题号猜押07 广东广州中考数学24～25题 二次函数的实际应用，二次函数的综合，特殊四边形与圆，特殊四边形的动点（解答题）（广州专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 广东广州中考数学24~25题（解答题） 考点1 二次函数的实际应用 1．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)无人机升至某高度时需向右移动 【分析】 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的表达式为， 代入得， 解得：， ∴此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， ∵向右移动后的表达式为， ∴代入可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴信息3中移动距离的值为； （3）解：当时，，， ∵， ∴无人机升至某高度时需向右移动， 设顶点向右平移米，则，， 当时，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴无人机升至某高度时需向右移动． 2．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 (1)请求出抛物线 的解析式； (2)求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2)圆弧 所在圆的半径为 (3)锅盖能正常盖上 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为， 由题意可知，，， ∴， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴圆弧 所在圆的半径为； （3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接， 由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称， ∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大， ∵点为圆弧的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴锅盖能正常盖上． 3．（2026·广东珠海·一模）实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作步骤】 步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为． (1)直接写出骨架的长度：_____，_____； 步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线． (2)求过E，F，G三点的二次函数解析式； 步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，． (3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？ 【答案】(1)60，20； (2) (3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 【分析】 【详解】（1）解：设，则的长为， 由题意得， 解得， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵过距离点A，点B，点D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线， ∴， 设所求抛物线表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （3）解：∵， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为，代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可知直线的解析式为， ∴， 令， 则， 令， 解得， ∴， ∴，直线的解析式为， ∴， 令，解得， ∴， 即， 即筝形纸片面积至少为． 答：小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米． 4．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 【答案】(1) (2)①，280元；②当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大 【分析】 【详解】（1）解：由表格可得，最大销售额为512元，顶点坐标为， 设销售额与销售单价之间的关系式为， 将代入得， 解，得， 销售额与销售单价之间的关系式为； （2）解：①由（1）得， 由题意得，， ， 销售数量与销售单价之间的关系式为， 当时，销售利润为（元）； ②设销售此款环保帆布包的销售利润为元， 由①得，销售数量， ， 此款环保帆布包的销售利润是销售单价的二次函数， ，且， 当时，取得最大值， 当该环保帆布包的销售单价为20元/个时，销售利润最大． 5．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2)这个小组的猜想是正确的，见解析 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，，顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）， 则，， 抛物线表达式为（其中为常数，）， ， 将代入，可得， 解得； （2）由题意得，， 将代入抛物线表达式得：， ， ， ， ， 这个小组的猜想是正确的； （3）由题意得，则，， ， 由（2）可知， （i）当时，可得，点不在轴下方， 抛物线在对称轴处有最小值， 即当时，， ， ； （ii）当时，可得，点在轴下方， ， 当时，随的增大而减小， 点在轴下方， 抛物线在处有最小值， 即当时，， ， 解得； 综上所述，或． 6．（2026·广东深圳·一模）综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计 【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5米处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)【建立模型】 求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】 求音乐喷泉水池的半径的长； (3)【优化设计】 公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标应该如何改变？设，请求出m和n的函数关系式． ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为1.5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？ 【答案】(1) (2)m (3)①②0.6倍；建议见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为 将代入解析式，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，（舍） ∴， ∴， 即音乐喷泉的水池半径为． （3）①设新最高点．设新抛物线解析式为，将，代入得， 解得， 故； ②由题意得 ∴， ∴功率比为，即新方案功率是原方案的0.6倍． 建议：虽然新方案的落点更远（5米米），但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用于水平推进）．建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保． 7．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 (1)求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； (2)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 【答案】(1)，； (2)①图象见解析；②最多可以抛个，说明见解析； (3) 【分析】 【详解】（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点 ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过原点 ∴ 解得： ∴ ∵抛物线， ∴， ∴与对比，可得， ∴抛物线的解析式为：，米/秒． （2）解：①图象如下： ②最多能抛出个小球，说明如下： 由函数图象可得，当时，即， ∴，， ∴， ∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个． （3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为， 当秒后两球相遇，高度相等， ∴ 化简得：， ∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：． 8．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 (1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 【答案】(1)， (2)喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为： (3)6； 【分析】 【详解】（1）解：当时，； ， 故答案为：，； （2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，轴右侧的抛物线的解析式为：， ∴设轴左侧的抛物线的解析式为：， ∵两条抛物线关于轴对称， ∴两条抛物线对称轴关于y轴对称， ∴， ， 喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：； （3）根据题意，， 右侧原抛物线， ∵新抛物线与原抛物线形状大小相同， ∴设新抛物线为， ∵过点，且顶点纵坐标为， ∴ 解得：，（舍掉，与原抛物线重合）， 则， 故新抛物线解析式为： ， 令，得 解得：（舍）， 水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外， 水池半径至少为6米； ②设过点的直线解析式为， 射灯照射出的光线穿过三段水流，则直线过G点和直线与新抛物线相切是两个临界状态， 设切点为，作轴，轴， 当直线过G点时，在中，， 当直线与新抛物线相切时， ， 即， ∵直线与新抛物线相切， ∴， （舍）， 此时抛物线与直线切点为， ∴此时，在中，， 射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围是． 考点2 二次函数的综合 9．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1)不是“减半函数”，理由见解析 (2)和 (3)①；． 【分析】 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得：． 10．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点” (2)①6；②或 【分析】 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； （2）解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 11．（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点与为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数． 根据约定，解答下列问题： (1)反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由． (2)若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？ (3)对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标． 【答案】(1)是，对换点坐标为和 (2)1 (3)和 【分析】 【详解】（1）解：设对换点为与，代入反比例函数解析式得： ， 由①得， 由②得， 故可得反比例函数是对换函数， 取，则，对应对换点坐标为和； （2）解：设对换点为与，代入一次函数解析式得： ， 由②得， 把①代入得：， 整理得， 又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立， 故且， 解得：； （3）解：设对换点为与，代入函数解析式得： 两式相减得， 整理得， ∵两点不重合， ∴， ∴， ∴， ∴代入得：， ∴， ∴当时，有最小值为， ∴， 又取最小正整数， ∴，此时，，对换点为和． 12．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点，理由见解析 (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：抛物线与轴有2个交点，理由如下： 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； （2）解：根据题意得，抛物线的对称轴为， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 分情况讨论： ①当时，最大值为， ， ， 令得：， 解得或， 由图象可知，抛物线在时，随增大而增大， ，即时，符合题意； ②当时，抛物线在上，随增大而减小， 在处，取得最大值，即、在处，取得最小值，即， ， 解得， ， 此种情况不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：由（2）知，抛物线的表达式为， 则平移后抛物线的表达式为：， 抛物线的对称轴为， 令得：， 解得或， 、， 令得：， ， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 设，则、、， 分两种情况讨论： ①当点在点的上方时，令直线交直线于点， 将代入得：， ， 点在直线的右侧的第一象限内， ， 、、、， 、， 直线将四边形的面积分成的两个部分， ， 整理得：， 解得：或， ， ， 将代入得： ， ； ②当点在点的上方时，设与交于点， 将代入得：， 解得， ， 、， 由题意得：， ， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得： ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的几何综合、二次函数的平移，熟练掌握二次函数及一次函数的图象性质、数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 13．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 14．（2025·广东广州·一模）已知抛物线的顶点为，点在抛物线上，直线过点和． (1)求直线的解析式； (2)点为抛物线与直线的唯一交点，连接，记的长度为，若给定一实数，满足恒成立，求的取值范围； (3)已知：任意两正数，，有不等式恒成立． ①若与的乘积为定值，求证：的最小值为，当时，的值最小； ②在（2）的条件下，为直线上的一动点，，连接，．若，运用（3）①证明的结论，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①见详解，② 【分析】 【详解】（1）解：设直线的解析式为 直线过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：联立抛物线与直线， ， 整理得①， 抛物线与直线有唯一交点， 方程①的判别式， ， ， ② 将②代入抛物线解析式， ， ， ，， ， ， 而， ， ， 当时，； 恒成立， ； （3）解：①， ， 即， ， ， 当且仅当，即时取等号； ②设， ， 由勾股定理， ， 展开化简得， ， ， ， ， 将代入， ， ， ， ， ， 且， ， 解得， ，故， ， 设， 则， ， ， 设， ，，即 ． 由(3)①知， 取， ， 当且仅当，即时取等号，此时，满足条件． 的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数与直线的位置关系、勾股定理的应用以及基本不等式求最值的方法；解题的关键是第（2）问利用将双变量问题转化为单变量问题，第（3）问②利用勾股定理和直角三角形面积公式建立面积表达式，通过换元法构造基本不等式的形式求解最值，体现了数形结合与化归转化的数学思想． 15．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图像经过定点，定点坐标是 (2)①；②见解析 (3)t的取值范围为或或 【分析】 【详解】（1）解：此二次函数图像经过定点，定点坐标是． 理由如下：由题意得，， 当，即时，的值与无关， 此时，即图像经过定点； （2）解：①令，即， ， 是圆的直径， ， 又， ， ， ， ， ， 依题意，， ， 二次函数的表达式为； ②点是的中点，， ， ， ， ， ，， ， ∵， ， ，， ； （3）解：令， 解得，， ，， 令得， ； 的圆心为，半径为， 点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即； 设圆心到三边的最短距离为， ，即圆上到的最小距离为， 又∵的半径为，即， ∴圆心到、、三边的最小距离为， 当到的最小距离为时，过作于，设直线交于，则， ， ， ，， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， 直线解析式为， 当时，， 解得， ， ， ， ， 解得， 同理求得当到的最小距离为时，， 当，的取值范围为或或． 考点3 特殊四边形与圆 16．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，于点，，． (1)填空：________，________． (2)已知点是线段上的动点（不与，两点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到（点，分别与点，对应），且满足，，三点在同一直线上，记此时的旋转角为． ①当是等腰三角形时，求旋转角； ②记的外接圆圆心为点，连接并延长，交直线于点．在点的运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；②2 【分析】 【详解】（1）解：在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， （2）解：①如图， 由旋转的性质得：，， ∴，， 当时， ， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 当时，，此时点三点不可能共线， 综上所述，旋转角或； ②由旋转的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， 如图，连接， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，D，E，K四点共圆， ∵，即， ∴点K在以为直径的圆上， 如图，取的中点P，连接，则，且， ∴点K在以点P为圆心，半径为2的圆上， 延长交的延长线于点L，过点B作于点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴ 过点K作于点H，则，且， ∴的最大值为2， 即当点K，E重合时，点K到的距离最短，即为， 此时的面积最小，等于． 17．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 18．（2026·广东汕头·一模）综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动． 【探究发现】如图①，在正方形中，P为对角线上一动点，连接和，则 发现与始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作，则发现始终是一个特殊的三角形． 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线延长线上且点Q在的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立． 根据以上材料，请你完成下列问题： (1)如图①， 同学们发现与始终存在的一种数量关系是 ； 如图②，始终是一个特殊的三角形，即 ． (2)请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来． 【拓展应用】 (3)如图⑤，在正方形中，P为边上任意一点，O为的中点，过点P作于点E，连接，，作的外接圆，若，求外接圆的半径． 【答案】(1)，等腰三角形 (2)见解析 (3)1 【分析】 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：选择图③，证明如下： 令与交于点， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 选择图④，证明如下： 四边形是正方形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图⑤，连接和， 在正方形中，、， ， ， ， 、、为的中点， ， ， ， 同理、， 、， 是等腰直角三角形， ， 设外接圆圆心为点F，连接和， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的外接圆的半径为1． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 19．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)的中点为； (2)①见解析；②的长为或或． (3)的值为． 【分析】 【详解】（1）解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （2）解：①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． （3）解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 20．（2025·广东广州·一模）如图，边长为4的正方形的对角线，相交于点，点在对角线上运动（不与点，重合），连接． (1)连接，求的取值范围； (2)为边外侧一点，连接，，，且． ①求证：； ②设外接圆的半径为，连接，，当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式（为自变量）． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】 【详解】（1）解：如图， 当点与点重合时，的长最短， ∵边长为4的正方形， ∴，， ∴， ∴； （2）①证明：在线段上取点，使，连接， ∵， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； ②作线段和的垂直平分线，相交于点，连接，，，此时点为外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∵， ∴点在边上， ∵，，， ∴， ∴． 21．（2026·广东深圳·一模）定义：在平行四边形中，是平行四边形的对角线，点是平行四边形边上一点，分别连接，若满足，则称点为平行四边形的“共轭连接点”． (1)如图1，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，则___________； (2)如图2，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，，，求的长； (3)如图3，已知在矩形中，矩形的两邻边的之比为，点是矩形的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出___________． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②或． 【分析】 【详解】（1）解：， ， 在平行四边形中，, ，， ， ， ， ， ， 又， ，则为等边三角形， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）， ，， 又， ， 过作交于， ， 为中点，， 在中，， ， ， ； （3）解：①如图即为所求， 延长，使得， 在和中， ， ， ， 又为直角三角形， 则以为直径作，与交于点， 又圆的内接四边形对角互补， ， 即, 故即为所求； ②如图，不妨设，则，， ， 当在处时，连接， 设，则， 为直径， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， 此时， 同理可得， 综上，或． 22．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 【答案】(1)证明见详解 (2)①，证明见详解；② 【分析】 【详解】（1）证明：在正方形中，平分， ∴， 在对应的圆周角中，， 在对应的圆周角中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）解：①证明：由折叠可得， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， 如图，过点M作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴点D，M，B三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 23．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或12 【分析】 【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：结论：， 理由：如图2，延长交于点H， ，， ，即， ， ， ， ， 又， ， ，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：由（2）知． ， ， ∴， 是的中点， ． 由①可知，， ∴， ， 是圆的直径， 当点Q在上方的弧上时，（时相切，不存在）；当点Q在左侧的弧上时，（时相切，不存在），当点Q在下方的弧上时，， 不存在， 当时，如图3，， ， 连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∴， 当时，如图4，连接； 是圆的直径， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，的长是或12． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点4 特殊四边形的动点问题 24．（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 25．（2025·广东深圳·三模）（）用数学的眼光观察． 如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，请直接写出的度数为______． （）用数学的思维思考． 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接： ①尺规作图：过点作直线垂直于，其中点在上方，且满足； ②连接，判断三点的位置关系，并说明理由； （）用数学的语言表达． 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度为______． 【答案】（）；（）①画图见解析；②点，点，点三点共线，理由见解析；（）或 【分析】 【详解】解：（）∵四边形是菱形，， ，，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ∴， ， ， ， 故答案为：； （）①作图如图所示： ②点，点，点三点共线，理由如下： 连接交于，过点作直线于，如图， ∵四边形是正方形， ，，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点，点，点三点共线； （）如图，过点作于，过点作于，则， ∵矩形中，，， ，， ， ∴， ， ∴四边形是圆内接四边形， ， ， 、、在同一条直线上， ， 即， ， ， ， ， ， 在中，，， 设，则，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， 当时，， 解得或（不合，舍去）， ； 当时，， 解得或（不合，舍去）， ； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆内接四边形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 26．（2024·广东深圳·一模）如图1，菱形中，，，是边上一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点是的中点，连接．                (1)填空：______，______（用含的代数式表示）； (2)如图2，当，题干中其余条件均不变，连接．求证：． (3)（2）的条件下，连接． ①若动点运动到边的中点处时，的面积为______． ②在动点的整个运动过程中，面积的最大值为______． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)①；② 【分析】 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，， 是关于的对称点， 沿翻折后可得到， ，， ， 是的中点， ，，即 ， ， ∴． 故答案：，． （2）证明：如图，过作，交的延长线于，   ， 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，， 由（1）得： ， ， ， 在中，， ； ，   ， ， 在和中 ， （）， ， ． 在中，， ∴， ∴    （3）解：①如图，连接交于，连接，    由（2）得：， ， 、、、四点共圆，为圆心， 四边形是正方形， ， 在上， ， 是的中点， ，   ， ，， ， ， ， ，， ， ， ，   由（2）得：， ， ， ， 在中，， ， ，， 由（1）折叠得：， ． ②如图，过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，   ， ， ， 当取最大时，最大， 如图，当与重合时，即，最大，   ， ， ， ， 故面积的最大值为. 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定及性质，对称和折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 27．（2025·广东广州·三模）如图，在菱形中，，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，的度数为___________． (2)延长，交射线于点G，当时，求的长． (3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)8 【分析】 【详解】（1）解：∵边关于对称的线段为， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， 如图：过E作交其延长上点H，延长交于M 设，连接 由轴对称的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵ ∴，即 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． （3）解：如图：过B作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图：过B作交延长线于K，连接， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当D、E、K三点不共线时，， 当D、E、K三点共线时，， ∴，即， ∴的最小值为8． 28．（2026·广东广州·一模）如图1，在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)猜想证明：求证：； (2)类比探究：如图2，若将正方形改为矩形，点E是所在直线上一动点（不与点B，C重合），其中，其他条件不变． ①当点F恰好落在矩形的对角线上时，求的长； ②直接写出点D到点距离的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①18；② 【分析】 【详解】（1）证明：过点F作，交延长线于H，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①当为矩形时， 当点E在线段上时，如图所示：旋转后点F无法在对角线上，不符合题意； 当点E在线段的延长线上时，过点F作，交延长线于H，如图所示： ， 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图所示： 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上可得：； ②解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 设，则, ∴， ∴当时，有最小值8，则有最小值． 29．（2025·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，为边上的动点（点不与点，重合），点在上，且． (1)设，求证：； (2)过点作，为垂足，连接，求证：为等腰三角形； (3)若点为边上一动点，且的面积为，当取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)． 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：过点作， ∴， 又  ， ∴， ∴   又四边形为正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 设， 由（）得， ∴，， ∵， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：由（）知， ∴， ∴， 连接，在上取点使得， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上运动， 连接，当点运动到上时有最小值， 此时，过点作，过点作， ∵， ∴的半径， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，圆的有关性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 30．（2025·广东云浮·一模）在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； (2)如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 【答案】(1)①；② (2)18， 【分析】 【详解】（1）解：①如图， 过作于H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ②如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠得：，，，， 如图， ∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大， 由（1）同理可求， ∴， ∴， ∴的面积为， 即面积的最大值为18． 如图， ∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为． 故答案为：18，． 【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 31．（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．    (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，直接写出与的大小关系； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 【答案】(1) (2)点在运动过程中，的长度不变，值为，理由见解析 (3)6 【分析】 【详解】（1）解：连接，如图1所示：      ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在运动过程中，的长度不变，值为．理由如下： 连接，与相交于点，如图2．      ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ， 在和中， ， ∴， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ，(负值不合题意，已经舍去) ， ∴点在运动过程中，的长度不变，值为； （3）解：如图3所示：过点在正方形外作，使，在上取点，使，连接，      ∵四边形是正方形， ， ，， ∴， ∴， ∴， 如图3所示：在上取点，使，连接、， 又∵， ∴， ∴ 即：当、、三点共线时，最小，最小值为， 如图3所示：过点作，垂足为，交于， ∵正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴ ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 1．（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)建立平面直角坐标系如图， 【分析】 【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为， 当时，， ， ， 平移后， 设直线的解析式为，   ， 解得 ； （3）解：根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵，   ， ， ， ． 2．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)球能越过球网，球不会出界，理由见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：当时， ，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：球能越过球网，球不会出界； 理由：由（1）知，当时，抛物线的表达式为， 米，球网高度为2.24米， ， 当时，， ， 球能越过球网， 当时，， 解得：，， ， ， 球不会出界； （3）解：是与形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米， 设的表达式为， 将点代入，得， 解得：（舍去），， 的表达式为， 设点的横坐标为， 则，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， ． 3．（2026·广东深圳·二模）综合与探究 关于二次函数，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． (1)【特例研究】当时，二次函数为______，并在图中的平面直角坐标系画出其函数图像； 当时，二次函数为，其图像如图所示； 当时，二次函数为，其图像如图所示； (2)观察特例中的图像，并结合学习函数的经验，写出二次函数的条特征． (3)【深入探究】对于二次函数，当，时，的最大值与最小值的差为，求的值； (4)将在间的图像记为，若图像与直线有个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析 (2)①二次函数恒过点，；②二次函数的对称轴为直线 (3) (4)且 【分析】 【详解】（1）解：当时，二次函数为， 列表如下： 在如图所示的直角坐标系中描点并连线，其图像如图所示， （2）解：观察图像可得如下条特征： ①二次函数恒过点，； ②二次函数的对称轴为直线； （3）解：∵，， 又∵二次函数的对称轴为直线； ∴当时，最大值， 当时，最小值， ∵的最大值与最小值的差为， ∴， 解得：； （4）解：如图， 当时， 当时，，即， 将代入，解得， 当时，，即， 将代入，解得， 当图像与直线只有个交点时，则 ，整理得， ∴， 解得：， ∴当且时，图像与直线有个交点； 当时，结合图像知：图像与直线只有1个交点，为， 综上所述，若图像与直线有个交点，的取值范围是且． 4．（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【分析】 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 5．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作出的外接圆，并标注圆心．（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，是的外接圆，延长至点，使．连接并延长交于点，过点作，垂足为． 求证：为的切线； 若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求作的的外接圆； （2）证明：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径； 为的切线； 解：如图，连接， 由知，， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， 解得， ． 6．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在菱形中，，点为边上一点，且，，点为上动点，且． (1)求的度数； (2)连接，若，，三点共线，求的长； (3)连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至点使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，即， ∴， ∴， ∵E，G，C三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：∵，， ∴， 如图，延长至，使得，连接，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴ 又∵ ∴四点共圆 ∴， ∵， ∴，，即 ∴ ∴ 由（2）可得 ∴ ∴ 又∵ ∴点在圆弧上运动 设外心为，连接， 如图，过点作于点， ∵ ∴，则 ∴，且在上（）， ∴ 即的半径为，即， 同理可得， 在上取点，使得，连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴在以为圆心为半径的圆上运动， ∵ 连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交于点，则， 在中，， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴． 7．（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 8．（2023·广东深圳·模拟预测）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决 （1）若四边形是菱形，边长为2，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ． 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： （2）如图2，若四边形是正方形，边长为2，点O为中点，点P是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接求： ①与的数量关系； ②求长度的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积． 【答案】（1），1；（2）①，②长度的最小值为1；（3） 【分析】 【详解】解：（1）如图，连接，   四边形是菱形， ， ， 和是等边三角形， ，， ， ， ，， 四边形是菱形，， ， ， 如图，延长交于，则在射线上运动，当，即与重合时，取最小值，   ，， ， ， 的最小值为1， 故答案为：，1； （2）①如图，连接，   四边形为正方形，为的中点， 是等腰三角形， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ； ②延长交于，如图，   ， 在射线上运动，当，即与重合时，取最小值， 四边形为正方形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为1； （3）如图，连接交于点，过点作交于点，   四边形为正方形，， ，，， ，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， 在中，有勾股定理得：， ， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了解直角三角形的相关运算，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、作辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键． 9．（2024·广东·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】（1）；（2）点C，点D，点F三点共线，理由见解析；（3）或 【分析】 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）点C，点D，点F三点共线，理由如下： 连接交于O，过点F作的延长线于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C，点D，点F三点共线； （3）如图，过点A作于G，过点E作于H，则， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴C、D、F在同一条直线上， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， 设，则，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）， ∴； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等，难度较大，涉及知识点较多，解题的关键是正确作出辅助线，综合应用上述知识． 10．（2026·广东广州·一模）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，求的度数为______； (2)延长，交射线于点，当时，求的长； (3)在（1）的条件下，连接交于点，作交的延长线于点，连接．试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值 【分析】 【详解】（1）解：由轴对称的性质可知，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵由关于对称得到， ∴垂直平分， ∴点为的中点，，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 广东广州中考数学24~25题（解答题） 考点1 二次函数的实际应用 1．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学兴趣小组根据某次消防实战演练，发现消防水枪喷出水流呈抛物线形状，并对相关问题进行研究． 【数据收集】 信息1：如图1，以消防水枪喷水口点处为原点建立平面直角坐标系，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为． 信息2：从点处喷出的水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为． 信息3：若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处． （以上信息中，消防水枪喷出的水流均看作一条抛物线形状） 【问题解决】 (1)求此次消防演练中点处喷出的抛物线形状水流的表达式； (2)求信息3中移动距离的值： (3)如图2，此次演练启用无人机协同灭火，无人机喷出的水流受重力作用呈上下边缘均为抛物线形状．如图3，无人机出水口点位于轴上，喷出水流上沿抛物线表达式为，下沿抛物线的表达式为（为出水口点到地面的高度），高楼外墙与轴仍相距．当点沿轴上升至某高度时，是否需要左右移动才能让喷出水流恰好覆盖长的火带处（即两端恰好分别位于水流上沿、下沿抛物线上且）？若需要，请求出移动方向与距离；若不需要，请说明理由． 2．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动． 研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形． 【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，． 【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为． 【建立模型】 (1)请求出抛物线 的解析式； (2)求出圆弧 所在圆的半径； 【应用模型】 (3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 3．（2026·广东珠海·一模）实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作步骤】 步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为． (1)直接写出骨架的长度：_____，_____； 步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线． (2)求过E，F，G三点的二次函数解析式； 步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，． (3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？ 4．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 问题情境：综合实践小组设计并定制了一批以山西景点为背景的环保帆布包，在学校网络义卖平台进行销售，并对销售过程中的数学问题进行了研究． 信息收集：小组同学将销售过程中的数据进行整理、分析，发现此款帆布包的销售额y（元）是销售单价x（元/个）的二次函数，部分相关数据如表所示： 销售单价x（元/个） 14 15 16 17 18 销售额y（元） 504 510 512 510 504 数学建模： (1)通过分析如表中的数据，请直接写出该环保帆布包在销售过程中的最大销售额，并求出销售额y（元）与销售单价x（元/个）之间的关系式； 问题解决： (2)已知每个环保帆布包的成本价为8元， ①若设这批环保帆布包的销售数量为q（个），求销售数量q（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式，并直接写出当销售单价为18元/个时的销售利润； ②求该环保帆布包的销售单价为多少时，销售利润最大？ 5．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【问题背景】 在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果．学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同． 【初步探究】 学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点是音响的最低点，即抛物线的顶点．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标，利用抛物线表达式（其中为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，则此时的值为__________； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系．请你求出和的数量关系，帮小组验证这个猜想； (3)【应用模型】第三小组建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 6．（2026·广东深圳·一模）综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计 【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5米处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)【建立模型】 求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】 求音乐喷泉水池的半径的长； (3)【优化设计】 公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标应该如何改变？设，请求出m和n的函数关系式． ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为1.5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？ 7．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 (1)求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； (2)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 8．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 (1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； (2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； (3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______． 考点2 二次函数的综合 9．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 10．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 11．（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，我们约定： ①不重合的两点与为一对对换点； ②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数． 根据约定，解答下列问题： (1)反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由． (2)若关于x的一次函数是对换函数，则k的值是多少？ (3)对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标． 12．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 13．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 14．（2025·广东广州·一模）已知抛物线的顶点为，点在抛物线上，直线过点和． (1)求直线的解析式； (2)点为抛物线与直线的唯一交点，连接，记的长度为，若给定一实数，满足恒成立，求的取值范围； (3)已知：任意两正数，，有不等式恒成立． ①若与的乘积为定值，求证：的最小值为，当时，的值最小； ②在（2）的条件下，为直线上的一动点，，连接，．若，运用（3）①证明的结论，求面积的最小值． 15．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C． (1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由； (2)若以线段为直径的圆恰好经过点C． ①求二次函数的表达式； ②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围． 考点3 特殊四边形与圆 16．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，于点，，． (1)填空：________，________． (2)已知点是线段上的动点（不与，两点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到（点，分别与点，对应），且满足，，三点在同一直线上，记此时的旋转角为． ①当是等腰三角形时，求旋转角； ②记的外接圆圆心为点，连接并延长，交直线于点．在点的运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由． 17．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 18．（2026·广东汕头·一模）综合与探究：在数学活动课上，同学们以正方形展开探究活动． 【探究发现】如图①，在正方形中，P为对角线上一动点，连接和，则 发现与始终存在一种数量关系；如图②，若过点P作，则发现始终是一个特殊的三角形． 【提出猜想】猜想一：如图③，当点Q在的延长线上时，以上两个结论成立？ 猜想二：如图④，若点P在对角线延长线上且点Q在的延长线上，以上两个结论依然成立？ 【验证猜想】同学们分小组进行了讨论验证，并证明以上两个猜想结果均成立． 根据以上材料，请你完成下列问题： (1)如图①， 同学们发现与始终存在的一种数量关系是 ； 如图②，始终是一个特殊的三角形，即 ． (2)请你选择图③或图④帮同学们把猜想一或猜想二的证明过程写出来． 【拓展应用】 (3)如图⑤，在正方形中，P为边上任意一点，O为的中点，过点P作于点E，连接，，作的外接圆，若，求外接圆的半径． 19．（2026·广东深圳·模拟预测）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 20．（2025·广东广州·一模）如图，边长为4的正方形的对角线，相交于点，点在对角线上运动（不与点，重合），连接． (1)连接，求的取值范围； (2)为边外侧一点，连接，，，且． ①求证：； ②设外接圆的半径为，连接，，当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式（为自变量）． 21．（2026·广东深圳·一模）定义：在平行四边形中，是平行四边形的对角线，点是平行四边形边上一点，分别连接，若满足，则称点为平行四边形的“共轭连接点”． (1)如图1，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，则___________； (2)如图2，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，，，求的长； (3)如图3，已知在矩形中，矩形的两邻边的之比为，点是矩形的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出___________． 22．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 23．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，．若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连接．当与的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的的长． 考点4 特殊四边形的动点问题 24．（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 25．（2025·广东深圳·三模）（）用数学的眼光观察． 如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，请直接写出的度数为______． （）用数学的思维思考． 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接： ①尺规作图：过点作直线垂直于，其中点在上方，且满足； ②连接，判断三点的位置关系，并说明理由； （）用数学的语言表达． 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长度为______． 26．（2024·广东深圳·一模）如图1，菱形中，，，是边上一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点是的中点，连接．                (1)填空：______，______（用含的代数式表示）； (2)如图2，当，题干中其余条件均不变，连接．求证：． (3)（2）的条件下，连接． ①若动点运动到边的中点处时，的面积为______． ②在动点的整个运动过程中，面积的最大值为______． 27．（2025·广东广州·三模）如图，在菱形中，，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，的度数为___________． (2)延长，交射线于点G，当时，求的长． (3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值． 28．（2026·广东广州·一模）如图1，在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)猜想证明：求证：； (2)类比探究：如图2，若将正方形改为矩形，点E是所在直线上一动点（不与点B，C重合），其中，其他条件不变． ①当点F恰好落在矩形的对角线上时，求的长； ②直接写出点D到点距离的最小值． 29．（2025·广东广州·一模）如图，正方形的边长为，为边上的动点（点不与点，重合），点在上，且． (1)设，求证：； (2)过点作，为垂足，连接，求证：为等腰三角形； (3)若点为边上一动点，且的面积为，当取最小值时，求线段的长． 30．（2025·广东云浮·一模）在矩形中， ，，E 是边上的一个动点，F是边 上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若． 时，将矩形沿折叠后，点C 恰好落在上的点C'处，点B 落在点 处， 交于点 M． ①求折痕的长； ②连接交于点N，求 的值； (2)如图2， ，将矩形沿折叠后，点A、D 的对应点分别是点 、，连接 ，，直接写出 面积的最大值为 ，与 面积的最小值为 ． 31．（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．    (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，直接写出与的大小关系； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 1．（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 2．（2026·广东深圳·一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 3．（2026·广东深圳·二模）综合与探究 关于二次函数，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． (1)【特例研究】当时，二次函数为______，并在图中的平面直角坐标系画出其函数图像； 当时，二次函数为，其图像如图所示； 当时，二次函数为，其图像如图所示； (2)观察特例中的图像，并结合学习函数的经验，写出二次函数的条特征． (3)【深入探究】对于二次函数，当，时，的最大值与最小值的差为，求的值； (4)将在间的图像记为，若图像与直线有个交点，请求出的取值范围． 4．（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 5．（2026·广东深圳·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作出的外接圆，并标注圆心．（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图，是的外接圆，延长至点，使．连接并延长交于点，过点作，垂足为． 求证：为的切线； 若，，求线段的长． 6．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在菱形中，，点为边上一点，且，，点为上动点，且． (1)求的度数； (2)连接，若，，三点共线，求的长； (3)连接，求的最小值． 7．（2026·广东广州·一模）已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 8．（2023·广东深圳·模拟预测）【问题发现】数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：请你帮助解决 （1）若四边形是菱形，边长为2，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，连接，则与的数量关系为 ，长度的最小值为 ． 【类比探究】数学小组对该问题进一步探究，请你帮助解决： （2）如图2，若四边形是正方形，边长为2，点O为中点，点P是射线上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接求： ①与的数量关系； ②求长度的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的基础上，当P是对角线的延长线上一动点时，以为直角边在边的右侧作等腰，，连接，若，，求的面积． 9．（2024·广东·模拟预测）（1）用数学的眼光观察． 如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．求的度数． （2）用数学的思维思考． 如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接．判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； （3）用数学的语言表达． 如图3，在矩形中，，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 10．（2026·广东广州·一模）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，求的度数为______； (2)延长，交射线于点，当时，求的长； (3)在（1）的条件下，连接交于点，作交的延长线于点，连接．试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $