19.2.1方差 课件-2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月13日 19.2.1方差 第19章 数据的分析 华东师大版八年级数学下册19.2.1 方差练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于方差的意义，说法正确的是（ ） A. 方差用来描述一组数据的平均水平 B. 方差越大，数据的波动越小 C. 方差越小，数据的波动越小 D. 方差不能反映数据的波动情况 2. 已知一组数据：1，2，3，4，5，其方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 两组数据：甲组：2，4，6，8，10；乙组：3，5，7，9，11，下列说法正确的是（ ） A. 甲组方差大于乙组方差 B. 甲组方差小于乙组方差 C. 甲组方差等于乙组方差 D. 无法比较两组方差大小 4. 已知一组数据的方差是0，则这组数据的特点是（ ） A. 所有数据都相等 B. 数据都是0 C. 数据的平均数是0 D. 数据的个数是0 5. 下列情境中，适合用方差描述数据特征的是（ ） A. 了解全班同学的平均身高 B. 了解某班同学数学成绩的中间水平 C. 比较两组运动员的成绩稳定性 D. 了解某商场最畅销商品的单价 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 方差的定义：一般地，设n个数据$$x_1, x_2, \dots, x_n$$的平均数为$$\bar{x}$$，则方差$$s^2$$=________，它用来衡量一组数据的________大小。 2. 已知一组数据：3，3，3，3，3，其方差是________，说明这组数据的波动________。 3. 若一组数据的方差越小，说明这组数据越________（填“稳定”或“不稳定”）。 4. 已知一组数据：2，4，6，8，10的平均数是6，则其方差$$s^2$$=________。 5. 两组数据的平均数相同，方差分别为$$s_1^2=2$$，$$s_2^2=3$$，则________组数据更稳定。 三、解答题（共70分） 1. （15分）计算下列各组数据的方差：（1）1，2，3，4，5；（2）11，12，13，14，15；（3）2，2，4，4，6。 2. （15分）已知一组数据：5，7，8，9，10，求这组数据的平均数和方差。 3. （20分）某小组两名同学的5次数学测验成绩（单位：分）如下： 甲：85，90，90，95，100；乙：80，85，90，95，100。 （1）分别求出甲、乙两名同学成绩的平均数；（2）分别求出甲、乙两名同学成绩的方差；（3）判断哪位同学的成绩更稳定，并说明理由。 4. （20分）已知一组数据$$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$$的平均数是4，方差是2，若另一组数据$$x_1+3, x_2+3, x_3+3, x_4+3, x_5+3$$，求这组新数据的平均数和方差，并说明方差变化的原因。 四、易错点提示（附加5分） 1. 计算方差时，需先求出平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，求和后除以数据个数，避免漏算平方或除以错误的个数；2. 方差是衡量数据波动的统计量，与平均数无关，平均数相同的两组数据，方差可能不同；3. 注意方差的非负性，方差不可能为负数，当方差为0时，所有数据完全相等。 参考答案提示： 一、1.C 2.A 3.C 4.A 5.C；二、1.$$\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \dots + (x_n-\bar{x})^2]$$，波动 2.0，极小（或没有波动） 3.稳定 4.8 5.第一； 三、1. （1）2；（2）2；（3）1.6；2. 平均数8，方差2.8；3. （1）甲平均数92分，乙平均数90分；（2）甲方差30，乙方差50；（3）甲同学成绩更稳定，理由：甲方差小于乙方差，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；4. 新数据平均数7，方差2；理由：一组数据每个数据都加上同一个常数，平均数随之加上这个常数，方差不变（数据波动不变）。 1. 理解离差平方和、方差的概念及统计学意义； 2. 会计算一组数据的离差平方和、方差；(重点) 3. 能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.（难点） 学习目标 葫芦七兄弟要组队参加仙界运动会的 “ 整齐队列赛 ”，要求由大娃带队，队员身高尽量均匀。分成两组候选队员，大家来看看哪组更符合要求? 甲组 (大娃、三娃、五娃、七娃): 身高：180cm、178cm、173cm、183cm。 乙组 (大娃、二娃、四娃、六娃): 身高：180cm、181cm、178cm、176cm 1. 计算一下两组队员的平均身高，对比一下每组队员的身高，哪一组队员看起来更整齐? 2. 这种'不整齐"该怎么用数学方法衡量呢? 乙组队员看起来更整齐. 问题 1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温. 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 天津和新加坡的气温 单位：℃ 天津气温高 新加坡气温高 如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢？ 8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时 天津 27 30 32 31 26 25 24 23 新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27 计算出两组数据的平均数，你有什么发现？ x天津 = 27 + 30 + … + 24 + 23 8 = 27.25（℃） x新加坡 = 26 + 27 + … + 27 + 27 8 = 27.25（℃） 平均气温相等 这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢？ 观察下图，你感觉它们有没有差异呢？ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ 0 5 10 15 20 25 30 35 8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时 气温/℃ ①天津 ②新加坡 天津气温波动范围较大， 最大值与最小值相差 9 ℃. 新加坡气温波动范围较小， 最大值与最小值相差 3 ℃. 稳定性：新加坡 > 天津 平均数 问题 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如下表所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 小明的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____； 小兵的平均成绩_____，最大值是___，最小值是___，相差_____. 12.4 14 10 4 12.4 15 11 4 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 体育项目测试成绩图 成绩 小明 小兵 观察成绩图， 你有什么发现？ 从图中我们可以看出： 相比之下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大. 通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 平均数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 每次成绩－平均成绩 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 每次成绩－平均成绩 思 考 怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢？ 12.4 －2.4 1.6 0.6 －0.4 0.6 0 －1.4 －1.4 2.6 1.6 －1.4 0 求和的结果都是 0 你有什么更好的方法，说说你的方案. 为了避免求和时正负抵消的问题，统计中通常先进行平方，然后求和. 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 (每次成绩－平均成绩)2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 (每次成绩－平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和” 所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度. 这个结果称为这组数据的离差平方和. 离差平方和 离差平方和的计算式就是 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. ( x1 － x )2 + ( x2 － x )2 + … + ( xn － x )2. 某班参加仰卧起坐测试的一组女生一分钟仰卧起坐次数如下: 44，41，43，48，45，49． （1）这组数据的平均数 44 + 41 + 43 + 48 + 45 + 49 =____； 6 x = 45 （2）这组数据的离差平方和为______. 46 思 考 如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席了 2 次，怎样比较谁的成绩更稳定？ 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 他们的测试次数不一样，比较离差平方和合理吗？ 方 差 当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为 σ2. 已知一组数据 x1，x2，…，xn ，x 是 x1，x2，…，xn 的平均数. [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 第 7 次 小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13 小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x5－ x )2] 5 σ2小明 = 1 [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( x7－ x )2] 7 σ2小兵 = 1 动手 算一算 返回 115 1. 某校为了解学生本周观看某普法栏目的时长，校团委随机抽取了7名学生的观看时长(单位：min)进行分析，相关数据如下：100，95，165，150，210，200，180，则这组数据的最大值与最小值的差是________. 中考考法 17 返回 2. 3 一组数据为2，3，2，3，5，这组数据的平均数x＝________，离差平方和为(2－)2＋(3－ )2＋(2－ )2＋(3－ )2＋(5－ )2＝________. 6 中考考法 返回 3. 2 教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则王亮这5次测试成绩的离差平方和为________. 中考考法 返回 4. 4 3 2.5 中考考法 返回 5. D 已知一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为(　　) A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5 中考考法 返回 6. 甲 [河南中考]为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为σ甲2＝3.6，σ乙2＝5.8，则这两种小麦长势更整齐的是________. 中考考法 返回 7. 乙 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，四种花开花时间的平均数及方差如下表，则四种花中开花时间最短且最平稳的是________. 种类 甲 乙 丙 丁 平均数/天 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 中考考法 返回 8. σ甲2＞σ乙2 [教材P176“习题19.2”第7题变式]射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是________. 中考考法 9. (12分)[教材P174“习题19.2”第3题变式]为比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中各随机抽取10台进行测试，走时误差的数据如下表(单位：s)： 编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 4 －3 －1 2 －2 1 －2 2 －2 1 乙种电子钟 2 －3 －3 4 1 －2 1 －1 －1 2 中考考法 25 (1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数． 中考考法 26 (2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差． 中考考法 27 解：我会买甲种电子钟．因为两种类型的电子钟价格相同，但乙种电子钟走时误差的方差比甲种电子钟的大，说明甲种电子钟的稳定性更好，质量更优． (3)若两种类型的电子钟价格相同，请问：你会买哪种电子钟？为什么？ 返回 中考考法 28 方差是用来衡量一组数据的波动大小的特征量. 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小， 通过比较方差的大小来判断数据的稳定性. [( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2] n σ2 = 1 课堂小结 一组数据的方差为σ2＝[(1－)2＋(2－)2＋(4－)2＋(5－)2]，其中这组数据的总数n＝________，平均数＝________，方差σ2＝________. 解：甲种电子钟走时误差的平均数是×(4－3－1＋2－2＋1－2＋2－2＋1)＝0(s)， 乙种电子钟走时误差的平均数是×(2－3－3＋4＋1－2＋1－1－1＋2)＝0(s)． 解：甲种电子钟走时误差的方差为×[(4－0)2＋(－3－0)2＋…＋(1－0)2]＝×48＝4.8，乙种电子钟走时误差的方差为×[(2－0)2＋(－3－0)2＋…＋(2－0)2]＝×50＝5. $