精品解析：辽宁省阜新市某校2025-2026学年七年级下学期数学5月限时作业

七年级数学限时作业 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ） A. 转盘甲 B. 转盘乙 C. 无法确定 D. 一样大 6. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 7. 若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ） A. 12或9 B. 9 C. 12 D. 9或7 8. 两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或6 二、填空题 11. 如果一个角等于20°，那么它的余角是______． 12. 如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是______． 13. 如图，AB、DE交于点G，，垂足为G，，则____． 14. 如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是___________． 15. 如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 三、解答题 16. 计算： （1） （2）（用整式乘法公式计算）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，四边形中，点E、F分别在上，，，，G为延长线上一点，试说明． 请将下面证明过程补充完整． 证明：∵，（已知）， ∴（______）， ∴（______）（______）（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知），， ∴（______）， ∴（______）， ∴（______）， ∴（______）． 19. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． （1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由； （2）若测得，，求的长度． 20. 如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成8个扇形），每个扇形区域内分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是1是______，转出的数字是9是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）转动转盘，转出的数字是奇数的概率是______． （3）现有两张分别写有2和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是______． 21. 定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． （1）已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． （2）已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； （3）直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 22. 【模型呈现】如图（1）和（2）所示，，，直线经过点（不与，重合），过点作的垂线，垂足分别为，则有，． （1）请你针对图（1）给出证明． 【模型应用】在图（1）的基础上，在射线上取一点，把线段绕点逆时针转得到，连接，交直线于点． （2）如图（3），当点与点重合时，与的数量关系为___________； （3）如图（4），当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并给出证明； （4）如图（5），当点在线段上时，的值为___________． 23. 【课本探究】 在第八章《整式乘法》章头图的探究活动中得到：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得出一个数学等式． 【归纳证明】 （1）如图1所示的大正方形，是由边长为的大正方形、边长为的小正方形和两个长为、宽为的长方形构成，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是___________； 【能力提升】 （2）若满足，求的值； 【实际应用】 （3）如图2，已知数轴上，，，表示的数分别是、、，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为，求长方形的面积； （4）图3中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的个直角三角形．请问，，，存在怎样的数量关系，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学限时作业 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2. 石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可获得答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下列算式不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数的和与这两数的差的积，即相乘两式有相同项和相反项，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； B中，相乘两式只有相同项，不符合公式特征，故选项符合题意； C中，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； D中，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得,，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ 故选：B． 5. 如图，用力转动转盘甲和转盘乙的指针，则哪个转盘的指针停在白色区域的概率大（ ） A. 转盘甲 B. 转盘乙 C. 无法确定 D. 一样大 【答案】D 【解析】 【分析】首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案． 【详解】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为 故选：D． 【点睛】本题主要考查了几何概率，灵活运用所学的知识是解题的关键． 6. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．熟知三角形的稳定性是关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：． 7. 若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ） A. 12或9 B. 9 C. 12 D. 9或7 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可． 【详解】∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5， ∴当腰长为2，则，此时不成立，当腰长为5时，则它的周长为：，故选C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键． 8. 两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积和整式乘法，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积，先表示出，，再根据题意得到等式，进行变形得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 9. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 10. 如图，，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 设，则，使与全等，由可知，分两种情况： 情况一：当，时，列方程解得，可得的长度； 情况二：当，时，列方程解得，可得的长度． 【详解】解：∵点与点运动速度之比为， ∴时间相同时，， 令，， ∵，则， 若， 则有（全等三角形对应边相等）， 则， 解得：， 此时； 若， 则有（全等三角形对应边相等）， 则， 解得， 此时， 综上所述，如果使与全等，则的长为或． 故选：D． 二、填空题 11. 如果一个角等于20°，那么它的余角是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵一个角等于20°， ∴它的余角是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余角的定义，熟知如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余是解题的关键． 12. 如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据判定三角形全等即可． 【详解】解：连接． 由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，AB、DE交于点G，，垂足为G，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 与是对顶角， ． 14. 如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得，． 【详解】解：∵是的中线，的面积是， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故答案为：4． 15. 如图，已知，和分别平分和，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义及方程思想，过点E作，过点F作，根据平行公理的推论得出，再利用平行线的性质，推导出内错角相等，结合角平分线定义，设未知数表示角度，表达和，结合已知条件列出方程，最后化简方程求解β，进而求． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 则，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算： （1） （2）（用整式乘法公式计算）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂、积的乘法运算的逆运算计算即可求解； （）利用完全平方式、平方差公式进行计算即可求解； 本题考查了实数的运算，整式的混合运算，掌握实数的运算法则、整式的乘法公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除以单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 18. 如图，四边形中，点E、F分别在上，，，，G为延长线上一点，试说明． 请将下面证明过程补充完整． 证明：∵，（已知）， ∴（______）， ∴（______）（______）（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知），， ∴（______）， ∴（______）， ∴（______）， ∴（______）． 【答案】 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知），， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先由垂直定义得出，则，结合，所以，即，则，即可作答． 【详解】略 19. 如图，嘉嘉想知道一堵墙上的点A距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是嘉嘉同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到______．标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量______的长度，即为点A距地面的高度． （1）请你先补全方案，再说明这样设计的理由； （2）若测得，，求的长度． 【答案】（1）， 理由： 在与中 ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由垂直的定义可得出，由题意可知，，结合已知条件利用证明，由全等三角形的性质可得出． （2）利用全等三角形的性质可得出，，根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， 即 20. 如图，现有一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成8个扇形），每个扇形区域内分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字，请回答下列问题： （1）转出的数字是1是______，转出的数字是9是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）转动转盘，转出的数字是奇数的概率是______． （3）现有两张分别写有2和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是______． 【答案】（1）随机事件；不可能事件 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且． （1）根据确定性事件和不确定性事件的概念判断可得； （2）转盘共有8种可能结果，奇数的结果有4种，由概率公式解答即可； （3）先求出第三条线段取值范围，再判断即可． 【小问1详解】 解：转出的数字是1是随机事件，转出的数字是9是不可能事件； 故答案为：随机事件；不可能事件； 【小问2详解】 解：∵转盘转到每个数字的可能性相等，共有8种可能结果，奇数的结果有4种， ∴转出的数字是奇数的概率是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：5-2=3，5+2=7， ∴第三条线段可以是4，5，6， 转动转盘停止后，指针指向的数字有8种情况，其中能构成三角形的有3种， 所以这三条线段能构成三角形的概率是， 故答案为：． 21. 定义：对于依次排列的多项式，，，（a，b，c，是常数），当它们满足，且M为常数时，则称a，b，c，是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式：，，，因为，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． （1）已知1、4、7是一组完美数，则该组完美数的完美因子=______． （2）已知2，5，8是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； （3）直接写出a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数． 【答案】（1）9 （2）9 （3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是关键． （1）根据新定义解答即可； （2）根据一组完美数之间的关系进行解答即可； （3）设a、b、c的完美因子为常数M，则有，整理令x的系数为0即可得到完美数之间的关系． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； 【小问2详解】 解：根据题意得： ； 【小问3详解】 解：当时，a，b，c是一组完美数，理由如下： 设a、b、c的完美因子为常数M，则有：， ∴， 当时，M为常数． ∴． 22. 【模型呈现】如图（1）和（2）所示，，，直线经过点（不与，重合），过点作的垂线，垂足分别为，则有，． （1）请你针对图（1）给出证明． 【模型应用】在图（1）的基础上，在射线上取一点，把线段绕点逆时针转得到，连接，交直线于点． （2）如图（3），当点与点重合时，与的数量关系为___________； （3）如图（4），当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并给出证明； （4）如图（5），当点在线段上时，的值为___________． 【答案】 （1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴，； （2）； （3）解：，理由： 过点N作交于点H， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴； （4） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， （1）根据题意得到，然后证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可； （3）过点N作交于点H，首先根据题意证明出，进而得到，然后证明出，进而求解即可； （4）过点N作交于点E，根据全等三角形的性质和判定得到，，然后利用等量代换求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】（1）略 （2）∵把线段绕点逆时针转得到， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （3）略 （4）如图所示，过点N作交于点E， 同理可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 同理可得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 23. 【课本探究】 在第八章《整式乘法》章头图的探究活动中得到：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得出一个数学等式． 【归纳证明】 （1）如图1所示的大正方形，是由边长为的大正方形、边长为的小正方形和两个长为、宽为的长方形构成，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是___________； 【能力提升】 （2）若满足，求的值； 【实际应用】 （3）如图2，已知数轴上，，，表示的数分别是、、，以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为，求长方形的面积； （4）图3中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的个直角三角形．请问，，，存在怎样的数量关系，试说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）通过两种方法计算阴影面积，推导出完全平方公式； （2）用整体代换法，结合完全平方公式求代数式的值； （3）先设元，然后利用完全平方公式的变形，求出长方形的面积； （4）通过两种方法计算图形面积，推导出，，的关系． 【小问1详解】 解：据题可知，阴影部分的面积为，也可以表示为， 可得，即． 【小问2详解】 解：设，， 则，， ∴ ， 故 ． 【小问3详解】 解：正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为，正方形的面积为， 长方形的面积可表示为， 正方形与正方形面积的和为， ， 令，， 则，， 由，可得，解得， 即 故长方形的面积为． 【小问4详解】 解：，理由如下： 如图， 据图可知，， 则图形的面积为， 可得 ， 则， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $