专题：一元一次方程-2026年中考数学专项（浙江专用）

专题：一元一次方程-2026年中考数学专项（浙江专用） 一、单选题 1．已知，下列各式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．某商品按进价提高后标价，再打8折销售，售价为112元，则该商品的进价为（    ） A．80元 B．90元 C．100元 D．120元 3．下列方程的变形，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有这样一个问题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”文中的“倍加增”指下一层灯的盏数是上一层的2倍，那么顶层灯的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．我国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“盈不足”问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？这道题大致意思是：今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？下列说法不正确的是（    ） A．若设物品的价格为钱，依题意得 B．若设有人合伙购买物品，依题意得 C．合伙购买的人数是7人 D．物品的价格是53钱 6．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等．如图是一个幻方，则的值为（   ） A．1 B．9 C．5 D．4 7．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，如．按照这个规定，方程的解为（   ）． A． B． C．或 D． 8．如图所示，甲、乙两人沿着长为宽为的长方形按的路线行走，甲从点A出发，以的速度行走，同时乙从点B出发，以的速度行走，当乙第一次追上甲时，他们在长方形的（    ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 9．已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，新数比原数大36，如果关于的方程的所有整数解分别为，，，，为任意有理数，那么的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题 10．如果x与y互为倒数，且，那么______． 11．一个两位小数，若把它的小数点去掉，就比原数多，原来这个小数是______． 12．一次智力竞赛，规则是，答对一道加10分，答错一道扣6分，一号选手共抢答10个题，最后得分36分，他答对了____________道题． 13．如图，某校劳动实践基地是一块长，宽的长方形试验田，现规划4条宽度相等的小路（如图阴影部分），将试验田分割成大小完全相同的8块小长方形菜地，每块菜地的长（纵向）比宽（横向）多，则菜地的总面积为______． 14．如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M从点A出发，沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度，运动时间为秒．当线段的长为4个单位长度时，的值为_____． 15．某超市在“十一”期间推出如下优惠方案：（）一次性购物不超过元不享受优惠；（）一次性购物超过元，但不超过元一律八折；（）一次性购物超过元一律七折．李明两次购物分别付款元，元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款______． 16．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 19．某校组织若干师生到咸宁市博物馆进行参观活动，若学校只租用45座的客车，则刚好坐满；若只租用60座的客车，则可少租用1辆，但有一辆上只坐了一半座位，其余车辆都坐满． (1)参加此次活动的师生共有多少人？下面是解决该问题的两种方法，请完成两种方法的分析过程，并选择其中的一种方法完成解答． 方法一 分析：设该校租用45座的客车需要辆，则参观总人数可表示为_________；租用60座的客车辆，则参观总人数又可以表示为_________，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用45座的客车需要_________辆；租用60座的客车需要_________辆，根据题意列方程． (2)若45座的客车每辆租金是元，60座的客车每辆租金是元，如果只能单独租一种车，比较选用哪一种车，费用较少？ 20．如图1，是2026年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_________；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_________．（用含的式子表示） (2)①用图2框出图1中的3个数，则这3个数的和最大为_________； ②能否用图3框出图1中的5个数，使这5个数的和是90，若能，求这5个数分别是多少？若不能，请说明理由． 21．如果整式A与整式B的和为有理数a，我们称A，B为数a的“关联整式”．例如和为数1的“关联整式”：和为数7的“关联整式”． (1)和为数 的“关联整式”； (2)若和B为数1的“关联整式”，，求代数式B； (3)若关于x的整式与为数n的“关联整式”，求有理数n的值． 22．综合与实践 已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A，B，C表示的数分别为________，________，_________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点．请直接写出动点R的运动速度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：一元一次方程-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C D C A A B A B 1．D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的两条基本性质逐一分析选项，判断式子是否一定成立即可． 【详解】解：∵， ∴根据等式的基本性质1（等式两边同时加上同一个数，等式仍成立），可得，故A选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴两边同时乘得，再根据等式基本性质1，两边同时加a得，故B选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴根据等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得，故C选项一定成立，不符合题意． 对于D选项，当时，分式和无意义，只有当时，根据等式基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】根据销售问题的等量关系“进价×(1+提高的百分比)×折扣率=售价”，设进价为未知数，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该商品的进价为元， 根据题意得：， 解得， 即该商品的进价为100元． 3．D 【分析】根据等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，逐项判断即可． 【详解】解：A．由，等式两边同时减3，得，A选项变形错误； B．由，等式两边同时除以7，得，B选项变形错误； C．由，等式两边同时乘2，得，C选项变形错误； D．由，等式两边同时加2，得，D选项变形正确． 4．C 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 本题可通过设未知数，根据每层灯数的倍数关系表示出各层灯数，再根据总灯数列一元一次方程求解． 【详解】解：设顶层有盏灯，根据题意得， ， 解得， ∴顶层灯的数量为3盏， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，需根据“物价不变”“人数不变”的等量关系，即可判断各选项方程及结论的正误． 【详解】解：设有人合伙购买物品，依题意得，故B选项正确，不符合题意； 解此方程得：， 即合伙购买的人数是7人，故C选项正确，不符合题意； ∴物品价格为钱，故D选项正确，不符合题意； ∵设物品价格为钱，依题意得，故A选项错误，符合题意； 故选：A 6．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．本题借助三阶幻方的性质求解，先根据对角线求出幻和，再依次计算出相关未知数字，进而得到与的值，最后求出的结果． 【详解】解：三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等 幻和为 第二行三个数的和为幻和 第二行第一个数为 第一列三个数的和为幻和 第一行第一个数为 第一行三个数的和为幻和 解得 第三列三个数的和为幻和 解得 故选：A． 7．B 【分析】分和两种情况，分别根据的定义，化简方程并求解即可． 【详解】解：①当，即时， ∴原方程可化为，解得，符合题意； 情况2：当，即时，， ∴原方程可化为，解得，不符合题意舍弃． 综上，方程的解为． 【点睛】需要灵活使用分类讨论思想． 8．A 【分析】本题考查一元一次方程的应用；理解题意，根据已知列出一元一次方程，再结合长方形的性质解题是关键．设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意列出方程，求出相遇时间；再由相遇时间确定乙的位置． 【详解】解：设乙行走t分钟后第一次追上甲，根据题意得： 甲的行走路程为，乙的行走路程， 当乙第一次追上甲时，， 解得， 此时乙所在位置为：， ， ∴当乙第一次追上甲时，在长方形的边处． 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了绝对值、一元一次方程，熟练掌握以上知识点是关键．本题先根据两位数交换数字后的差求出b与a的关系，再代入方程找出所有整数解，最后利用绝对值的几何意义求距离和的最小值． 【详解】解：∵原数，新数， ∴， 即， ∴． ∵a和b是1~9的整数， ∴a可取1，2，3，4，5，对应b=5，6，7，8，9， 将代入方程，得， ∴， 当时，（整数）； 当时，（非整数，舍去）； 当时，（整数）； 当时，（非整数，舍去）； 当时，（整数）； ∴方程的整数解为，，， 则表示y到1、3、7的距离之和， 根据绝对值的几何意义，当时，距离和最小， 此时最小值为． 故选：B． 10．8 【分析】根据倒数的定义得到，再利用比例的基本性质将比例式转化为方程，求出n的值后代入计算的结果． 【详解】解：∵x与y互为倒数， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ∴． 11． 【分析】根据小数点位置移动引起数的大小变化规律，两位小数去掉小数点后扩大为原数的倍，设原数为未知数，利用“新数原数”的数量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位小数为，去掉小数点后，小数点向右移动两位，这个数扩大为原数的倍，即变为 由题意可得方程：， 合并同类项得：， 根据等式的性质，等式两边同时除以：， 计算得：， ∴原来这个小数是． 12．6 【分析】本题考查了一元一次方程应用．设答对了x道题，根据得分减去扣分等于总分列方程解答． 【详解】解：设答对了x道题，则答错了道题， 依题意得， 解得， 他答对了6道题． 13． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设小路宽度为，根据题意列方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设小路宽度为， 根据题意，得， 解得 ∴菜地的总面积为． 故答案为：48 14．6或10 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值方程的应用．根据题意可知当运动时间为t秒时，点M表示的数为，列出绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵点M从点A出发沿数轴向右运动，点M的速度是每秒2个单位长度， ∴当运动时间为t秒时，点M表示的数为， ∵， 则， 即或， 解得：或，即t的值为6或10． 故答案为：6或10． 15．元或元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分情况进行两种优惠方案的分类讨论，结合第一次购物的原价计算总金额后，按对应优惠方案计算付款额，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：首先分析第一次购物付款元： 若享受八折优惠， 设原价为元，则有，付款金额为， 则， 因为实际付款为元，不在此范围内，所以不能是八折优惠； 若享受七折优惠，设原价为元，则， 付款金额为元，与元不符， 因此，第一次购物没有享受优惠，原价即为元； 然后分析第二次购物付款元，分两种情况： 情况：若购物金额超过元但不超过元，享受八折优惠， 设原价为元，根据题意得， 解得， 因为元在元到元之间， 所以符合条件； 情况：若购物金额超过元，享受七折优惠， 设原价为元，根据题意得， 解得元， 因为元超过元，符合条件； 接下来计算一次性购买的应付款： 当两次购物原价总和为（元）时， 因为元超过元，享受七折优惠， 所以应付款（元）； 当两次购物原价总和为（元）时， 因为元超过元，享受七折优惠， 所以应付款（元）； 综上可得：李明一次性购买与上两次相同的物品应付款元或元， 故答案为：元或元． 16．2 【分析】本题是一元一次方程的应用，能够理解新定义列出方程是解题关键． 根据“格子乘法”可得，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图， ， 解得， 故答案为：2． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为得： （2）解： 方程两边同乘去分母得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为得： 18．(1)A组制作47面红旗，B组制作52面红旗 (2)125米 【分析】（1）设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗，根据题意中的等量关系列出一元一次方程进行解题即可； （2）根据植树问题列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗， 根据题意可得， 解得， B组， 答：A组制作47面红旗，B组制作52面红旗； （2）解：米， 答：这条赛道长125米． 19．(1)方法一：；；方法二：；；参加此次活动的师生共有270人； (2)当时，选60座的客车费用较少；当时，两种车的费用相同；当时，选45座的客车费用较少． 【分析】（1）方法一：设该校租用45座的客车需要辆，则参观总人数可表示为；租用60座的客车辆，则参观总人数又可以表示为，根据题意列方程求解即可；方法二：设该校参加此次活动的师生共有人，则租用45座的客车需要辆；租用60座的客车需要辆，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意，分别求出选座车和选座车的费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：选方法一：由题意得：， 解得：， ， 即参加此次活动的师生共有270人； 选方法二：由题意得：， 解得：， 即参加此次活动的师生共有270人； （2）解：由（1）可知，租用45座的客车需要6辆，租用60座的客车需要5辆． 若选45座的客车，费用为元， 若选60座的客车，费用为 元． 当时，选60座的客车费用较少；当时，两种车的费用相同；当时，选45座的客车费用较少． 20．(1)①；② (2)①72；②不能；理由见解析 【分析】（1）①利用右边的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出右边的数； ②利用下面的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出下面的数； （2）①设中间的数为，则另外两个数分别为，，将个数相加，可得出这3个数的和为3a，对照图1，可得出a的最大值为24，将其代入3a中，即可求出结论； ②设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，，根据题意可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合图1，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：①若中间的数为，那么右边的数为； ②若中间的数为，那么下面的数为． （2）解：①设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∴个数的和为， 观察图可知，的最大值为， ∴， ∴这个数的和最大为； ②设中间的数为b，则另外4个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 观察图可知，18在边上， ∴无法框出这样的5个数，使这5个数的和为90． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）将两式相加即可求解； （2）根据题干新定义得到，据此求解； （3）由题意得，再整理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即为数的“关联整式”； （2）解：由题意得， ； （3）解：由题意知，， 即， ∴， 解得 22．(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)10个单位长度/秒 【分析】（1）由，得，解，得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为x个单位/秒，经过5秒时，点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为，可得方程，解得． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴ 解得， ∵， ∴， 数轴上点A，B，C表示的数分别为，30，10． 故答案为：，30，10． （2）解：∵动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴， ∵P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， ∴, ∴, 当时， ， 当时， ． 故当t为22或18时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度． （3）解：设点R的速度为x个单位长度/秒， ∵动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒． 则经过5秒时，点R表示的数为：， 点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∵经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点． ∴， 解得． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握题意，非负数性质，动点表示的数，数轴上两点之间的距，中点公式，列出方程，分类讨论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $