精品解析：北京市第十四中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷

北京十四中2025—2026学年度第二学期 期中检测 高二数学 测试卷 2026.05 注意事项： 1．本试卷共六页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．答题不得使用任何涂改工具. 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦函数的导数公式求解即可. 【详解】因为， 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 2. 在数列中，，且，则等于 A. 8 B. 6 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系得出数列为等差数列，且求得公差，由此计算得的值. 【详解】由于，故数列是首项为，公差为的等差数列，故，故选D. 【点睛】本小题主要考查等差数列的识别，考查等差数列项的计算，属于基础题. 3. 甲、乙两人各抛掷质地均匀的骰子一次.已知甲掷出的点数是3，则甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出满足题意的情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】乙抛掷质地均匀的骰子一次，有6种基本情况：， 由题意，甲掷出的点数是3，甲掷出的点数大于乙掷出的点数， 则满足要求的乙的基本情况有， 所以甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为. 故选：C. 4. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】. 故选：C. 5. 一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（ ） A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式进行计算即可. 【详解】设模块一正确识别命令为事件，模块二正确识别命令为事件， 则，. 因为两个模块是独立的，所以至少有一个正确识别的概率为. 故选：A. 6. 若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意和等差数列的性质可得的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论． 【详解】解：等差数列满足， ， ，，则， 等差数列的前8项为正数，从第9项开始为负数， 当的前项和最大时的值为8. 故选：B. 7. 如图所示是的导函数的图象，下列4个结论： ①在区间上是增函数； ②是极小值点； ③在区间上是减函数；在区间上是增函数； ④当时，在区间上取得最大值. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象首先判断函数的单调区间，然后结合选项逐项分析即可得到答案. 【详解】由图象可知，时，，则单调递减；时，，则单调递增；时，，则单调递减；时，，则单调递增；故①错，③正确； 在处取得极小值，则是的极小值点，故②正确； 因为在上单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，则在处取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值，但不确定的大小关系，所以不确定是否在处取得最大值,故④错误， 故选：B. 8. 如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3，5，8枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ） A. 3两5铢 B. 3两15铢 C. 4两5铢 D. 4两15铢 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设九枚铜环权按从小到大的顺序排列后的质量为， 由题意知，，，得， 则，， 所以铢两15铢． 故选：D 9. 设函数，则“”是“与轴有3个公共点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导数，分析时函数的零点情况，然后分析与轴有3个公共点时与的关系，判断充分必要性. 【详解】当时，， ，， 方程有两个不同实根，设为， 函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 存在极大值和极小值， 若且，则有3个零点， 若或，则零点个数少于3个， 所以“”不能推出“与轴有3个公共点”，充分性不成立； 若与轴有3个公共点， 则函数必有极小值和极大值，且极小值小于零，极大值大于零， 函数有极大值极小值，即导数有两个不同实根， 即， 所以，必要性成立. 10. 如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点， ①的取值范围是． ②． ③当时，先减后增且恒为负． 以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，构造，，求导，结合函数有两个不同的零点，得到，并求出的单调性和极值，最值情况，由得到①正确；对于②，在①的基础上，得到，即，从而得到②正确；对于③，由①②，结合图象得到③正确. 【详解】对于①，令，则， 由已知有两个不同的零点， 当时，恒成立，故在上单调递减，不满足有两个不同的零点，舍去；则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值， 又时，时，， 如图：所以只需，则，故①正确； 对于②，由①可知，所以，故②正确； 对于③，结合图象可知，当时，先减后增且恒为负，故③正确. 所以所有正确结论的序号是①②③. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法， 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设是等比数列，，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为是等比数列， 所以， 又，所以. 故答案为：16. 12. 离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 且，则________；________. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】由，利用离散型随机变量的分布列，列出方程组，由此能求出解得，． 【详解】解：， 由离散型随机变量的分布列，得： ， 解得，． 故答案为：，． 13. 函数在时有极小值0，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 14. 若曲线在处的切线方程为，则___；___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，且，解得即可. 【详解】解：因为，所以， 又函数处的切线方程为， 所以，且， 解得，； 故答案为：；. 15. 已知数列的前项和为，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第行有项，每一行从左到右项数依次增大，记为 该数阵中第行从左到右第个数的坐标，则坐标为对应的数为____________；对应的坐标为____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用和的关系，求出，而该数列按第行有个数排成的一个数阵，根据等比数列的前项和求得前四行数阵中共有15项，推理可知表示数阵中第五行第5个数，对应的是第20项，代入通项公式，即可求得结果；由前行数阵中共有项，可推算对应的坐标． 【详解】解：由题可知，数列的前项和为， 则， 由， 且时，， 所以， 该数列按第行有个数排成的一个数阵， 则前四行数阵中共有：项， 而表示数阵中第五行第5个数，对应的是第20项， 所以表示数列的第20项：； 前行数阵中共有项, 当时，有项；当时，有项； 由知，对应的坐标为 故答案为：；． 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设为等差数列的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）若，，成等比数列，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解； （2）结合等差数列的求和公式即可求解； （3）结合等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 ∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，． 【小问3详解】 ∵，，成等比数列，∴， 即，即，又因为， 解得. 17. 在篮球比赛中，如果某位球员的得分，篮板，助攻，抢断，盖帽中有两个值达到或以上，就称该球员拿到了两双．下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计： 场次 得分 篮板 助攻 抢断 盖帽 （1）从上述比赛中任选1场，求该球员拿到“两双”的概率． （2）从上述比赛中任选场，设该球员拿到“两双”的次数为，求的分布列及数学期望． （3）假设各场比赛互相独立，将该球员在上述比赛中获得“两双”的频率作为概率，设其在接下来的三场比赛中获得“两双”的次数为，试比较与的大小关系.（只需写出结论）． 【答案】（1）； （2）的分布列为: 期望为； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意共有场比赛，场符合要求，即可得到概率； （2）由超几何分布得到概率和分布列，继而求得期望； （3）由条件得到服从二项分布，即可得到相应的概率值进而得到期望，比较可得答案.. 【小问1详解】 由题意，第，场次符合“两双”要求， 共有场比赛，场符合要求，所求概率． 【小问2详解】 的取值有，，， ， ， ， 的分布列为: 期望． 【小问3详解】 由题意知，，，， ， ， ， ， 所以， ∴． 18. 已知函数． （1）求函数的单调增区间和减区间： （2）求函数的极值： （3）若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）函数的单调递增区间为和，递减区间为； （2）的极大值为的极小值为； （3）； 【解析】 【分析】（1）求导，分别由和求解； （2）根据函数单调性得出极值点及极值即可； （3）根据时，恒成立，则由求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得或， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减 综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，令，解得或， x 1 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 因此的极大值为的极小值为. 【小问3详解】 当时，恒成立， 只需使在上最大值小于等于m即可， 由（1）知最大值为、中的较大者. ∴在上的最大值为， ∴， 所以实数m的取值范围是. 19. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. （1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； （3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 3 ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果； （2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； （3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系． 【小问1详解】 设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米, 所以估计为； 【小问2详解】 设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，估计为， 估计为， 根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且 ； ； ； ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【小问3详解】 理由如下： ，所以； ，所以； ，所以； 所以. 20. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若方程恰好有2个解，求实数m的值； （3）若在上单调，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的极小值点为，极大值点为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，求出导数零点，分区间判断导函数正负，得到函数单调区间，进而确定极小值点和极大值点. （2）求出的极值，结合函数在正负无穷处的极限与单调性，分析函数值域，得出方程恰有两个解时的取值. （3）对求导并化简得到，利用函数在上单调则导数恒非负或恒非正的性质，结合的最值情况，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 已知，定义域为. 求导得. 令，解得或. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此，的极小值点为，极大值点为. 【小问2详解】 由（1）得：极小值，极大值. 且，. 结合单调性：在处取最小值，仅在处取得； 在处取极大值. 故当时，方程恰好有2个解. 【小问3详解】 已知. 求导得. 即. 在上单调等价于恒成立或恒成立. 由（1）（2）知，. 所以恒成立，则； 若恒成立：对， 但可以趋向，不可能恒小于等于某个常数，故此情况无解. 综上，实数的取值范围是. 21. 已知{}是公差不为0的无穷等差数列．若对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得，则称数列{}具有性质P． （1）已知，判断数列{}，{}是否具有性质P； （2）若数列{}具有性质P，证明：{}的各项均为整数； （3）若，求具有性质P的数列{}的个数． 【答案】（1）数列具有性质，数列不具有性质 （2）证明：设数列的公差为， 因为数列具有性质，所以存在使得，同理，存在使得， 两式相减，得，即， 因为，所以， 所以的各项均为整数． （3）12个 【解析】 【分析】（1）根据数列{}具有性质P的定义即可求解； （2）设数列的公差为，由题意，存在使得，同理，存在使得，两式相减，根据等差数列的定义即可得证； （3）由题意结合（2）知的各项均为整数，所以为整数，首先证明为正整数，其次证明为的约数，从而即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得， 所以数列具有性质， 因为，所以取，则， 因为， 所以不存在一项， 所以数列不具有性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意结合（2）知的各项均为整数，所以为整数， 首先证明为正整数，否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为， 由题设，中存在某项，且，所以， 从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾； 其次证明为的约数， 由得，， 所以， 所以为整数，即为的约数， 由为正整数，所以为的正约数， 因为，所以的正约数共有个， 对于首项为，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质， 所以具有性质的数列共有个． 【点睛】关键点点睛：解决本题（3）问需结合（2）的结论，得的各项均为整数，所以为整数，进而证明为正整数，然后再证明为的约数，这里牢牢抓住性质P的定义及等差数列的通项公式是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十四中2025—2026学年度第二学期 期中检测 高二数学 测试卷 2026.05 注意事项： 1．本试卷共六页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．答题不得使用任何涂改工具. 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，，且，则等于 A. 8 B. 6 C. 9 D. 7 3. 甲、乙两人各抛掷质地均匀的骰子一次.已知甲掷出的点数是3，则甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 5. 一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（ ） A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015 6. 若等差数列{}满足，则当{}的前n项和最大时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图所示是的导函数的图象，下列4个结论： ①在区间上是增函数； ②是极小值点； ③在区间上是减函数；在区间上是增函数； ④当时，在区间上取得最大值. 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最大的为8两（古制1两=24铢），若某物体的质量恰为第3，5，8枚铜环权的质量和，则该物体的质量为（ ） A. 3两5铢 B. 3两15铢 C. 4两5铢 D. 4两15铢 9. 设函数，则“”是“与轴有3个公共点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点， ①的取值范围是． ②． ③当时，先减后增且恒为负． 以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设是等比数列，，，则______． 12. 离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 且，则________；________. 13. 函数在时有极小值0，则_______． 14. 若曲线在处的切线方程为，则___；___． 15. 已知数列的前项和为，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第行有项，每一行从左到右项数依次增大，记为 该数阵中第行从左到右第个数的坐标，则坐标为对应的数为____________；对应的坐标为____________ 三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设为等差数列的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）求； （3）若，，成等比数列，求m的值． 17. 在篮球比赛中，如果某位球员的得分，篮板，助攻，抢断，盖帽中有两个值达到或以上，就称该球员拿到了两双．下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计： 场次 得分 篮板 助攻 抢断 盖帽 （1）从上述比赛中任选1场，求该球员拿到“两双”的概率． （2）从上述比赛中任选场，设该球员拿到“两双”的次数为，求的分布列及数学期望． （3）假设各场比赛互相独立，将该球员在上述比赛中获得“两双”的频率作为概率，设其在接下来的三场比赛中获得“两双”的次数为，试比较与的大小关系.（只需写出结论）． 18. 已知函数． （1）求函数的单调增区间和减区间： （2）求函数的极值： （3）若恒成立，求实数m的取值范围． 19. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. （1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； （3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 20. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若方程恰好有2个解，求实数m的值； （3）若在上单调，求实数a的取值范围． 21. 已知{}是公差不为0的无穷等差数列．若对于{}中任意两项，，在{}中都存在一项，使得，则称数列{}具有性质P． （1）已知，判断数列{}，{}是否具有性质P； （2）若数列{}具有性质P，证明：{}的各项均为整数； （3）若，求具有性质P的数列{}的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $