题号猜押06 广东省卷中考数学22～23题 （解答题）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 广东省卷中考数学22~23题（解答题） 考点1 反比例函数综合运用 1．（2026·广东江门·一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上． (1)当点C的坐标为时，求a、b的值； (2)当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由； (3)如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 3．（2026·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，以和．为邻边作矩形，记该矩形的面积为S，求S的最大值； (3)若半径为3，圆心在y轴上的与直线相切，求圆心R的坐标； (4)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 4．（2026·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中． (1)如图1，点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______； (2)如图2，点，在直线l上，若直线l绕点B顺时针旋转得到直线，直线与x轴交于点C，求点C的坐标； (3)如图3，直线l分别与函数，的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转，与函数的图象交于点F，连接，若轴，求的值． 5．（2026·广东梅州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接． (1)求反比例函数的解析式和b的值． (2)如图1，已知轴，轴，作射线交一次函数的图象于点T，求证：． (3)①如图2，在中，，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出 ； ②设G为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点G的坐标．（提示：如） 6．（2023·广东深圳·模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： (1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； (2)证明：． (3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 7．（2025·广东深圳·三模）定义：已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“级函数”点为点关于的“级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； (2)函数为函数的“级函数” 求的值； 若点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时，请直接写出自变量的取值范围______； (3)函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，请直接写出和的值． 8．（2025·广东珠海·三模）已知反比例函数经过矩形，交于点E，交于点 (1)如图1，若反比例函数图象经过的中点D，已知，，求此反比例函数的解析式； (2)如图2，将沿着折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，若，求的值； (3)若将矩形沿对折，点A恰好与点C重合，连接，点B、G关于对称，点B，G的横坐标分别为m，，以点O为圆心，长为半径作若，当与相切时，求k的值． 考点2 二次函数综合运用 1．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 2．（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 3．（2026·广东深圳·二模）【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． (1)如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； (2)如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； (3)【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 4．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 5．（2026·广东茂名·一模）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 6．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 7．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 8．（2026·广东佛山·一模）【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是______； ②若一次函数不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数____________． 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数一定是“不动点函数”吗？请说明理由． 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数的图象上有两个不同的不动点． 考点3 四边形的综合运用 1．（2026·广东·一模）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，若，，求折中线中较长的； (2)如图2，若，请探究折中线的长与k之间的数量关系式，并说明理由； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 2．（2026·广东深圳·一模）综合探究 (1)问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． (2)问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． (3)问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 3．（2026·广东珠海·一模）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 4．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，于点，，． (1)填空：________，________． (2)已知点是线段上的动点（不与，两点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到（点，分别与点，对应），且满足，，三点在同一直线上，记此时的旋转角为． ①当是等腰三角形时，求旋转角； ②记的外接圆圆心为点，连接并延长，交直线于点．在点的运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由． 5．（2026·广东深圳·二模）综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； (4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 6．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形．如图1中，，此时四边形是双等四边形． (1)【初步探究】 如图2，在正方形中，、是边上的两点，连接、交于点．若，求证：四边形为双等四边形； (2)【问题解决】 如图3，在（1）的条件下，连接，若正方形的边长为，，求的长； (3)【拓展应用】 如图4，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长． 7．（2026·广东东莞·模拟预测）按要求完成问题 (1)如图1，四边形为正方形，点E是边上的一点，以为边作正方形，使得A，G两点在的同侧，连接，求的值； (2)如图2，当点E在的延长线上，的延长线与交于点H，若，，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E为边上的一点，以为边作矩形，且，连接和，当为以为腰的等腰三角形时，求的长． 8．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 考点4 圆的综合运用 1．（2026·广东东莞·二模）若四边形是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该四边形为“等直共圆四边形”．    (1)以下哪些图形一定是“等直共圆四边形”：________（填序号）； ①正方形  ②矩形  ③含角的菱形  ④含角的等腰梯形 (2)如图1，四边形是“等直共圆四边形”，．若E是上中点，，求的长； (3)如图2，是的直径，点A在上，请用无刻度的直尺和圆规在上求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是“等直共圆四边形”．当时，求的长． 2．（2026·广东河源·模拟预测）如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接． (1)求证：是的直径． (2)如图②，若．求的长． (3)在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 3．（2026·广东东莞·一模）如图，C，D两点在以为直径的半圆上，点O是半圆圆心，半圆O的半径为r，，点E在上运动（不与点C，D重合），连接，，分别交，于点M，N． 【问题发现】 (1)如题图1，当，且E是的中点时，试猜想与r之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如题图2，当，且E不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)如题图3，若，，，求的长． 4．（2025·广东清远·三模）如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为（A、E、F不共线） ①求与的函数关系式； ②若和相似，求四边形的面积． 5．（2025·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点O为圆心，作与直线相切，切点为E，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点F，G是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)P是上的一个动点，连接交直线于点H．在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 6．（2025·广东韶关·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 7．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 8．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 广东省卷中考数学22~23题（解答题） 考点1 反比例函数综合运用 1．（2026·广东江门·一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B的坐标分别为、，顶点C在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上． (1)当点C的坐标为时，求a、b的值； (2)当时，求a、b应满足什么关系，请说明理由； (3)如图2，当时，在BC的延长线上取一点E，过点E作交y轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的三等分点时，求点E的坐标（请用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)当时，，理由见解析 (3)点E的坐标为或 【分析】（1）过作轴于，过作轴于，再根据正方形的性质结合一线三垂直模型证明，得到，，同理可得，当点C的坐标为时，，解得； （2）由顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，可得，， 根据解不等式即可； （3）当时，，解得，则，此时，过作轴于，过作轴于，则，，设，则，，得到，根据当G为的三等分点时，得到，或，分情况讨论分别求出点坐标，代入，求出，再求即可． 【详解】（1）解：过作轴于，过作轴于， ∵正方形的顶点A、B的坐标分别为、， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 当点C的坐标为时，， 解得； （2）解：当时，，理由如下： ∵顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴当时，， ∴，即， ∴， 由图可得，， ∴； （3）解：当时，， 由图可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作轴于，过作轴于， ∴，，则 设，则，， ∴， ∵当G为的三等分点时， ∴，或， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过点G， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， ∴； 同理当时，，； 综上所述，当G为的三等分点时，点E的坐标为或． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (1)求的值； (2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据，设，则，由勾股定理得，进而得，由此得，，则点，代入可求出的值； （2）由为中点，得，将代入可得，则，由，可证，根据对应角相等及等角的余角相等可得，进而得证； （3）设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，由得，由得，，则，进而可得，则，，进而可证． 【详解】（1）， 设，则， 正方形中，，， 中，由勾股定理得：， ， ，，， ， 代入得； （2）证明：为中点， ， 由已知得，代入得， ，， ， ， 正方形中，， ， ， 中，， ， ，即； （3），理由如下： 设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，如图所示： ， ，正方形中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点并综合运用是解题的关键． 3．（2026·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，以和．为邻边作矩形，记该矩形的面积为S，求S的最大值； (3)若半径为3，圆心在y轴上的与直线相切，求圆心R的坐标； (4)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)或 【分析】（1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，得到S关于s的函数解析式，从而解决问题； （3）过点R作于点F，则，设一次函数的图象与x轴交于点G，则，，利用，求出的值，进而即可求解； （4）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于， 对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， 点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且在直线下方， ， 当时，； （3）解：当点R在点C的上方时， 过点R作于点F，则，设一次函数的图象与x轴交于点G，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即 当点R在点C的下方时，同理可得，， ∴； （4）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 4．（2026·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中． (1)如图1，点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为______； (2)如图2，点，在直线l上，若直线l绕点B顺时针旋转得到直线，直线与x轴交于点C，求点C的坐标； (3)如图3，直线l分别与函数，的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转，与函数的图象交于点F，连接，若轴，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质，证明，得到，，即可得解； （2）过点C作于点D．利用直角三角形，得出，，设，在中，利用特殊角的正切值求解即可； （3）过点E作轴于点G，交于点A，作轴于点C，过O作交的延长线于点H，过点H作轴于点M，延长交y轴于点B，连接．根据反比例函数k的几何意义，得，则，由相似三角形的性质，得出，设，用含的式子表示出线段的长度，再证明三角形全等以及相似，求出，结合勾股定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图， ，， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 又， ， ，， 点的坐标为，即； （2）解：如图，过点C作于点D． ． ． ． ， ． ． 设，则． 在中，， ，即， 解得． ． ． （3）解：如图，过点E作轴于点G，交于点A，作轴于点C，过O作交的延长线于点H，过点H作轴于点M，延长交y轴于点B，连接． 根据反比例函数k的几何意义，得． ，， ． ， ， ． ， ， ， ． 设，则． ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，，． 轴， ，， ． ． ． ． ， ． ，即． 解得． ， ． ． 5．（2026·广东梅州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接． (1)求反比例函数的解析式和b的值． (2)如图1，已知轴，轴，作射线交一次函数的图象于点T，求证：． (3)①如图2，在中，，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出 ； ②设G为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点G的坐标．（提示：如） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①图见解析，；②或 【分析】（1）把代入直线解析式求出，待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的解析式，再联立两条直线的解析式，求出点坐标，求出两点的中点坐标，得到为两点的中点，根据三角形的中线平分面积，即可得出结论； （3）①根据尺规作角平分线的方法作图，作交于点，则，，在中，设，则，，进而求出的长，再根据正切的定义进行求解即可；②分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：联立 ，解得或， ∴， ∵，轴，轴， ∴， 设的解析式为，则， ∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∵，， ∴的中点坐标为， ∴点即为的中点， ∴为的中线， ∴； （3）解：①由题意，作图如下： 由作图可知：， 作交于点，则，， 在中，设，则，， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴； 当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，， 同法可得：，直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或． 6．（2023·广东深圳·模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： (1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； (2)证明：． (3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上； （2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论； （3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 把点代入得：， ∴直线的函数表达式为， ∵的坐标满足， ∴点Q在直线上； （2）解：连接，交于点S， 由题意得四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∴， ∵轴， ∴， ∴，即． （3）解：∵直线与反比例函数交于点C， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例于点D，作，连接，与交于点H，作于I， ∴，四边形是矩形 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴ ∵点H是的中点， ∴，即 ∴可得直线的表达式为 联立得， 解得或（舍去） ∴； 同理可得，当D点在上方时，． 综上所述，D点坐标为或． 【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强． 7．（2025·广东深圳·三模）定义：已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“级函数”点为点关于的“级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； (2)函数为函数的“级函数” 求的值； 若点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时，请直接写出自变量的取值范围______； (3)函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，请直接写出和的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)，或 【分析】本题主要考查了新定义以及二次函数的性质，正确理解新定义是本题解题的关键． （1）写出的解析式，代入值，求得点坐标即可； （2）①根据“级函数”的定义，列出方程，根据常数项求出值，再根据一次项系数求出值即可；设点坐标，求出点坐标，根据点在点上方，求出的取值范围即可； （3）写出的解析式，根据点坐标求出，再根据当时，二次函数的最大值和最小值的差为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点为点关于的“级点”， ∴， 将代入上式，得， ∴； （2）解：①∵函数为函数的“级函数”， ∴， ∴， ，； 故； 由知，， 设，则， 当点在点上方， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）解：∵函数为函数的“级函数”， ∴， 在上， ∴， ， ∴， 上述抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：， 当时，即时，， 解得：， 当时，即时，此时函数最大值为：， 最小值为， 令， 解得：， 当时，，不符合题意，当时，，，不符合题意； 综上所述，或． 8．（2025·广东珠海·三模）已知反比例函数经过矩形，交于点E，交于点 (1)如图1，若反比例函数图象经过的中点D，已知，，求此反比例函数的解析式； (2)如图2，将沿着折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，若，求的值； (3)若将矩形沿对折，点A恰好与点C重合，连接，点B、G关于对称，点B，G的横坐标分别为m，，以点O为圆心，长为半径作若，当与相切时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，由点D是的中点，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （2）设，则，再利用折叠性质及解直角三角形得出点F的坐标，联立方程得出，即可求得答案； （3）当时，，，由折叠得出矩形是正方形，再由轴对称得出四边形是正方形，设与交于点T，再利用切线的性质即可求得答案． 【详解】（1）四边形是矩形，，， ， 点D是的中点， ， 反比例函数点D， ， 反比例函数的解析式为， （2）设，则，如图， 将沿着折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，，， ，， ， 在中，， 当时，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）当时，，， 将矩形沿对折，点A恰好与点C重合， 矩形是正方形， ，，， ， 又， 是等腰直角三角形， 点B、G关于对称，点G的横坐标为n， 四边形是正方形， ，， 如图，设与交于点T，则， ， ， 以点O为圆心，长为半径作与相切， ， ， ， 解得：或舍去， 的值为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，两点间距离公式，切线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 考点2 二次函数综合运用 1．（2025·广东深圳·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点坐标是或；②存在，点的坐标为，， 【分析】（1）将点A、B、C，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①求出直线的表达式为，过作垂直交于和点，可证得，所以，设，则，，，，即可解决问题． ②根据等腰直角三角形的性质求得的点坐标为，分为边和为对角线两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：把， ，代入得∶ ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设直线的解析式为， 把，代入得∶ ， 解得 直线的表达式为． 过作轴交于， 过作轴交于， ∴， ， ， ， 设， 则， ， ， ∴当时，， ， ， ， 或， 点的坐标为或． ②存在，理由如下： 过点作于，如图， 的对称轴为直线， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 当为边时， 四边形为平行四边形， ，轴， 点的横坐标与点的横坐标同为， 当时，， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 根据对称性当时， ， ∴时，四边形也是平行四边形． 当为对角线时，如图， 四边形为平行四边形， ，轴， 同理求得：点的坐标为， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为时，点的坐标为或，时，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质． 2．（2025·广东·一模）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①当时，的值最大，最大值为；②能， 【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解； ②设直线与x轴的交点为点D，作的外接圆与直线位于x轴下方的部分的交点为，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．在中，由勾股定理得的长，可得．由对称性得． 【详解】（1）把代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）①由三角形的三边关系可知，， ∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度， ∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 解，得 ， ∴． 当时，， ∴， 则有， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点， ∵点P在直线上， ， ∴当时，的值最大，最大值为； ②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，， 都是所对的圆周角， ，且射线上的其他点P都不满足， ∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上， ∴点E的横坐标为2， 又， ∴圆心E也在边的垂直平分线上， ∵，， ∴线段的中点坐标为， 设边的垂直平分线解析式为， ∴， ∴， ∴边的垂直平分线解析式是， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， 由对称性得， ∴符合题意的点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性质，关于x轴的对称点的特征，以及对称性．综合性较强，有一定的难度 3．（2026·广东深圳·二模）【定义感知】如图1，对于抛物线，以轴上的点为中心，将抛物线绕点旋转得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线关于点的“共轭抛物线”，点为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为的抛物线与轴交于点，． (1)如图2，当时，求抛物线关于共轭中心的共轭抛物线的表达式； (2)如图3，当时，若抛物线关于共轭中心的共轭抛物线恰好经过抛物线的顶点，求的值； (3)【拓展延伸】过点作轴垂线，分别交抛物线和它关于共轭中心的共轭抛物线于点，，记的长为，与的函数关系图象为．当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式可得抛物线顶点为．根据“共轭抛物线”的定义可得共轭抛物线的顶点为，开口大小与抛物线相同且方向相反，即可求解； （2）同（1）得出抛物线表达式为：．将点代入，根据，得出 （3）由（2）可知，抛物线，抛物线，分三种情况讨论，①当时，点在的左侧，②当时，点在之间，③当时，点在的右侧，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：； （2）解：抛物线， 抛物线顶点为． 共轭中心为， 共轭抛物线的顶点为， 开口大小与抛物线相同且方向相反， 抛物线表达式为：． 抛物线经过点， 解得：．    （3）解：令得：， ∴， 由（2）可知，抛物线，抛物线， ①当时，点在的左侧， 点在点上方， ． ②当时，点在之间， 点在点上方，． ③当时，点在的右侧， 点在点上方，． 综上，与的函数关系图象如下图所示， ∴当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， 当或时，， 解得：，， 当时，， 解得： ． 方法二：由定义可知抛物线与共轭抛物线关于点成中心对称， ， 与的函数关系图象如下图所示， 当平行于轴的直线与的公共点个数为个时，， ， ∴ 解得：． 4．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 5．（2026·广东茂名·一模）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】(1) (2)拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线，理由见解析； (3)横向限高杆离水面距离为米 (4)光线与抛物线之间的最小距离为米 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，，由已知可得，可得，由三角形的内角和定理，即可得的度数； （2）假设该拱桥轮廓线是圆弧，设圆心为，设圆的半径为，在图1中，连接、，根据勾股定理可得，在图2中，连接、、，由三角形的内角和定理可得，可得，解，可得，可判断拱桥的轮廓线不是圆弧，是抛物线，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法即可得抛物线的解析式； （3）设横杆长度和竖杆长度分别为、，点，将点的坐标代入抛物线的解析式，可得，即可得横向限高杆离水面的距离； （4）作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），交轴于点，过点，作，垂足为，设直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，整理为关于的一元二次方程，由可得，可得直线的解析式，可得点的坐标，可得，结合已知解三角形即可得光线与拱桥之间的距离． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 6．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1)不是“减半函数”，理由见解析 (2)和 (3)①；． 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到b的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程，然后分和两种情况，求得m的值并判断是否满足题意，再代入函数解析式即可解答；②先求出抛物线 H的解析式，进而确定A坐标为 ，点B坐标为，则其中点坐标为，再根据“减半点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得：． 7．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）令得到一元二次方程，计算判别式来判断与轴的交点个数即可； （2）根据抛物线对称轴的性质求出抛物线的表达式为，分情况讨论：当或时，利用抛物线的图象性质分析最大值与最小值的情况，据此解答即可； （3）根据题意得到平移后抛物线的表达式为，进而求出点、坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设，则、、，进而求出、、长，分情况讨论：当点在点的上方或点在点的上方时，设直线交直线于点，与交于点时，根据题意列方程求出值，结合点在直线的右侧的第一象限内，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴有2个交点，理由如下： 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； （2）解：根据题意得，抛物线的对称轴为， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 分情况讨论： ①当时，最大值为， ， ， 令得：， 解得或， 由图象可知，抛物线在时，随增大而增大， ，即时，符合题意； ②当时，抛物线在上，随增大而减小， 在处，取得最大值，即、在处，取得最小值，即， ， 解得， ， 此种情况不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：由（2）知，抛物线的表达式为， 则平移后抛物线的表达式为：， 抛物线的对称轴为， 令得：， 解得或， 、， 令得：， ， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 设，则、、， 分两种情况讨论： ①当点在点的上方时，令直线交直线于点， 将代入得：， ， 点在直线的右侧的第一象限内， ， 、、、， 、， 直线将四边形的面积分成的两个部分， ， 整理得：， 解得：或， ， ， 将代入得： ， ； ②当点在点的上方时，设与交于点， 将代入得：， 解得， ， 、， 由题意得：， ， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得： ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的几何综合、二次函数的平移，熟练掌握二次函数及一次函数的图象性质、数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 8．（2026·广东佛山·一模）【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是______； ②若一次函数不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数____________． 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数一定是“不动点函数”吗？请说明理由． 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数的图象上有两个不同的不动点． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2)反比例函数不一定是“不动点函数”，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握“不动点函数”的定义是解此题的关键． （1）①根据“不动点函数”的定义，令，则，求解即可；②根据“不动点函数”的定义写出符合题意的函数即可； （2）若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到，再分两种情况：当时；当时，分别分析即可得出结果； （3）求出二次函数的顶点坐标为，结合题意可得，若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程，整理可得，求出，从而可得方程有两个不相等的实数解，即可得证． 【详解】（1）解：①令，则， 解得：， ∴该函数图象上的不动点坐标是； ②若一次函数不是“不动点函数”，满足条件的一次函数为； （2）解：反比例函数不一定是“不动点函数”，理由如下： 若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到， 当时，方程无实数解，此时反比例函数不是“不动点函数”； 当时，方程的解为，此时反比例函数是“不动点函数”； 综上所述，反比例函数不一定是“不动点函数”； （3）证明：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴， 整理可得：， 若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 整理可得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解，即二次函数的图象上有两个不同的不动点． 考点3 四边形的综合运用 17．（2026·广东·一模）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，若，，求折中线中较长的； (2)如图2，若，请探究折中线的长与k之间的数量关系式，并说明理由； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长，理由见解析 (3)折中线的长为或 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得，，，再证明为等边三角形，结合题意可得，，由勾股定理得出，再由平行线的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）由菱形的性质可得，，再证明，得出，计算得出，，即可得出结果； （3）由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等，分两种情况：当时，过点作，交的延长线于点，过点作于点；当时，过点作，交的延长线于点，连接交于点，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：折中线的长，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折中线的长； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时折中线的长； 当时，如图，过点作，交的延长线于点，连接交于点， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴折中线的长， 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 18．（2026·广东深圳·一模）综合探究 (1)问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． (2)问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． (3)问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； （2）取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； （3）过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∵，由（2）， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．（2026·广东珠海·一模）综合与实践． 主题：纸张规格的奥秘． 材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性． 探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是： ①各长方形纸张的长宽比都相等； ②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸． (1)直接写出系纸长与宽的比______． (2)如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比． (3)在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明． 【答案】(1) (2)四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为； (3)四边形纸片不是系纸片，折纸画图及其证明过程见解析． 【分析】（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，即可得系纸长与宽的比； （2）由折叠可得，四边形是矩形，，，连接，设，，由勾股定理可得，根据，代入化简，即可求解； （3）设，则，由系纸片长与宽的比可得，可得，计算，结合系纸片长与宽的比进行判断，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，由折叠过程，结合平行线的性质，可得四边形是正方形，四边形是矩形，，，计算，即可证明是系纸片． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为， ∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等， ∴， ∴， ∴， ∴系纸长与宽的比为． （2）解：四边形纸片不是系纸片， 在长方形中，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠可得，， 连接， 设，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为． （3）解：设，则， ∵四边形是系纸片， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片不是系纸片， 如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片， 证明：由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形纸片是系纸片． 20．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，于点，，． (1)填空：________，________． (2)已知点是线段上的动点（不与，两点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到（点，分别与点，对应），且满足，，三点在同一直线上，记此时的旋转角为． ①当是等腰三角形时，求旋转角； ②记的外接圆圆心为点，连接并延长，交直线于点．在点的运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；②2 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可； （2）①由旋转的性质可得，，然后分三种情况：当时， 当时， 当时，即可求解； ②根据题意可得，从而得到点四点共圆，连接，设，可得，，从而得到，，进而得到，可得点A，D，E，K四点共圆，可得到点K在以为直径的圆上，取的中点P，连接，则，且，则点K在以点P为圆心，半径为2的圆上，延长交的延长线于点L，过点B作于点Q，求出，过点K作于点H，则，且，可得当点K，E重合时，点K到的距离最短，即为，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， （2）解：①如图， 由旋转的性质得：，， ∴，， 当时， ， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 当时，，此时点三点不可能共线， 综上所述，旋转角或； ②由旋转的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， 如图，连接， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，D，E，K四点共圆， ∵，即， ∴点K在以为直径的圆上， 如图，取的中点P，连接，则，且， ∴点K在以点P为圆心，半径为2的圆上， 延长交的延长线于点L，过点B作于点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴ 过点K作于点H，则，且， ∴的最大值为2， 即当点K，E重合时，点K到的距离最短，即为， 此时的面积最小，等于． 21．（2026·广东深圳·二模）综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； (4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3) (4)的长为或16或． 【分析】（1）方法1：当时，则，根据平行四边形的性质，证明，则，从而得出，即可得证；方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得，再结合，得到，即可得证； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出，进而推出，即可得解； （3）过点作，，设，，利用勾股定理列方程，求出，，证明四边形是矩形，得到，，，进而推出，设，，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解； （4）由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2．分三种情况讨论：①当时，过点作于点，过点作延长线于点；②当时，过点作于点，过点作延长线于点，利用角的正切值求解；③时，连接，过点作，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：方法1： 当时，则， ， ， 在和中， ， ， ． ， 是菱形． 方法2： ， ， 时，， ， 是菱形． （2）解： ， ， ， ． （3）解：如图，过点作，， 矩形，， ，，，， ， 设，， ， 解得：， ，， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 解得：， ． （4）解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2． ①如图1，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在中， ， 设，， ， 解得：， ，， ， 同理可得，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 同理可求，，， ， 由①可知，，， ， ， ， ， ， ； ③如图3，当时，连接，过点作， ， 设，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 又， ， ， ， ， ． 综上可知，的长为或16或． 22．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等四边形．如图1中，，此时四边形是双等四边形． (1)【初步探究】 如图2，在正方形中，、是边上的两点，连接、交于点．若，求证：四边形为双等四边形； (2)【问题解决】 如图3，在（1）的条件下，连接，若正方形的边长为，，求的长； (3)【拓展应用】 如图4，点是矩形内一点，点是边上一点，四边形是双等四边形，且，延长交于点，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的长为或 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可证明，得出，根据双等四边形的定义即可得出结论； （2）过点作于，设，在中，利用勾股定理求出，根据得出，，根据相似三角形的性质得出，，利用勾股定理即可求出的长； （3）分和两种情况，根据，利用相似三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形为双等四边形． （2）解：如图，过点作于， ∵正方形的边长为，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，过点作于，延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，，， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 如图，当时，于，延长交于，过点作于， 同理可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述：的长为或． 23．（2026·广东东莞·模拟预测）按要求完成问题 (1)如图1，四边形为正方形，点E是边上的一点，以为边作正方形，使得A，G两点在的同侧，连接，求的值； (2)如图2，当点E在的延长线上，的延长线与交于点H，若，，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E为边上的一点，以为边作矩形，且，连接和，当为以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作的垂线交延长线于点，证明，得到，再证明，即可求解； （2）连接交于点，过作交延长线于点，延长、交于点，易证为等腰直角三角形，再通过判定得到，进而证得，然后由判定得到点为的中点，故，在中，利用勾股定理求得的值，进而计算出的长度； （3）连接，证明，得到，推出三点共线，易证四点共圆，证明，分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点作的垂线交延长线于点， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：连接交于点，过作交延长线于点，延长、交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ，， 又， ， ∵， ∴， 为中点，，， 在中，， 解得， ， ， ∴． （3）解：连接， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵为以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，如图， 则，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，当为以为腰的等腰三角形时，的长为或． 24．（2026·广东佛山·一模）【问题情境】 折纸是一种许多人熟悉的活动，在数学活动课上，老师让同学们以“图形的翻折”为主题开展数学活动． 活动一：矩形可折叠 矩形纸片中，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处；再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为．翻折后的纸片如图1所示． 活动二：折叠可得矩形 如图2，将 纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰 的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为“叠合矩形”，如图3和图4． 【提出问题】 （1）如图1，的度数为 　　； （2）如图1，若，，求的最大值； （3）纸片还可以按图4的方式折叠成一个叠合矩形，若，，直接写出的长　　； 【解决问题】 （4）如图5，一张矩形纸片通过活动一中的翻折方式得到四边形，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，，，求该矩形纸片较长边的长度． 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3）15；（4）矩形纸片较长边的长度为或 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据，即得； （2）设，，则，证明，，得，得，得，根据二次函数的性质，即得的最大值为； （3）设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4，由矩形性质和勾股定理，得 ,证明，得，由， ，即得； （4）分和为矩形的边和角，和为矩形的边和角，两种情况计算矩形的边，比较得出矩形的较长边． 【详解】解：（1）如图1， 由题意得：，， ， ， ， ； （2）如图1， 设，，则， 由（1）知， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值为， 的最大值为； （3）解：设点B的对应点为M，点D的对应点为N，如图4， ∵矩形中，， ∴, ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）作出原矩形，连接，如图5①， ，，， ， ， 四边形为矩形， ，． 设，则，设，则． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， 矩形纸片较长边的长度为； 当为矩形的一边时，作出原矩形，如图5②， 设，则，设， 四边形为矩形， ，，， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， 矩形纸片较长边的长度为； 综上所述，矩形纸片较长边的长度为或． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理；本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 考点4 圆的综合运用 1．（2026·广东东莞·二模）若四边形是圆内接四边形，且它的一条对角线将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该四边形为“等直共圆四边形”．    (1)以下哪些图形一定是“等直共圆四边形”：________（填序号）； ①正方形  ②矩形  ③含角的菱形  ④含角的等腰梯形 (2)如图1，四边形是“等直共圆四边形”，．若E是上中点，，求的长； (3)如图2，是的直径，点A在上，请用无刻度的直尺和圆规在上求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是“等直共圆四边形”．当时，求的长． 【答案】(1)① (2) (3)或或 【分析】（1）根据特殊四边形的性质以及“等直共圆四边形”的定义判断即可； （2）由同弧可得，，则．设，则．证明，利用对应边成比例求出，则，设，，利用勾股定理列方程求解即可． （3）分别作的三条角平分线，根据等角得到对应弦相等，从而得到等腰三角形，完成作图；情况①：过B作交于点E．由圆周角可得，，再结合锐角三角函数求解即可；情况②：连接交于点E，连接，则垂直平分，再结合勾股定理求解即可；情况③：连接交于点E，连接，则垂直平分，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：只有正方形的对角线可以将其分割成一个等腰三角形和一个直角三角形， 即一定是“等直共圆四边形”的是正方形； （2）解：， ． 四边形是的内接四边形，， ． ， ． ． ， ． ． ， 即． ． 是上中点，， 设，则． ， ． ，即． ． 解得． ． 设． 在中，，即． 解得． ． （3）解：作图分三种情况：如下图，点D为所求． 在中，， ． 情况①：如图，过B作交于点E．   是的直径， ， ， ． ． ，． 在中，． ． 情况②：如图，连接交于点E，连接．   ， 垂直平分． ． ， 在中，． ， 在中，． 情况③：如图，连接交于点E，连接．   ， 垂直平分． ． 在中，． ． 在中，． 综上所述，的长度为或或． 2．（2026·广东河源·模拟预测）如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接． (1)求证：是的直径． (2)如图②，若．求的长． (3)在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)5，过程见详解 (3)存在其他点G，理由见详解 【分析】（1）结合已知条件，利用直径所对的圆心角为即可证明； （2）由题意可知是等边三角形，而是已知的，因此将绕点C逆时针旋转得，连接，则使建立联系，进而求解； （3）参照第（1）问的解题思路，点G需要满足这两个角所对的圆心角和为，因此从构造直径入手即可解决． 【详解】（1）证明：如图1，连接，，，则有 ，． ∵， ∴， ∴三点在同一直线上， ∴  是的直径 ； （2）解：如图2，将绕点C逆时针旋转得，连接，则是等边三角形． 所以，． ∵， ∴即 ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴． 在中，，，由勾股定理，得 ． ∴； （3）解：存在其他点G，使，证明： 如图3，在下方任作直径，连接，，，与相交于 G，则有，． ∵ ∴． 3．（2026·广东东莞·一模）如图，C，D两点在以为直径的半圆上，点O是半圆圆心，半圆O的半径为r，，点E在上运动（不与点C，D重合），连接，，分别交，于点M，N． 【问题发现】 (1)如题图1，当，且E是的中点时，试猜想与r之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如题图2，当，且E不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)如题图3，若，，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据题意，得，证明四边形是正方形，求解即可． （2）取的中点F，连接,分别交于点G，H，分点E在上和点E在上两种情况证明即可． （3）过点A作于点Q，并延长交半圆于点P，连接，交于点T，通过证明，求解即可． 【详解】（1）解：与r之间的数量关系为．理由如下： 连接，根据题意，得， E是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， ， ． （2）解：结论仍然成立．理由如下： 取的中点F，连接,分别交于点G，H， 根据（1）的证明，知四边形是正方形，， ， 当点E在上时，如图所示， 根据（1）的证明，知都是等腰直角三角形， ，， ，为半圆的直径, ， 根据四边形内角和，得， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当点E在上时，如图所示，同理可证， ∴， ∴ ． （3）解：过点A作于点Q，并延长交半圆于点P，连接，交于点T， ，， ， ， ， ，， ，， 为半圆的直径, ， ， ， 根据（2）的证明，可证明， ∴， ∴， ∴， 解得， ． 4．（2025·广东清远·三模）如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为（A、E、F不共线） ①求与的函数关系式； ②若和相似，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】（1）根据同圆的半径相等可得点B的坐标，由勾股定理可得点D的坐标； （2）①先确定点F的坐标为，根据交点式设抛物线的解析式为：，将点F的坐标代入可得，最后根据面积差即可解答； ②分两种情况：如图2，或，列比例式可得t的值，代入①中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：①∵是的切线， ∴， ∵经过，两点的抛物线交y轴正半轴于点E， ∴设抛物线的解析式为：， 把点F的坐标代入得：， ， ∴， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴ ； ②在中，，， 分两种情况： （i）如图2，， ∴， ∴， ∴， ∴； （ii）当时， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查圆，二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的切线的性质，多边形的面积，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想解决相似三角形的问题． 5．（2025·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点O为圆心，作与直线相切，切点为E，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点F，G是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)P是上的一个动点，连接交直线于点H．在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，由切线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论，运用解直角三角形的计算，数形结合即可求解； （3）作，交的延长线于点Q，如图，得到，所以，当最大时，的值最大，平移，使平移后的直线与相切，设切点为，作，交于点，连接，当点P在点处时，的值最大，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为1． （2）解：当时，如图， 则， ∵，， ∴； 当时，如图， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，的长为或． （3）解：作，交的延长线于点Q，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 平移，使平移后的直线与相切，设切点为，作，交于点，连接，则， 当点P在点处时，的值最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握以上知识数形结合分析是关键． 6．（2025·广东韶关·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； ． 【分析】利用网格图证明，得出，利用直角三角形中角的关系可以证明，利用相似三角形对应边成比例可证点是边上的一个“中项点”； 利用圆周角定理可证，根据相似三角形的性质可证，根据点是中边上的“中项点”，可证，利用垂径定理可证结论成立； 由可知，，根据平行线的性质可证是直角，根据圆周角定理可证是的直径，设，则，，利用勾股定理可以求出，，又因为，可得：，从而可求． 【详解】（1）证明：如下图所示， ∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 点是边上的一个“中项点”； （2）证明：如下图所示，连接， ， 又， ， ， ， 点是中边上的“中项点”， ， ， ， ； 解：如下图所示，连接， 由可知，， 又， ， ， 是的直径， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、垂径定理、圆周角、勾股定理等知识点．解题的关键与难点在于理解新定义与所学知识的连接，灵活运用已有知识． 7．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定； （1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可； （2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值； ②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 8．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 【答案】(1)证明见详解 (2)①，证明见详解；② 【分析】（1）利用正方形的性质和圆周角定理可得出，从而证得结论； （2）①利用折叠的性质可得到，从而求得，再证明，利用相似三角形对应边成比例得出线段间的数量关系，从而利用正切的定义求得结果；过点M作于H，通过一线三垂直证得，利用相似三角形对应边成比例及已知条件求得，此时证得点D，M，B三点共线，最后通过证明即可得出结论； ②利用相似三角形的性质可得出面积之比为线段之比的平方，由此得出，再证明，得出，分别表示出各线段的表达式，最后由分别代入相关数据后通过计算化简即可求得结果． 【详解】（1）证明：在正方形中，平分， ∴， 在对应的圆周角中，， 在对应的圆周角中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）解：①证明：由折叠可得， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， 如图，过点M作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴点D，M，B三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $