以∠A=180°-∠ABD-∠ADB=50°.因为四边形 AD-DG2 45 每一个内角的度数为：540°÷5=108°.故填 分析：根据题意可得，这只蚂蚁回到，点A时， EFCD是平行四边形，所以EF∥AC.所以∠AEF=18O 31 108. 经过的正多边形的每个外角的度数都是9°，求 ∠A=130°. 因为AC=AE,AB⊥ 18.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB 二、交通标志 出这个正多边形的边数即可得解， =CD,AB∥CD.因为CE=AB,所以CE=CD.所以 CE,所以CE=2CF= 例2小明发现交通指 解：根据题意可得，这只蚂蚁回到点A时，经 85 ∠CDE=∠CED=2(180°-∠DCE)=90° 3 示牌中“停车让行标志”可以 过的正多边形的边数为：360°÷9°=40. LDGE.所以∠ABD=∠CDE=0°-∠DCE. (全文完) 看成是正八边形，如图2，则 所以这只蚂蚁回到点A时，共爬行了：40×5 ∠1= =200(厘米).故选B. (下转1,4版中缝) 数理极 2026年4月22日·星期三 初中数学 第 43期总第1187期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-204 本周生钟 名师点睛： 6.3多边形的内角和与外角和 多角少角 巧炒求解 学习目标：会应用多边形的内角和公式 与外角和进行相关的计算 ⊙广东姚晓婷 在解多边形问题时，常常会遇到少算角、多了一个内角，所以这个多边形的内角和大于 认知重点：能通过不同方法 算角、剪去角等问题，很多同学在解这类题型时1830°-180°，且小于1830°，求解不等式组确 探索多边形的内角和公式与外 往往会束手无策为了帮助同学们突破这一难 定n的整数解 角和 点，现讲解如下： 解：设这个多边形的边数为n 一、少算一个角 根据题意，得1830-180<(n-2)×180< 多边形的内角和与 例1一个多边形少算一个内角，其余内角 1830 门向导 外角和是多边形相关知之和是1500°，则这个多边形的边数是( 解得11 A.8 6<n<12 1 6 识的延展，从三角形内角 B.9 C.10 D.11 和、外角和到多边形的内 分析：设这个多边形的边数为n,因为少算 因为n为正整数， 内 所以n=12,即这个多边形的边数为12， 角和、外角和，环环相扣， 了一个内角，所以这个多边形的内角和大于 多边 前面的知识为后边的知1500°，且小于1500°+180°，求解不等式组确 三、剪去一个角 例3 一个多边形纸片按 识做了铺垫，联系性此较 定n的整数解 如图所示的剪法剪去一个内 解：设这个多边形的边数为n 和与 配强，可以焙养学生的深素 角后，多边形的内角和 与归纳能力. 根据题意，得1500<(n-2)×180<1500 赵 (填“增加”或“减 的 如图1所示，在n边 +180. 少”) 雪形A,A,4,…An中，从其 解得10 <n<11 分析：根据题意可设原来的多边形边数为 前 中一个顶点可以引(n n,则新多边形的边数为n+1,然后利用多边形 因为n为正整数， 3)条对角线，得到(n 的内角和公式进行计算即可解答， 所以n=11. 2)个三角形，这(n-2) 解：设原来的多边形边数为n,则新多边形 故选D. 的边数为n+1. 个三角形的内角和就是 二、多算一个角 所以(n+1-2)×180°-(n-2)×180°= 这个n边形的内角和，即(n-2)×180° 例2小明在求一个多边形的内角和时，多 (n-2)×180°+180°-(n-2)×180°=180° 算了一个内角，总和为1830°，求这个多边形的 所以一个多边形纸片按如上图所示的剪法 边数， 剪去一个内角后，多边形的内角和增加180 分析：设这个多边形的边数为几，因为多算 故填增加，180 十十十“十十十“十“十“十十十“十“+十 专题辅导 图1 一、多边形的内角和大显身手 例1如图2，已知∠MON 初识 用正多边形镶嵌地面 =60°，正五边形ABCDE的顶 点A,B在射线OM上，顶点E在 O山西李卓鹏 射线ON上，则∠AE0= 观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面12.由于x,y都为正整数，故只有当x=3,y=2 图2 常常是用一种或几种正多边形瓷砖镶嵌而成.你时，2x+3y=12才能成立.所以用3块正三角形瓷 解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以 知道用哪些正多边形瓷砖可以铺满地面吗？ 砖和2块正方形瓷砖可以铺满地面.同理，用2块 一、用一种正多边形瓷砖镶嵌地面 正三角形瓷砖和2块正六边形瓷砖或用4块正三 ∠EAB=(5-2）×180°=108.所以∠AE0 例1只用一种正六边形地砖密铺地板，则角形瓷砖和1块正六边形瓷砖可以铺满地面， =∠EAB-∠M0N=48°.故填48 围绕在正六边形的一个顶点处的正六边形地砖 故选C. 二、多边形的外角和初露锋芒 有 () 三、探索规律 例2已知一个正多边形的每一个外角都 A.3块 B.4块 C.5块D.6块 例3如图，是某广场用 是40°，则这个正多边形的边数是 解：正六边形的每一个内角为：(6-2)×地砖铺设的部分图案，中央 180°÷6=120°.所以围绕在正六边形的一个顶是一块正六边形地砖，周围 A.8 B.9 C.10 D.12 点处的正六边形地砖有：360°÷120°=3（块）. 是正三角形和正方形地砖： 解：因为这个正多边形的每一个外角都是 故选A 从里向外的第1层有6个正 40°，多边形的外角和是360°，所以这个正多边 二、用两种正多边形瓷砖镶嵌地面 方形地砖和6个正三角形地砖，第2层有6个正 形的边数是：360°÷40°=9.故选B. 例2用下列两组边长相等的瓷砖镶嵌地方形地砖和18个正三角形地砖，·，依此递推， 三、多边形的内角和与外角和齐心合力 面：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边 则第6层有正三角形地砖的个数是 ,第 例3若一个正n边形的内角和为1080°，形，将每组中的两种正多边形结合，能铺满地面n层有正三角形地砖的个数是 则它的每个外角度数是 ()的是 ( 解：第1层有6×1个正三角形地砖，第2层 A.36° B.459 C.72° D.60° A.① B.② 有6×3个正三角形地砖，…，所以第6层有正三 解：根据题意，可得(n-2)×180°= C.①② D.都不能 角形地砖的个数是：6×11=66，第n层有正三 1080°.解得n=8.所以这个多边形每个外角的 解：假设用x块正三角形瓷砖与y块正方形角形地砖的个数是：6(2n-1)=12n-6. 度数为：360°÷8=45°.故选B. 瓷砖可以铺满，则60x+90y=360,即2x+3y= 故填66,12n-6. 素养专练 数理极 7.已知一个正多边形一个内角是一个外角的 跟踪训练 能刀提高 倍，求这个正多边形的边数， 8.如图5，在五边形ABCDE 2 GENZONGXUNLIAN 中，对角线AD,BE交于点P,则 6.3多边形的内角和与外角和 ∠DPB的度数为 6.3.1多边形的内角和 9.一个n边形除去一个内 图5 角之后，其余各内角之和是1780°，求这个多边形 垦础训练 的边数n和除去的内角的度数. 1.燃灯佛舍利塔被称作“通州八景”之一，它 巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地 区建造年代最早、最高大的佛塔之一.燃灯佛舍利 塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均！ 为正八边形砖木结构，图1所示的正八边形是其 中一层的平面示意图，其内角和为 () A.135° B.360° 能刀提高 C.1080 D.1440 D 8.如图4，假如王明从点A出发，沿直线走 6米后向左转0，接着沿直线前进6米后，再向左转 0,…,如此下去，当他第一次回到A点时，发现自 己走了72米，求0的度数 图1 6.3.2多边形的外角和 2.正六边形的每个内角度数为 A.72° B.1009 垦础训练 图4 C.120° D.150 1.一个四边形的外角和为 () 3.一个多边形的内角和大于1100°，小于 A.360° B.540° C.720°D.180° 1300°，这个多边形的边数是 ( 2.正n边形的一个外角为30°，则n的值为 A.6 B.7 C.8 D.9 ( 4.如图2，在正五边形ABCDE中，以AB为 A.6 B.8 C.10 D.12 边，在正五边形内作正方形ABMN,则∠CBM= 3.一个多边形的内角和等于外角和的2倍， 则这个多边形是 5.已知一个正多边形的一个内角等于144°， A.六边形 B.七边形 则这个多边形的边数是 C.八边形 D.十边形 9.如图5，四边形ABCD中，AF平分∠BAD 6.如图3，在五边形ABCDE中，AB∥CD,求x 4.如图1，第四套人民币中菊花1角硬币，则 DF平分∠ADC,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD 的值. 该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角α的度数 (1)若∠F=80°，则∠ABC+∠BCD= 140°70PyB °，∠E= 120 (2)探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说 明理由. 图3 图1 图2 5.如图2，∠1，∠2，∠3是多边形ABCDE的 三个外角，边CD,AE的延长线交于点F,如果∠1 7.如图4，在四边形ABCD中，∠A=100°， +∠2+∠3=225°，那么∠DFE的度数是 ∠D=140°，∠BCD的平分线CE交AB于点E. (1)若∠B=∠BCD,则∠B= 6.如图3，∠ABE是四边形ABCD的外角， (2)若CE⊥AB,求∠B的大小N ∠ABE=∠D.求证：∠A+∠C=180. 图4 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 5 18.(14分)研究一个问题：多边形的一个外角 同步检测 与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？ (1)如图10-①，∠ACD是△ABC的外角，请 直接写出∠ACD与∠A,∠B之间的数量关系： TONGBUJIANCE- 【检测范围：6.3】 (2)如图10-②，∠DCE是四边形ABCD的外 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 纹窗棂，图7是这种窗棂中的部分图案若∠1+∠3 角，求证：∠DCE=∠A+∠B+∠D-180°； 题号1 345 6 8 +∠5=186°，则∠2+∠4+∠6= (3)若n边形的一个外角为x°，与其不相邻的 答案 内角之和为y°，则x,y与n的数量关系是 1.一个五边形的外角和为 A.3609 B.540° C.7209 D.180° 2.已知一个多边形的内角和为360°，则这个 图6 图 多边形为 ( 14.将一个正五边形与 1 A.三角形 B.四边形 一个正八边形按如图8所示 C.五边形 D.六边形 的方式放置，顶点A,B,C,D 3.若一个多边形的每个内角都为160°，则它在同一条直线上，E为公共顶 的边数为 ( ) 点，则∠FEG的度数是 A.15 B.16 C.18 D.20 三、耐心解一解（共44分） 4.如图1，四边形ABCD的外角中，∠1=93° 15.(8分)在一个正多边形中，一个外角比 ∠2=107°，∠3=110°，则∠D的度数为( ):个内角小100°，求这个多边形每一个内角的度数. 附加题⊙ A.125° B.130° (以下试题供各地根据实际情况选用) C.135° D.140° 1.(8分)如图1，从一个五边形中截去一个三 41 角形，得到一个三角形和一个新多边形，那么这个 新多边形的内角和等于多少度？请画图说明 图1 图2 5.如图2，五边形ABCDE是正五边形，且l1∥ 2.若∠1=57°，则∠2= A.1089 B.36° C.72 D.129° 6.一个多边形内角和与它的外角和的比为7： 16.(10分)如图9，将六边形纸片ABCDEF沿 2,则这个多边形的边数为 虚线剪去一个角（∠BCD)后，得到∠1+∠2+∠3 A.9 B.8 C.7 D.6 +∠4+∠5=470° 7.如图3，一个正方形水池的四周恰好被4个 (1)求六边形ABCDEF的内角和； 正n边形地板砖铺满，则n的值为 ( (2)求∠G的度数. 2.(12分)(1)如图2-①，∠1，∠2都是四边 A.4 B.6 C.8 D.10 形ABCD的外角，试探究∠1，∠2与∠A,∠B之间 的数量关系； 3 (2)如图2-②，∠1，∠2都是四边形ABCD的 外角，试探究∠1，∠2与∠B,∠D之间的数量关系； 图 (3)用你发现的结论解决下列问题：如图2一 图3 图4 ③，AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD, 8.如图4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是 ∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数 ( A.180° B.270°C.360°D.540° 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 17.(12分)张泽同学在计算某个多边形的内 9.一个正n边形有个外角 角和时，将其中一个内角多算了一次，得到的结果是 10.过多边形一个顶点的对角线共有4条，则1840°，求这个多边形的边数和多算的内角的度数。 这个多边形的内角和为 11.如图5，五边形ABCDE 是正五边形，过点B作AB的垂 线交CD于点F,则∠BFC= 12.一个多边形的每一个 外角都相等，且每一个内角都 图5 比外角大90°，则这个多边形的边数是 每个内角的度数是 13.“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗 数理报社试题研究中心 棂中蕴含着许多的数学元素图6中的窗棂是冰裂 (参考答案见下期)