第37期 4.1 因式分解 4.2 提公因式法 4.3 公式法 第四章复习与小结（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学学案（北师大版·新教材）

" 回 一齿s函 。 ☒ K -N 裙e电e (SVS)ONVV 容然的。， + a眼的9 8啤区$调 函 忘三过Ⅱ三””令川 国 20.先阅读下列因式分解的过程，再解答问题： 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题 23.整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由(x+p)(x+g) 1+x+x(1+x)+x(1+x) 14分，共27分) =x2+(p+q)x+p9,得x2+(p+q)x+p四=(x+p)(x+9),利 =(1+x)[1+x+x(1+x)] 22.将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用 用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例 =(1+x)2(1+x) 分组分解法.分组分解法有两种分法：一是“3+1”分组，二是“2+ 如：将式子x2-x-6因式分解.这个式子的常数项-6=2×(-3)， =(1+x)3. 2”分组.两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构 一次项系数-1=2+(-3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地 (1)上述因式分解的方法是 成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“3+1”分组；若无法构 表示：先分解一次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； (2)若分解1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)”,则 成，则采用“2+2”分组： 再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下 /2 需应用上述方法 次，结果是 例如：am+bm+an+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+ 角：然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系 -3 (3)分解因式：(1+x)4+x(1+x)4+x(1+x)+x(1+x)6+ b)+n(a+b)=(a+b)(m+n); 数，如图3.这种分解二次三项式的方法叫作十字相1x(-3)+1x2=-1 x(1+x)7. x2+2x+1-4=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1 乘法 图3 2)(x+1+2)=(x-1)(x+3) 利用上述方法，解决下列问题： (1)因式分解：①d2-ab+bc-ac;②-u2-6ab-9b2+9. (1)因式分解：①3x2-11x+6;②6-b2-12. (2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的 (2)先因式分解，再求值：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+9,其 数理报· 值 中x2+x=4. 数 (3)已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足2a2=c(2a-c) (3)若x2+px-8可以因式分解为(x+a)(x+b),其中a,b,P 理 +b(2a-b),试判断△ABC的形状，并说明理由. 都是整数，求p的所有可能的值， 报 初 中数学·北 师 21.定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式， 我们就称这个多项式为“双一次可分解式”.例如，多项式x+3x+2 年 =(x+1)(x+2),它是“双一次可分解式”；而x2+1不能写成两个 级 一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式” 综合测评卷 (1)判断多项式a2+6a+9是否为“双一次可分解式”； ·初中数学·北师大八年级综合测评卷 (2)判断多项式m(x-y)+n(y-x)是否为“双一次可分解 式”； (3)已知多项式mx2+5x+6是“双一次可分解式”，且其中一个 一次因式为x+2,求m的值. 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 教淫极 2026年3月11日·星期三 初中数学 37期总第1181期 北师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-204 入门向导 众所周知，利用提公 学习因式分解“四认清 因式法分解因式的关键 是正确找出公因式.下面 举例介绍公因式的几种 。河南卫磊 类型，供同学们赏析 因式分解是初中数学中一种重要的恒等变 例如：x2-3x+2=x(x-3)+2,这种变形只对 一、单项式公因式 形，指的是把一个多项式表示成若干个整式的前面两项进行了分解，最后的结果是和的形式， 单项式公因式要做 积的形式.正确理解因式分解的概念是进行因 这不是因式分解；ab+bc+ac=abc( 1,1 到“三看”： c+a 知类 式分解的前提和基础.同学们在学习这一知识 看系数：若各项系 时，要认清以下几点 方)，等号右边的分母中出现了字母，不是整式。 数都是整数，则应选取各 一、认清因式分解与整式乘法的关系 项系数的最大公约数； 因式分解是和差化积，整式乘法是积化和 因而不是因式分解 二看字母：选取各项 差，是两种互逆的恒等变形的过程，因此因式分 四、认清因式分解的特殊要求 都含有的字母： 解的结果是否正确，可以用整式乘法来检验.如 因式分解应分解到不能再分解为止，相同的 三看字母的次数：选 (a+1)(a-1)=a2-1就是整式的乘法，而a2 因式要写成幂的形式，每一个因式要尽量化简， 取各个字母的最低次数 -1=(a+1)(a-1)就是因式分解 例如：ad3-64a=a(a2-64)这个分解就不彻底， 1.数字公因式 二、认清因式分解的对象 因为a2-64还可以再分解为(a+8)(a-8). 例1若m+n=4,则2m2+4mn+2n2 因式分解的对象不仅要是整式，而且还必 例 下列从左到右的变形中，属于因式分 5的值为 须是多项式，如果不是多项式也就谈不上因式 解的是 ( A.27 B.11 C.3 D.0 分解，例如：y。=x·y·y·z就不是因式分解， A.(x+2y)2=x2+4xy+4y 解：因为m+n=4,所以2m2+4mn+2n2-5 这是因为xy是单项式，它本身就是整式的积 B.-18xy3=-6x2y2·3x2y =2(m2+2mn+n2)-5=2(m+n)2-5=27. C.x(2x-y)+2y(2x-y)=(2x-y)(x+2y) 的形式再例如：a- 方(ab-1)也不是因 故选A. 6= D.x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1 2.字母公因式 式分解，这是因为a-不是整式 解析：选项A中，等式从左到右的变形属于 例2把多项式x2-3x分解因式是（ 整式的乘法：选项B中，等式左边是单项式，不 A.x(x+3) B.x(x-3) 三、认清因式分解的结果 能因式分解：选项C中，等式左边是多项式，等 C.(x+3)2 D.(x+3)(x-3) 因式分解的结果是几个整式的积的形式， 式右边是整式的积，属于因式分解；选项D中 解：x2-3x=x(x-3). 不是部分的积，也不是积的和；因式要为整式 等式的右边不是积的形式.故选C. 故选B 3.组合公因式 名师点晴 例3将多项式2x2y3-8x2y因式分解为 因式分解 大秀场 解：原式=2xy(y2-4) ◎广东徐瑾婷 =2x2y(y+2)(y-2) 因式分解是初中数学的重要知识，同时它+b+9=10 故填2x2y(y+2)(y-2). 也是一种重要的数学模型，现撷取几例，供同学 故填10. 二、多项式公因式 们参考. 四、判断三角形的形状 在进行多项式公因式的提取时，要注意符 一、简便运算 例4若三角形的三边长分别为a,b,c,且 号的变化，有时需要将式子进行变形 例1计算852-130×85+652的结果是满足ab-ac=62-bc,则这个三角形-定是 例4 分解因式(a2+a)2-(a+1)2的结 果是 解：原式=[a(a+1)]2-(a+1) 解：原式=852-2×65×85+652=(85- A.直角三角形 B.等边三角形 =a2(a+1)2-(a+1)2 65)2=202=400 C.锐角三角形 D.等腰三角形 =(a+1)2(a2-1) 故填400. 解：因为ab-ac=b2-bc,所以a(b-c)= =(a+1)2(a+1)(a-1) 二、解决整除问题 b(b-c).所以a(b-c)-b(b-c)=0.所以(b =(a+1)3(a-1). 例2(-8)5+(-8)？能被下列数整除的-c)(a-b)=0.所以b-c=0或a-b=0. 故填(a+1)3(a-1). 是 )所以b=c或a=b.所以这个三角形一定是等腰 A.5 B.6 C.7 D.9 三角形 解：因为(-8)5+(-8)7=(-8)5×[1+ 本周 故选D. (-8)2]=65×(-8)5=13×5×(-8)°，所 五、证明不等关系 4.1因式分解 以(-8)5+(-8)7能被5整除 例5已知a,b,c是△ABC的三边长，求 4.2提公因式法 故选A. 证：a2+62-c2+2ab>0. 4.3公式法 三、求整式的值 证明：a2+62-c2+2ab=(a+b)2-c2= 学习目标：1理解因式分解的意义： 例3已知a+b=1,则整式a2-b2+2b(a+b+c)(a+b-c).因为a,b,c是△ABC的 2掌握提公因式法和公式法这两种因式 分解的基本方法」 +9的值为■ 三边长，所以a>0,b>0,c>0,a+b>c.所以 认知重点：能综合运用两种方法进行因 解：因为a+b=1,所以a2-b2+2b+9=a+b+c>0,a+b-c>0.所以(a+b+c)(a 式分解 (a+b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b-c)>0,即a2+62-c2+2ab>0. 2 素养专练 数理极 (3)(2m-n)(x+y)+(x-y)(n-2m). 第36期1,2版参考答案 跟踪训练 -、题号12345678910 答案B CC D A BB A C B GENZONGXUNLIAN =、11.52 12.2;13.115:14.8;15.3或6 4.1因式分解 三、16.图略. 17.数轴表示略.(1)x>-4;(2)-1≤x<3. 18.证明略. 堡础训练 4.3公式法 四、19.(1)因为AE∥BC,所以∠B=∠DAE,∠C= ∠CAE.因为AE平分∠DAC,所以∠DAE=∠CAE.所以 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解 LB=∠C.所以AB=AC.所以△ABC是等腰三角形. 的是 ( 垦础训练 (2)BC的长为12. 20.(1)图略. A.(a+b)2=a2+2ab+b2 1.若多项式x2-mx+36能用完全平方公式进 (2)图略.点B,的坐标为(-1，-2) B.2ma2+4ma+2m=2m(a+1)2 行因式分解，则m的值是 (3)图略这个变化过程中△ABC扫过的面积为23.5. 21.(1)设甲团队有x人，则乙团队有(102-x)人.由 C.a2+1=a(a+L) A.±6B.±12 C.6 D.-12 题意，得乙团队人数在51到100之间，甲团队人数在10到 a 2.已知42-1可以被10到20之间的某两个 50之间.根据题意，得60x+50(102-x)=5580.解得x= D.x2+6x+36=(x+3)2+27 48.所以102-x=54. 整数整除，则这两个数是 答：甲团队有48人，乙团队有54人. 2.若x+2是多项式4x2+5x+m的一个因式 A.12,14 B.13,15 (2)设甲团队有y人，则乙团队有(102-y)人.甲、乙 两团队一起购票所需费用为：102×40=4080（元）.根据 则m的值是 ( C.14,16 D.15,17 题意，得60y+50(102-y)-4080≥1200.解得y≥18. A.-6B.6 C.-9D.9 3.因式分解：4m2-4m-4n2+1= 答：甲团队最少有18人. 3.根据如图所示的拼图过程，写出一个多项 五、22.(1)线段P0的长为2. 4.把下列各式因式分解： (2)因为∠QAP=90°，AQ=AP,所以∠APQ=45° 式的因式分解： (1)2ab3-18a3b: 由旋转的性质，得CQ=BP=3.在△CPQ中，PQ=√2，CQ =3,CP=7,因为CP+PQ=9,CQ2=9,所以CP2+ PQg=CQ2.所以∠CPQ=90°.所以∠APC=∠CPQ+ ∠APQ=135°. 4.连一连： 23.(1)因为点C的坐标为(4,0)，点A的坐标为(2， 0),所以OA=AC.因为△AOB是等边三角形，所以OA= 8y2+8y m(m +3mn -n) AB.所以AB=AC.因为△CBD是等边三角形，所以DB= DC.所以点A,D都在BC的垂直平分线上.所以直线DA是 a2 +2ab +b2 (4-5x)2 (2)(x+1)(x+2)+1 4 BC的垂直平分线. 9-4x2 8y(y+1) (2)随着点C的移动，PA的长不会发生变化 m2 3m'n mn (a+b)2 因为△AOB,△CBD是等边三角形，所以OB=AB,BC BD,∠OBA=∠CBD=∠BAO=∠BOA=60°.所以∠OBA 16-40x+25x2 (3+2x)(3-2x) +∠ABC=∠CBD+∠ABC,即∠OBC=∠ABD.所以 5.256-50能被24整除吗？请说明理由. △OBC≌△ABD.所以∠BOC=∠BAD=60°.所以∠OAP =180°-∠0AB-∠BAD=60°.所以∠OPA=90°-∠OAP =30所以0A=4P因为0A=2,所以4P=4. (3)m3-2m2-4m+8. 第36期3,4版参考答案 -、题号12345678910 答案D B C B A C B D A B 二、11.∠B≥90；12.5；13.x<号： 4.2提公因式法 4(-34)；15.2答或2 三、16.数轴表示略.(1)x>-9;(2)-1<x≤4 垦恐训练 5.对于题目“因式分解：(3x+y)2-(x+ 17.BC的长为33. 3y)2.”,嘉淇给出具体解法后，又通过代入特殊值 18.(1)图略. 1.多项式12ab2-8a2bc的公因式是( ):检验时，发现左右两边的值不相等.下面是他的解 (2)图略.点A,的坐标为(6,2)，点B,的坐标为(70). A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abe 答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务 四、19.因为k+b<0,所以b<-k.因为点Q(5,m)(m> 0)在该一次函数的图象上，所以m=5k+b-2>0.解得b> 2.如图，边长为a,b的长 嘉淇的解法： 2-5k.所以2-5k<b<-k所以2-5k<-k解得k>2 方形的周长为10，面积为6，则 (3x+y)2-(x+3y)2 20.由旋转的性质，得SAAE=SaBc,LAEF=∠ACB ab+ab2的值为 () =(3x+y+x+3y)(3x+y-x+3y) =S A.60 B.30 =(4x+4y)(2x+4y) C.24 D.15 =8(x+y)(x+2y) ③ Rt△AEF(HL).所以CF=EF,SAACF=SAEr= 3.已知a-b=5,b-c=-6,则代数式a 嘉淇的检验： 2Scm=6.所以2AC·CF=6.解得CF=3.在 ac-b(a-c)的值为 当x=0,y=1时，(3x+y)2-(x+3y)2=12-32 Rt△ACF中，由勾股定理，得AF=AC2+CF2=5.因为 4.把下列各式因式分解： 8(x+y)(x+2y)=8×1×2=16. AC=AE,CF=EF,所以AF垂直平分CE.所以AF⊥CE. (1)12a36c2-18a2b; 因为-8≠16，所以因式分解错误. 所以2AP·CG=6.解得cG=号所以CE=2CG=头 任务： 21.(1)设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型 (1)嘉淇的解答是从第 步开始出错 电脑的销售利润为b元. 的（填序号）； 根题意，得6。为：8解得810 (2)请尝试写出正确的因式分解过程 答：每合A型电脑的销售利润为100元，每合B型电脑 的销售利润为150元. (2)15x(x-y)-12(y-x)2; (2)①根据题意，得y=100x+150(100-x),即y= 50x+15000. ②根据题意，得100-x≤2x.解得x≥100 因为-50<0，所以y随x的增大而减小.因为x为正 数理报社试题研究中心 整数，所以当x=34时，y取最大值，此时100-x=66 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使 (参考答案见下期) 销售总利润最大， （下转1,4版中缝) A.(x+4)2 B.(x-4)2 17.利用因式分解计算： 《因式分解》综合测评卷 C.(x-1)(x-9) D.(x+2)(x-8) (1)2.34×13.2+0.86×13.2-2.64: 9.有图1所示的三种卡片，用边 班级： 姓名： 学号： 满分：120分 长为a的正方形卡片4张，长为a,宽 为b的长方形卡片11张，边长为b的 题 总 分 正方形卡片6张刚好拼成一个大长方 图1 得 形，则这个大长方形的长为( 分 A.a+2b B.2a +4b (2)40×31.52-80×31.5×18.5+40×18.52 、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） C.4a +b D.4a +3b 题号 1 2345 6 78910 10.已知a>b>c,M=a2b+b2c+ac2,N=a2c+ab2+bc2,则 答案 M与N的大小关系是 ( A.M≥N B.M=N 1.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是 C.M>N D.M<N A.a(x+y）=ax+ay 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 18.某同学问老师“因式分解：a+4”的解法，老师说：“能否变 数 B.x2-4x+4=x(x-4)+4 11.因式分解：8x2y2-18x2= 成平方差的形式，在原式加上4a2,再减去4a2,….”老师话没讲完， 数 理 C.x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x 12.已知正方形的面积是y2+8y+16(y>-4),则该正方形的 该同学就恍然大悟，他马上就做出了此题.请帮他写出解答过程. 理 报 D.10x2-5x=5x(2x-1) 边长为 报 初 2.因式分解“？+16m2”得(4m+5n)(4m-5n),则“？”是 13.有一个数学游戏，如图2，A,B,C均 ( ) 为含x的整式，且x的系数均为正整数.若 A.16n2 B.25n2 “,”上是两个对应整式相乘的结果，则“？” 相乘 初中数学 C.-16n2 D.-25n2 x2-2x 处应填 图2 北 师 3.多项式m2-2m与多项式m2-4m+4的公因式是( 14.已知实数a,b满足a+b=6,ab=7,则a3b+ab3的值为 师 A.m+2 B.m-2 八 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 年 C.(m-2)(m+2） D.(m-2)2 15.已知实数a,b,x,y满足a+b=x+y=3,ax+by=4,则(a2 19.小米在学习了因式分解之后，尝试着对多项式x2-36y2+2x 年 4.下列多项式中，不能用公式法分解因式的是 +b2)xy+ab(x2+y2)的值为 12y进行因式分解 综 A.x+8xy +16y B.x4-2x2+1 级综 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 解：原式=(x2-36y2)+(2x-12y) 第一步 合测评卷 C.9+4x2 D.25-x2 16.把下列各式因式分解： =(x+6y)(x-6y)+2(x-6y) 第二步 5.已知m为实数，则代数式m(m-1)+5m+4的值为 (1)a2(x-y)+b(y-x): 第三步 评 =(x-6y)(x+6y+2) ) (1)小米从第一步到第二步运用的方法是 法，第二步 A.正数 B.非正数 到第三步运用的方法是法； C.负数 D.非负数 (2)请你按照上述方法分解因式：x2-6xy+9y2-3x+9y 6.已知实数a满足a2-2a-3=0,则代数式a3-2a2-3a+5 的值为 A.-5 B.0 c.5 D.-3 7.一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：α (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9. -b,x-1,3,x2-1,a,x+1分别对应下列六个字：我、数、爱、国、祖、 学，现将代数式3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解，结果呈现的密码 信息可能是 ( A.我爱数学 B.我爱祖国 C.爱数学 D.爱祖国 8.甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲把m看错分解结果 为(x-2)(x-8),乙把n看错分解结果为(x+1)(x-9),则多项式 x2+mx+n分解的正确结果是 ()