解答题规范练（7-8）-2026届高三数学三轮复习

**基本信息** 聚焦三轮冲刺中档题，整合解三角形、函数导数、立体几何高频考点，通过规范训练强化数学推理与运算能力，渗透模型观念 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|1|边角关系转化及求值|正弦定理/余弦定理应用，体现从条件到结论的推理链条| |函数导数|1|切线方程、单调性讨论及极值条件|导数几何意义与应用，构建“求导-分类讨论-极值分析”逻辑| |立体几何|1|线面垂直证明、体积最值及二面角求解|面面垂直性质应用，空间向量工具与几何问题转化，体现空间观念|

中档题规范练7 （满分43分， 时间：40分钟） 1．（2026·云南保山·二模）在中，设内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得到， 整理得到， 即， 又，则， 得到，又，解得． （2）由（1）知， 由余弦定理得， 又，，所以， 由正弦定理知（其中为外接圆的半径）， 得到，， 所以． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 3．（2026·湖北·模拟预测）如图，在中，．平面外的动点在以为直径的半圆上，且满足平面平面． (1)证明：平面； (2)若线段上的点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）过点作于，由平面平面， 平面平面，平面，则平面， 又平面，故，又为直径，故， 且，、平面，所以平面， 又平面，故，又，， 、平面，故平面； （2）由（1）知，， 当且仅当时，取得最大值， 过点作于，建立以为原点，为轴，为轴， 过点垂直于平面的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 因为平面的法向量为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $中档题规范练7 (满分43分，时间：40分钟) 1.(2026云南保山二模)在ABC中，设内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足 ccos B+(2a+b)cosC=0. (1)求角C的大小： (2)若c=23,a+b=4,求sin Asin B的值 2(202s湖北成汉模拟预测）已知质数1=号-anx-a-小x-号 (I)当a=-1时，求曲线y=f()在点x=1处的切线方程： (2)讨论fx)的单调性； (3)若f(x有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围. 3.(2026湖北模拟预测)如图，在ABC中，AB⊥BC,AB=BC=6.平面ABC外的动点D在以AB为直径的 半圆上，且满足平面BCD⊥平面ACD. (I)证明：CB⊥平面ABD; (2)若线段AC上的点E满足CE=2EA,当三棱锥C-ABD的体积取得最大值时，求平面BED与平面AEB夹角的 余弦值. D 2 中档题规范练8 （满分43分， 时间：40分钟） 1．（2026·陕西榆林·三模）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)，55 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可以计算出的值，再利用相应公式计算出相应组中抽取的人数. （2）根据题意的可能取值为，利用超几何分布列的计算公式及数学期望公式即可求解. 【详解】（1）因为直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以， 解得. 所以估计这100人中年龄不低于40岁的人数为. （2）的可能取值为， 则. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 2．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 3．（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点. (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，. （i）证明：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及将点代入方程，即可联立求解， （2）求解直线，的方程，进而可得，的坐标，即可求解（i），构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解（ii）. 【详解】（1）由题意可得解得， 故方程为 （2）（i）， 故直线直线， 令, 在曲线上，故，则，故 ， （ii）， 令，则， 当故在上单调递减，在上单调递增， 故，当，故， 因此，故， 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中档题规范练8 （满分43分， 时间：40分钟） 1．（2026·陕西榆林·三模）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 2．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 3．（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点. (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，. （i）证明：； （ii）求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $