陕西榆林市靖边中学2026年普通高等学校招生全国统一考试考前预测(一) 数学试卷

参考答案·数学（一） 1.D因为集合A={x|一1<x<9},B={xx>3},则AUB=(-1,+∞).故选D. 2.A由题意得b十2i=i(a-3i)=3+ai,所以a=2,b=3,则a十b=5.故选A. 3.D由右焦点为F(2,0)得c=2,所以a2十=2=4，又C的一条渐近线过点(1,1)，所以6=1，所以a=b= √2，所以C的实轴长2a=2√2.故选D. 4.C依题意：x=1+2+3+4+5=3y=0.004+0.007+0.012+0.017+0.020=0.012,回归直线y 5 5 0.0042x十a过样本点的中心(3,0.012)，所以0.012=0.0042×3十a,解得a=一0.0006，即经验回归方程 为y=0.0042x-0.0006,当x=8时，y=0.0042×8-0.0006=0.033,所以当x=8时，市场占有率y约为 0.033.故选C 5.D因为(1-x)(1-x2)=(1-x)6-x2(1-x),所以x3的系数为C×13×(-1)3-C×15×(-1)1= -14.故选D. 6.A因为∠APB=90°，所以点P在以AB为直径的圆O:x2+y2=1上，又因为点P在圆C上，所以|√m一1| ≤|CO≤√m十1(m>0),即√m-1≤1≤√/m十1(m>0),解得0<m≤4.故选A. A南题知，0哈护.a+b)=1.所以a0pa+b=1.则aa+b创1=a+1.设1a |b|=t,a·b=s,即|2+s=a+b,所以(t+s)2=a2+2a·b+b2,即(+s)2=2+2s,解得t2+ s=0或t+s=2.当t2十s=0时，a十b=0,则a=一b,又向量a,b共线，不合题意；当+s=2时， |a+b|=2,符合题意.故选A 8B因为ma+子)"方所以m。=一号所以血2a品，年品。-一是故 cos2a+sina 1+tan a 选B. 9.BC由题意知=受，所以w=2,故A错误；由上可知f(x)=an(2x-牙)，所以f(受) tam(2x受晋）=-tam骨=一5，故B正确：令k红一受<2x-吾<kx十受k∈乙解得经-是<<经 +登k∈乙，故C正确：令2x一吾-经，k∈乙.解得x-经+吾，∈么，所以f(x)图象的对称中心为 (经+石，0)(k∈ZD,故D错误.故选BC 10.ABC对于A,f()=31n3-21n2=2[()）广1n3-n2],因为x∈(0，+o).所以2>1，(）广>1， 因此（号）ln3>ln3>ln2,故f(x)>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递增，故A正确；对于B,令a=√6， 则g)=()广-（层）广定义域为k且g-)=(）'-(后)'=()广-（层）广=一g)故 g()为奇函数，故B正确影对于C,≥0时，f)=2[(号)）广-1]>≥0x<0时，fx)>-2>-1,故C正 【CT·数学（一）参考答案第1页（共4页）】 6C 确：对于D,x=0时，h(x)=0,x>0时，h(x)>3-2=2[(2）广-1]>0，x<0时，h(x)<3-2= 2[(号)）广-1]<0，所以()只有1个零点，故D错误.故选ABC 11.ADF(1,0),l的方程为x=-1,若直线AB过点F,设l与x轴交点为E,直线AB为x=ty十1，由AP =AF,|BQ=|BFI,又PA,QB与x轴都平行，所以∠AFP=∠APF=∠PFE,∠BFQ=∠BQF= ∠QFE,所以∠PFQ=90°，A正确；将AB方程与C方程联立，消去x,得y2一41y-4=0,设A(x,y1), B(x2,y2),由y1+y2=4t,yy2=-4,x1+x2=(y1+2)+2=42+2,(y-2)2=（y1+y2)2-4yy= 162+16,四边形ABQP的面积为+1++)y二D=8,所以(？+1)√P+=1,所以1=0，所以 四边形ABQP是矩形，D正确；当P(-1,0),Q(-1,4)时，A(0,0),B(4,4),PQ=4,但直线AB不过点F, 所以B错误；当四边形ABQP是正方形时，AB⊥x轴，不妨设A(x,y),则x十1=2|y|,又y2=4x,所以x2十 1=14x,所以x≠1，AB不过F,C错误.故选AD. 12.36 由余弦定理，得a=V6+(-2kmA=√9+2-2X3xB×号 =√5，又△ABC的面积为 3 宁6smA=子×3V2×号-号，所以BC边上的高的长度为 3W5 ×5 5· 18.1gr△ABC的面积为35，设P到底面ABC的距离为d.则31=35，所以d=3设球的半径为R,则 (3-R2十4=R,所以R=名，球0的表面积为4R-169=. 9 144因为了()+f1-)=号+412D=0,所以函数fx)的图象的对称中心为 2x-1 2(1-x)-1 (兮o).将点（分0）代人直线)=m+-1,得吃n+=1.则-（层+）（受+n)=兴+器 mn 2≥2√细×织+2=4（当组仅当m=1,n=专时取等号）.故的最小值为 15.解：(1)因为2a品+1十3anan+1-2a2=0,所以(2an+1-an)(am+1十2an)=0,…2分 又{a}为正项数列，所以2a+1一an=0,即a+1=2am, 4分 又因为a,=号，所以(a,)是首项为？，公比为2的等比数列， 5分 所以a=合·（合）=(3月 ……4小小…小小小小小小小小5…小小…7分 (26,=1oga.·1oga1n(n+1D-nn中T' 10分 s=6+6+…+6=(1-号)+（侵-号）++（分-）=1-nn0 13分 16.解：(1)因为直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以(0.02十0.03十0.04十0.05十x)×5=1, 解得x=0.06.…2分 所以估计这100人中年龄不低于40岁的人数为(0.06十0.05)×5×100=55.……4分 (2)X的可能取值为0,1,2,3，…5分 则PrX-o)-g-PX--g-易X-》e-器X-)℃-装每求出 【CT·数学（一）参考答案第2页（共4页）】 一个值得2分) 13分 所以X的分布列为： X 0 2 3 P 1 33 11 140 7 70 28 所以EX0=0X0+1×易+2×8+3×8-号 15分 17.(1)证明：设AD∩BC=E,因为AB=BC-AC,所以∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°.…1分 因为D为劣弧BC的中点，所以BD=DC,则∠BAD=∠CAD=30°，即∠AEB=90°，所以BC⊥AD.…2分 连接PE,则PB=PC,BE=EC,所以PE⊥BC. 3分 又PE∩AD=E,AD,PEC平面PAD,所以BC⊥平面PAD.…5分 因为PDC平面PAD,所以PD⊥BC.… 6分 (2)解：以O为坐标原点，过点O作平行于BC的直线为x轴，OD,OP所在直线分别为y轴，之轴，建立如图 所示空间直角坐标系O-xy2 设PA=AD=2,则OP=3,BC=√3， 所以P0.0w5.B(号日o).c(-号7o）,D01.0 i=01.-).pi-(号-5）.i=50.0 …8分 设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y,z), P3·m=0, cm=0 得 取y1=2√3，则m=(0,2√3,1)， V3x1=0, …10分 设平面PBD的一个法向量为n=(x2,y2,22), PB.n=0, 3 由 得 +7%g=0 PD.n=0. 取2=1，则n=(1√3,1)， 12分 y2一√32=0， 设二面角C-PB-D为0，则cos0=cos(m,n=m·n√/3X5=65 m·n 7 7√65 ，…14分 sin0=√1-cos'0=4y65 65 故二面角C-PB-D的正弦值为46丽 65 15分 18.解：1)i记1FF=2,则c=1,因为离心率为2，即。=7，所以a=2, 2分 所以b2=a2-c2=3, 3分 故C的方程为号+苦-1： 4分 (2)由题意知F2(1,0),直线AB不与坐标轴垂直，故设直线AB的方程为x=my十1(m≠0)，A(x,y1), B(x2,y2),M(x0,y%), 5分 【CT·数学（一）参考答案第3页（共4页）】 dc x=y十1， 由 等+号-1.得4++6my-9=0, 则y十y2= 6m 9 4+3m1为=一4+3m: …6分 （1)所以为=当十业= 2 43mw=4型=m+2)+2 3m 2 2 4+3m2 …8分 所以业=一 10分 o ,所以=·=(-)= m xo m 4 (iⅱ)证明：由题意知P(x1,0),Q(x2,0),易知直线AQ与BP的斜率存在， 11分 所以直线AQ的方程为y= 》(x一)，BP的方程为y=当。(x一)， 13分 x1一x2 X2-.T1 由上述两方程消去y,得x=业十业=(mm十1)y十(m十1)丛_2必业十(y十2) …15分 y1十2 y+y y+y 9 2mX 4+3m2 +1=4. 6m 4+3m 即直线AQ与BP的交点的横坐标为定值4. …17分 19.(1)解：由题意知f(x)=2xe十x2e=(2x十x2)e,…1分 令f(x)>0,解得x>0或x<一2；令f(x)<0,解得一2<x<0,所以f(x)的单调递增区间为 (一∞，一2)，(0，十∞)，单调递减区间为（一2,0）.…………3分 (2)证明：g(x)=lnx一a(x-1)e的定义域为(0，十o∞)， 所以g()=-ae-a(r-1e=-are=1-are 令A()=1-are,因为0<a< 所以h'(x)=-2a.ae-ax2e=-a(x2+2x)e<0在(0，十o∞)上恒成立， 所以h(x)在(0，十⊙∞)上单调递减，………4分 因为0<a<>e,1)=1-ae>0,a(如日）=1-（血古）广<0.所以存在唯-∈(1，h日)：使 得h(xo)=0,即1=a.xeo, 7分 所以当x∈(0，xo)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(xo,+∞)时，h(x)<0,即g'(x)< 0,g(x)单调递减，所以函数g(x)在x=xo处取得极大值，x为g(x)的极大值点，无极小值点， 所以g(x)恰有一个极值点.…。 10分 (3)证明：因为xo为g(x)的极值点，若x1为g(x)的零点，且x1>x0, 所以g'(.xo)=0,且g(x1)=0,即1=a.x6eo且lnx一a(.x1-1)e1=0,x1>xo, 所以话=aeo且h号=ae4所以9n9三e的0. 13分 令y=x一1-h>1.则/=1一士=>0在>1时恒成立。 所以y=x-1-nx,x>1为增函数，y=x-1一lnx>0,即x-l>lnx, 因为∈(（1，ln）>,所以-1>han<(-1D,所以1<1n=e6<, x11 所以0<1-<2n0<2(6-1),即3。一1>2，所以4十2<3..17分 GC 【CT·数学（一）参考答案第4页（共4页）】2026年普通高等学校招生全国统一考试猜题密卷（一） 数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x|一1<x<9},B={xx>3},则AUB= A.(3,9) B.(-1,9) C.(-1,3) D.(-1,+∞) 2.已知(a-3i)i=b+2i(a,b∈R,i为虚数单位)，则a十b= A.5 B.1 C.-1 D.-5 京已知双曲线C号- =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),其一条渐近线过点(1,1)，则C的 实轴长为 A.2 B.3 C.3 D.22 4.某公司于2025年1月推出了一款产品A,现对产品上市后经过的时间x(单位：月)和市场占 有率y进行统计分析，得到如下表数据： x 1 2 3 4 5 0.004 0.007 0.012 0.017 0.020 由表中数据求得经验回归方程为y=0.0042.x十a,则当x=8时，市场占有率y约为 A.0.029 B.0.031 C.0.033 D.0.035 5.(1-x)(1一x2)的展开式中，x3的系数为 A.26 B.14 C.-26 D.-14 6.已知两点A(0,一1)，B(0,1),若圆C:(x一1)2十y2=m上存在点P使得∠APB=90°，则实 数m的取值范围是 A.(0,4] B.[4,+∞) C.(0,2] D.[2,+o∞) 7.已知不共线向量a,b满足a=b,且a在a十b上的投影向量为单位向量，则a十b= A.2 B.1 cz D.0 【2026年猜题密卷（一）·数学第1页（共4页）】 8已知tan(a+至)-号，则n2a= A号 B-12 3 c D.- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=tan(ou-牙)(w>0)的最小正周期为受，则 A.w=4 B.f(5)=-5 C,)的单调递增区间为（经-及，经+），∈Z D)图象的对称中心为（经+受0小，k∈Z 10.已知函数f(x)=3一2，则 A.「(x)在(0，十∞)上单调递增 B存在a∈(0,1)U(1,十oo),使得函数g()=fCD为奇函数 C.任意x∈R,f(x)>-1 D.函数h(x)=f(x)十x有且仅有2个零点 11.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,准线为l,点P,Q是1上两点，过P,Q作x轴的平行线 与C分别交于点A,B,则下列说法正确的是 A.若直线AB过点F,则△PFQ是直角三角形 B.若|PQ=4,则直线AB过点F C.若四边形ABQP是正方形，则直线AB过点F D.若直线AB过点F,且四边形ABQP的面积为8，则四边形ABQP是矩形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=平，b=3,c=/2,则BC边上的 高的长度为 13.已知正三棱锥P-ABC的底面△ABC是边长为2√3的正三角形，其体积为33.若点P,A, B,C都在球O的球面上，则球O的表面积为 14.已知直线y=mx十n-1(m>0,m>0)经过函数f(x)=4好二_的图象的对称中心，则 2x-1 m十2m的最小值为 27n 【2026年猜题密卷（一）·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知正项数列(a,满足a,=号，2a2+1十3aa+1-2a=0. (1)求{an}的通项公式： (2)记b,= 一，求数列{b,}的前n项和Sn log2an·log2an+ 16.(本小题满分15分) 随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到 人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频 率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)， [45,50]. (1)求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有 频率 组距 所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的，年龄在区 0.05 间[25,40)的人数为4，年龄在区间[40,50]内的人数为 0.04 0.03 12,现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记0.02 这3人中年龄不低于40岁的人数为X,求X的分布列和 253035404550年龄/岁 数学期望 17.(本小题满分15分)》 如图，A,B,C是圆锥PO的底面圆O的圆周上三点，且AB=BC=AC, D为劣弧BC的中点， (1)证明：PD⊥BC: (2)若PA=AD,求二面角C-PB-D的正弦值. 【2026年猜题密卷（一）·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C言+芳=1(o>6>0)的左右焦点分别为F,F,且FF,=2,离心率为2 (1)求C的方程； (2)过F2不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A,B两点， (1)若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB,OM的斜率分别为k1,k2,求k1k2; (ⅱ)过A,B分别作x轴的垂线，垂足分别为P,Q,证明：直线AQ与BP的交点的横坐 标为定值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=r2e,g(x)=lnx-a(x-1)e(0<a<是) (1)求f(x)的单调区间； (2)求证：g(x)恰有一个极值点； (3)设为g(x)的极值点，若为gx)的零点，且>，求证：+2<3. 【2026年猜题密卷（一）·数学第4页（共4页）】