陕西西安市鄠邑区2026届高三下学期学情自测三数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知全集U=(1,2,3,4,5,6,7,8),集合A={2,3,5,7},B=(1,3,5,7},则Cu(AUB)= A.(2,4,6,8) B.{4,6,8} C.(1,2,4,6,8) D.(3,5,7} 2.已知复数z满足z(1十2)=|3十4，则之的虚部为 A.-2 B.-2i C.2 D.2i 3.已知a=0.2a3,b=1og20.3,c=302,则 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 4.将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移p(p>0)个单位长度，所得图象关于原点对称， 则P的最小值为 A号 B. c晋 D骨 5,已知双曲线C:名-1(@>0，b6>0)的一条渐近线与直线2x一y十1=0平行，且双曲线C 过点(3,3)，则双曲线C的实轴长为 A2/3 B.2 C.3 D 6.2022年北京冬奥会的“雪如意”跳台滑雪中心的赛道可抽象为如下几何模型：底面是边长为2 的正三角形ABC的三棱锥P-ABC,其中PA⊥平面ABC,PA=4.施工人员需要在PB上 取中点D,在AC上取中点E,搭建辅助支撑钢架DE,则直线DE与BC所成角的余弦值为 号 B得 C2⑤ 5 7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a,b)=60°，若向量c满足(c一a)·(c一b)=0, 则|c的最小值为 A./3-/7 3 2 B号-9 C.3 2 【高三数学第1页（共4页）】 8.已知定义在(0，)上的可导函数f(x)满足f'(x)sinx-f(x)cosx>0恒成立，且f(） =√3，则不等式f(x)<2sinx的解集为 A(0,5) B(肾) c(o,) n.(答，) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某班级有30名男生、20名女生，共50名学生参加数学单元测验，满分100分.下列说法正确 的有 A.若按性别采用分层抽样抽取容量为10的样本分析数学成绩，则需要抽取4名女生的成绩 B.若数学成绩的众数为75，中位数为80，则数学平均成绩一定高于中位数 C.若男生数学成绩的方差为12，女生数学成绩的方差为8，则女生的数学成绩比男生的数学 成绩更稳定 D.若将所有学生的数学成绩都加10分，则平均分增加10分，方差也增加10 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F作斜率不为0的直线1交抛物线C于A(x1,y1), B(x2,y2)两点，下列说法正确的有 A若直线1的慨斜角为60，则AB1-9 B.y+y的最小值为8 C.以线段AF为直径的圆恒与y轴相切 D,若P为C的准线与x轴的交点，且∠APB=受，则直线L的斜率为士1 11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足对任意实数x,都有f(x十2)=f(一x),且当x∈[0， 1]时，f(x)=2x,则 A.f(x)是周期为4的周期函数 B.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)=2 C.f(x)在[1,2]上单调递增 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(x2+)°的展开式中，x的系数为▲一 18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bc,已知a=3,6=5,cosC=号，则△ABC的面 积为▲，c=▲， 14.已知平面a⊥平面B,交线为l,A,B为L上的两点，ACCa,BDCB,且AC⊥l,BD⊥l,若 AB=AC=BD=1,则三棱锥C-ABD的外接球的表面积为▲一· 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知等差数列(a)满足a2=3,a4十a5=16. (1)求(an)的通项公式； (2)设bn=an·2n,求数列(bn)的前n项和Tn 16.(15分) 如图，直四棱柱ABCD-AB1C1D1的底面为菱形，∠BAD=60°，AB=4,AA1=6,E为棱 DD的中点， (1)证明：BD1平面AEC. (2)求平面ACE与平面ADD1A,夹角的余弦值， D A E A 17.(15分) 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中 每人最多打一种球，且小张和小李既打羽毛球又打乒乓球，小王只打羽毛球，小周只打乒乓 球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球 的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、 小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天 的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率， (3)若某个周日是雨天，设小李、小王，小周这3人中当天打球的人数为X,求X的数学 期望. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=e一ex一ax. (1)证明：当a=2,x∈[0，十o)时，f(x)≥0 (2)讨论f(x)的零点个数 度 19.(17分) 包知横圆E受+ =1(>b>0)经过点(1，号)，且E的长轴长与短轴长之比为2：5 (1)求E的方程. (2)已知点P(1,1),过点P且斜率为k1的直线11与椭圆E交于A,B两点，过点P且斜率 为2(k2≠k1)的直线l2与椭圆E交于C,D两点，M,N分别为AB,CD的中点，且k1 +k2=1. (1)若P与M重合，求k1k2: (I)判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. e 【高三数学第4页（共4页）】 高三数学参考答案 1.B因为AUB={1,2,3,5,7},所以C(AUB)={4,6,8}. 5 5(1-2i) 2.A因为3+41=5，所以x=1十2121-20-1-2i,所以：的虚部为-2. 3.D因为a=0.20.3∈(0,1)，b=log20.3<0,c=3°.2>1，所以c>a>b. 4C将f(x)的图象向右平移g个单位长度后，得到函数gx)-sin[2(x一9)+]-sin(2z 十晋-2g)的图象.因为g()是奇函数所以晋-2g=k,k∈乙.所以9=吾-经k∈7因 为9>0，所以9的最小值为 5C因为直线2江-y十1=0的斜率为2，所以双曲线C的断近线y-合，与其平行，所以名- 2即b=2a,因为双曲线C过点C33).所以一广1，解得a=,所以双曲线C的实 长2a=√5. 6.D取AB的中点F,连接DF,EF(图略).因为D是PB的中点，所以DF∥PA,且DF= 号PA=2因为E是AC的中点，所以EF/BC,且EF=号C=1,所以∠DEF(或其补角) 即为DE和BC所成的角.因为PA⊥平面ABC,所以DF⊥平面ABC,所以DF⊥EF,所以 DE=方放DEs器洁号 7.B由a=1,b|=2,且a,b>=60°，可设a=(1,0),b=(1,w3).设c=(x,y),因为(c a)·e-)=0,所以(-1y十3(y-3)=0,整理得(x-1°+(-号)-2，即c的轨 迹是圆心为(1，号)，半径为受的圆c的最小值即为原点到圆上点的最短距离，等于圆心 到原点的距离减去半径，故©的最小值为-3 8A令g)-e(o,受》.则6x)-fn红上e(o经》 sin x 因为f'(x)sinx一f(x)cosx>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0，）上单调递增. 闲为得)=，所以告》- =2,所以当x∈（0,3)时，g(x)<g(5)=2,即 sin 3 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 f(x)<2sinx的解集为(0，). 202 2 9.AC女生占总人数的05，因此抽取的10人中，女生的人数为10X行=4，所以A正确. 众数是出现次数最多的数，中位数是数据按从小到大或从大到小的顺序排列后处于中间位置 的数，平均数受所有数据的影响，三者没有必然的大小关系，所以B错误 方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越稳定、越整齐，女生数学成绩的方差8 小于男生数学成绩的方差12，因此女生的数学成绩更稳定，所以C正确. 所有数学成绩同步加10分后，平均分增加10分，但方差反映数据的离散程度，整体加减不会 改变数据的波动幅度，因此方差不变，所以D错误。 10.ABC抛物线C的焦点为F(1,0),若直线1的倾斜角为60°，则直线l的方程为y=√3(x一 D.与C的方程联立得3x2-10x+3=0,所以x十-9，因为1AB1=1AF1十BF- x1十x,十p,所以1AB-9+2-5,故A正确，设直线1的方程为x=my+1,与C的方程 3 联立得y2一4my-4=0,则y1+y2=4m,因为x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2≥2，当m =0时，等号成立，所以y?十y2=4(x1十x2)≥8，最小值为8，故B正确.以AF为直径的圆 的圆心为AF的中点，横坐标为.因为AF=1十号=4，+1，所以圆的半径r 合1A=,恰好等于图心到y轴的距离，因此该圆恒与y销相切，故C正确 易知P(-1,0),若∠APB=2,则Pi·P馆=0，所以(1十1)(x十1)+y1y2=x1x2十x 十x2十1十y1y2=0.结合选项B的解析，可知y1y2=一4，x1十x2=m(y1十y2)+2=4m2+ 2,x1,-1,所以4m=0,解得m=0,即直线1垂直于工轴，斜率不存在，故D错误 16 11.ABD因为f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x).因为f(x+2)=f(一x),所以f(x十 2)=一f(x),所以f(x十4)=f((x十2)十2)=一f(x十2)=f(x),因此f(x)是周期为4 的周期函数，故A正确. 因为x∈[0,1]时，f(x)=2x,所以f(1)=2,所以f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.因为 f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.因为f(x)的周期为4，所以f(4)=0.因为 f(x+2)=f(-x),所以f(2)=-f(0)=0,所以f(2026)=f(4×506+2)=f(2)=0,所 以f(1)+f(2)十f(3)+…+f(2026)=f(1)十f(2)=2,故B正确. 因为f(x+2)=f(-x),所以f(x-1)+2)=f(一(x-1)),即f(1+x)=f(1-x),所 以f(x)的图象关于直线x=1对称，故D正确. 当x∈[1,2]时，2-x∈[0,1]，因为x∈[0,1]时，f(x)=2x,所以f(2-x)=2(2-x)=4 一2x.因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)=f(2一x)=4一2x,在[1,2]上单 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 调递减，故C错误， 12.20 (x2+1)）”的展开式的通项T+1=C(x2)-(）)=Cx2-,令12-3r=3,则r 3,所以x3的系数为C=20. 13.3√6；2√7 因为osC-亏·所以nC=V1-osC-25.因为a=3.b=5,所以△AC 的面积为2 absinC=36.因为a=3b=5,0sC=号，所以c2=a2+b2-2 abcosC=9+ 25-2X3×5×号=28.所以c=27. 14.3π由a⊥3，AC⊥l,根据面面垂直的性质定理，AC⊥平面3，因此AC⊥BD,同理BD⊥l, 故BD⊥平面a.因为AB=AC=BD=1,所以可将三棱锥C-ABD补成一个棱长为1的正 方体，三棱锥CABD的外接球与正方体的外接球完全相同.正方体的体对角线长度为 VTT+T=5,即外接球的直径2R-,故R-,所以三棱锥C-ABD外接球的表面 =3π 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.… …1分 因为a2=3,a4十a5=16, a1+d=3, a1=1, 所以 解得 …4分 2a1+7d=16, d=2, 所以{am}的通项公式为am=1十2(n-1)=2n-1. 6分 (2)因为bn=am·2”=(2m-1)·2”, 所以Tn=1X2十3X22+5X23十…+(21一1)·2”.…7分 因为2Tn=1X22+3X23+5X24+…十(2n-3)·2”+(2n-1)·2+1,…8分 所以两式相减得一Tm=1×2+2(2+23+24+…+2")-(2-1)·2+1 =2+2×21-2g-）-(2m-1)·21 1-2 =(3-2n)·2m+1-6,. 11分 故Tm=(2n-3)·20+1十6.…13分 16.(1)证明：连接BD,交AC于点O,连接OE.…1分 因为底面ABCD为菱形，所以对角线AC与BD互相平分，所以O是BD的中点.·3分 因为E为棱DD1的中点，所以OE是△BDD1的中位线，所以OEBD1.·5分 因为OEC平面ACE,BD1中平面ACE,所以BD1/平面AEC.…6分 (2)解：如图，以(1)中的O为原点，OB,OC的方向分别为x,y轴的正方向，建立空间直角坐 标系。… …7分 因为AB=4,AA1=6,∠BAD=60°， 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 所以A(0,-23,0),B(2,0,0),C(0,2√3,0)，E(-2,0,3). …9分A 设平面ACE的法向量为n=(x,y,之)，因为AC=(0,4V3,0), A庀=(-2,23,3)， n·AC=43y=0, 所以3 令x=3,则n=(3,0,2). n·AE=-2x+23y+3z=0, B …11分 取AD的中点F,连接BF.因为△ABD为等边三角形，所以BF⊥AD. 因为平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面ADD1A1,即BF为平面ADD1A1的一个法向量. …13分 因为F(-1,一√5,0)，所以BF=(-3,一√5,0) 因为cosB京，n)= B·nl_9 3v√39 BF1n2√3X1326 所以平面ACE与平面ADD,A,夹角的余弦值为33 26 15分 17.解：(1)设小张周日打羽毛球为事件A, 则由全概率公式可得P(A)=0.5×0.5+0.1×0.3=0.28, 故小张周日打羽毛球的概率为0.28.……3分 (2)设某个周日是晴天或阴天，当天这4人中打乒乓球的人数不少于2为事件B, 则P(B)=C号×0.42×(1-0.4)+0.43=0.288+0.064=0.352， 故当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率为0.352.…7分 (3)因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨 天的情况下，小李打球的概率为0.3十0.3=0.6，…9分 在雨天的情况下，小王、小周打球的概率均为0.3.…10分 (方法一)在雨天的情况下，设小李、小王、小周打球（打球记为1，不打球记为0）的人数分别 为X1,X2,X3,所以X=X1十X2十X3,…12分 则E(X)=E(X1)+E(X2)十E(X3)=1×0.6+1×0.3十1×0.3=1.2， 故X的数学期望为1.2.…15分 (方法二)X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=(1-0.6)X(1-0.3)2=0.196,…11分 P(X=1)=0.6×(1-0.3)2+0.3×(1-0.6)×(1-0.3)×2=0.462,…12分 P(X=2)=0.6×0.3×(1-0.3)X2+(1-0.6)×0.32=0.288,…13分 P(X=3)=0.6X0.3X0.3=0.054,…14分 则E(X)=0×0.196+1×0.462+2×0.288+3×0.054=1.2,故X的数学期望为1.2.… …15分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 18.（1)证明：当a=2,x∈[0，十∞)时，f(x)=e-ex-2x,…1分 f'(x)=e十ex-2≥2-2=0，当且仅当e=ex,即x=0时，等号成立，…2分 所以f'(x)≥0，f(x)在[0，十∞)上单调递增.…3分 又f(0)=e°-e°-0=0，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)=0,即f(x)≥0.…4分 (2)解：因为f(-x)=er-e十a.x=一f(x),所以f(x)为R上的奇函数.…5分 f'(x)=e+ex一a.当a≤2时，f'(x)≥2-a≥0，f(x)在(0，十∞)上单调递增. 又f(0)=0,所以f(x)的零点个数为1.…8分 当a>2时，令f(x)=0,即e十e=a,设1=e(>0),则1+}=a,即-ai+1=0,解 得=a士v4,即x,=na-a-4,,=naVg4 2 2 2 又因为0-g.4-1.+g>>1, 2 2 所以0a-0-4<1,即1<0，x,>0,… 2 11分 则当x<x1时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x>x2时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)极大值=f(x1)>f(0)=0,f(x)极小值=f(x2)<f(0)=0.…14分 又因为当x→一∞时，f(x)>-∞，f(0)=0,当x→十∞时，f(x)→十∞，所以f(x)的零 点个数为3. 综上，当a≤2时，f(x)的零点个数为1；当a>2时，f(x)的零点个数为3.…17分 。大y 0.解：①)设a=21>0,得6=B1则E的方程为花十 =1. …1分 9 因为E经过点(1，)，所以行十7=1，得=1 114 …3分 故韵方程为+苦 =1. …4分 xi+=1, 43 (2)(i)设A(x1y1),B(x2,y2),由 5分 ,y2 43 一1， 得7+_2(1-x2)+2y-y2) 4 3 3 0， 6分 得k1=1一y2=-3 -=一则：=1-1= 7 …7分 21 故k1k2= 16 …8分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 (i)直线l1:y=k1(x一1)+1=k1x-k1+1.由k1+k2=1,得l1:y=k1x十k2.…9分 y=k1x十k2, + 得(3十4k)x2十8k1k2.x十4k号-12=0，…10分 -=1 一8k1k2 x1十x2= 3+4k 则 …11分 4k-12 x1x2= 3+4k号 因为y1十y2=k1(x1十x2)+2k2= 所以的坐标为写密3） -4k1k23k1 同理N的坐标为3十4·3十4 …12分 3k2 3k1 3+4k号3+4k号 9(k2-k1)+12(k8-k) 又kMN= 一4k1k2,4k1k2 16k1k2(k一k) 3+4k号3+4k _9(k,-k1)+12(k2-k1)[(k1十k2)2-k1k2] 16k1k2(k1一k2)(k1十k2) 、 9+12(1-k1k2)12k1k2-21 16k1k2 …15分 16k1k2 所以直线MN的方程为y= 12k1k2-21 (x+2 十 3k212k1k2-21 x十 16k1k2 3+4k2 3+4k号 16k1k2 12k1k2-21+12k2 …16分 4(3+4k) 2太2-a智-所以直线MN过定应(0一孕》.…17分 因为 4(3+4k) 4(3+4k) 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】