题号猜押09 广东深圳中考数学19题（8大考点，函数解答题）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押09 广东深圳中考数学19题（函数解答题） 考点1 二次函数图像探究 1．（26年广东深圳市34校联考九年级中考二模）综合与探究 关于二次函数，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． (1)【特例研究】当时，二次函数为______，并在图中的平面直角坐标系画出其函数图像； 当时，二次函数为，其图像如图所示； 当时，二次函数为，其图像如图所示； (2)观察特例中的图像，并结合学习函数的经验，写出二次函数的条特征． (3)【深入探究】对于二次函数，当，时，的最大值与最小值的差为，求的值； (4)将在间的图像记为，若图像与直线有个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析 (2)①二次函数恒过点，；②二次函数的对称轴为直线 (3) (4)且 【来源】2026年广东深圳市34校联考九年级中考二模数学试卷（4月） 【分析】（1）先确定，再根据列表、描点、连线的步骤在直角坐标系中画出图像即可； （2）结合图像回答即可； （3）根据二次函数图像与性质确定值的最大值与最小值，再列出方程求解即可； （4）分两种情况：当时；当时，结合图像、函数图像上点的坐标特征及一元二次方程根的判断式求解即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， 列表如下： 在如图所示的直角坐标系中描点并连线，其图像如图所示， （2）解：观察图像可得如下条特征： ①二次函数恒过点，； ②二次函数的对称轴为直线； （3）解：∵，， 又∵二次函数的对称轴为直线； ∴当时，最大值， 当时，最小值， ∵的最大值与最小值的差为， ∴， 解得：； （4）解：如图， 当时， 当时，，即， 将代入，解得， 当时，，即， 将代入，解得， 当图像与直线只有个交点时，则 ，整理得， ∴， 解得：， ∴当且时，图像与直线有个交点； 当时，结合图像知：图像与直线只有1个交点，为， 综上所述，若图像与直线有个交点，的取值范围是且． 2．（26年广东省深圳市宝安区富源学校3月练习）课本内容再探索 课本中研究了二次函数的图象与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图象 图象特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值：当时，有最小值，最小值为2． （当且仅当时，等号成立），． 当时，有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 任取图象上两点，．当时，______③_____．．． 当时，同理可得当时，随的增大而增大． 图象的对称性：图象关于_______②_______对称． ______④______ (1)在①处画出该函数的图象，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整： (3)补全④处的论证图象对称性的过程． 证明：设点为函数图象上任意一点，且点的横坐标为 【答案】(1)见解析，直线 (2)见解析 (3)见解析 【来源】广东省深圳市宝安区富源学校2025-2026学年下学期九年级3月学生数学学习能力评估 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）列表、描点、连线，即可作出函数图像，根据函数图像知函数图像关于直线对称； （2）根据图示求解即可； （3）分别求得横坐标和时的值，得到点和关于直线对称，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 列表如下： 0 1 6 3 2 3 6 描点、连线，函数图像如图所示： 观察图像得：图像关于直线对称． ②处的空格为直线； （2）解：∵图像是任意两点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）证明：任取一个点的横坐标，对应点的坐标为， ∴， 而时，， ∴点和关于直线对称， ∴的图像关于直线对称． 3．（26年广东深圳高级中学九年级数学第三周周末）综合与探究 【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，B是x轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点B作x轴的垂线，记和的交点为P，设点P的坐标为，则y与x具有怎样的关系呢？ 【操作猜想】 (1)数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象． ①数据收集： x … 0 1 2 3 4 … y … 3.25 2 1.25 1 1.25 2 … ②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出y与x的函数图象； ③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的________函数，y与x的关系是________________； 【验证证明】 (2)观察图1，完成下列任务： ①验证：若点B在x轴的正半轴且，求的长，并验证此时点P是否在你所猜想的函数图象上； ②证明：请证明你的猜想． 【联系拓广】 (3)结合上述探究，若x满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出t的值． 【答案】(1)②图见解析；③二次，； (2)①，点在所猜想的函数图象上；②见解析； (3) 【来源】广东深圳高级中学2025-2026学年下学期九年级数学第三周周末练习试卷 【分析】（1）②利用描点法绘制图象； ③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数，再根据表格数据求出顶点坐标，再设二次函数为顶点式，然后代入另外一对数即可求得二次项系数，再代回解析即可； （2）①连接，作，垂足为，设点P的坐标为，先根据垂直平分的性质，得出，结合，可求得，再利用勾股定理定理得到关于的方程求解，从而可得的坐标，再将点的横坐标代入函数表达式求出函数值即可判断； ②先根据点的坐标，表示出、、，再利用勾股定理，得到函数表达式； （3）由解析式可知函数图象开口向上，对称轴为直线，分两种情况讨论：当时和时，用表示出和，再得到关于的方程求解，即可． 【详解】（1）解：②绘制图象： ③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数， ∵当与时的函数值相等， ∴对称轴为直线， 由表格可知，当时，函数值为1， ∴顶点坐标为， 设与的关系式是， 又当时，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：二次，， （2）解：①连接，作，垂足为， 设点P的坐标为， 垂直平分， ， ， ， ， 在中，，即， 解得， ，即， 将代入， 得， 点在所猜想的函数图象上． ②证明：， ， 在中，，即， ． （3）解：， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ①若， 则当时，； 当时，， ， 解得（舍）； ②若， 则当时，； 当时，， ，解得（舍）． 综上所述，． 4．（26年广东深圳市中科实验学校九年级练习测）某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历以下几个学习过程： (1)列表（完成以下表格）： (2)描点并画出函数的图象； (3)根据图象完成以下问题： （）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点、，，则不等式的解集是___________； （）设函数的图象与轴交于、两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（）或；（）①；②或 【来源】广东深圳市中科实验学校2025-2026学年下学期九年级阶段学情自测数学试题 【分析】（）根据函数解析式计算即可； （）描点、连线、画函数图象即可； （）（）根据函数图象解答即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②当时，可知直线与函数的图象恰好有个交点；当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点，利用求出的值即可求解； 本题考查了画二次函数图象，二次函数与不等式，二次函数平移等，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： （2）解：描点、连线、画函数图象如下： （3）解：（）如图， 由图象可知，当或时，函数， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； （）①如图，设直线的解析式为，由表格可知点 ，， 把 和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ②把代入，得， ∴点在直线上， 由函数图象可知，此时直线与函数的图象恰好有个交点， 即； 由图象可知，直线只有向上平移才能与函数的图象恰好有个交点， ∴平移后的直线解析式为， 由，得， 当平移后的直线与抛物线只有个交点时，直线与函数的图象恰好有个交点， 此时， 解得； 综上，当或时，直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点． 考点2 新定义函数 1．（26年广东深圳市外国语学校九年级中考一模）【定义】 在平面直角坐标系中： 【1】对于两点和，若，则称点Q是点P的“等距点”． 【2】对于一点，则称点为点M的“k对称点”，例如，点为点的“1对称点”． 【运用】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，． 在点，，，． ①点______是点的“等距点”． ②点______是点的“2对称点”． ③点______既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． (2)已知点P是直线上的点，记点P的“1对称点”为点Q．若点Q恰好是点P的“等距点”，求此时点P的坐标． (3)已知点A是射线上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线上，点B是点A的“等距点”．点A的“k对称点”为点C．求线段的最小值． 【答案】(1)①；②；③ (2)或 (3)8 【来源】广东深圳市外国语学校2025-2026学年第二学期九年级中考一模测试数学试卷 【分析】（1）①根据“等距点”的定义解答即可；②根据“2对称点”的定义解答即可​； ③根据“等距点”和“2对称点”的定义解答即可． （2）设，则P的“1对称点”为，由是的等距点得，分两种情况分别求解即可． （3）设，由题意得，根据是的等距点，得，解得，则点，，故点的“对称点”为，得出点的轨迹是直线，根据点到直线垂线段最短求出点到直线的垂线段长度即为的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ①满足，符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 故点是点的“等距点”； ②∵，则的对称点坐标为，即，对应​； ③​的2对称点坐标为，即，对应​，验证得，符合等距点定义，即点​既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． （2）解：设，则P的“1对称点”为， 由是的等距点得：， ∴， ∴， 分两种情况：当时，解得：，则； 当时，解得：，则． （3）解：设， 由题意：的横坐标等于的纵坐标，即， 又在上，则， ∵是的等距点， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴点，， ∴点的“对称点”为， ∴点的轨迹是直线， 点到直线的最短距离为垂线段长度：， 即的最小值为． 2．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】(1)①8；②2 (2)4 (3)5或 【来源】广东深圳市福田区红岭教育集团园岭中学2025-2026学年九年级第一次模拟考试数学试卷 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为， 故答案为： ②， ∵， ∴ ∴函数的“最优纵横值”为2 （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得： ∴ ∴ ∵最优纵横值为5， ∴ ∴ （3）解： 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 3．（26年广东省深圳市南山区北京师范大学深圳南山附属学校中学部九年级中考数学第一次模拟考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相同，则称点为“幸运点”，如点，都是“幸运点”． (1)小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：________； (2)小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”．请你帮她求出，的值． (3)在（2）的条件下将抛物线向下平移个单位得到抛物线，若上有两个“幸运点”分别是，（其中）．当时，求出中y的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2)、 (3)故y的最大值与最小值的差为 【来源】2026年广东省深圳市南山区北京师范大学深圳南山附属学校中学部九年级中考数学第一次模拟考试试卷 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数平移问题、二次函数与一元二次方程综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）令直线的函数表达式为，将点，代入，利用待定系数法求解析式即可； （2）由点在抛物线上，可得关于、的方程，根据抛物线与直线仅有一个交点，也可得关于、的方程，由此得出方程组，求解方程组即可； （3）先得出平移后的抛物线的解析式为，再根据“幸运点”求得点，的坐标，得出的取值范围，根据结合二次函数的图像与性质即可求出结果． 【详解】（1）解：令直线的函数表达式为， 将点，代入函数表达式， 得，解得， 故直线的函数表达式为， 故答案为：． （2）解：∵点在抛物线上， 可得， 又∵抛物线与直线仅有一个交点， 故方程只有一个实数解， 方程变形为， 即， 可得方程组，解得， 故、． （3）解：抛物线的表达式为， 结合抛物线与直线， 得方程， 解得或， 故，抛物线的对称轴为直线， 故当，对应函数值最小，此时， 当时，对应函数值最大，此时， ， 故y的最大值与最小值的差为． 4．（26年广东 深圳市宝安区文汇学校九年级数学第3周巩固练习） 对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①④ (2)另一个平衡点为 (3)或 【来源】广东 深圳市宝安区文汇学校2025-2026学年下学期九年级数学第3周巩固练习 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可； 对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可； 对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可. 【详解】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点是“平衡点”． 故答案为：①④； （2）解：将点代入关系式， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为. ∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”， ∴， 即或， 解得或， 则， 所以另一个“平衡点”的坐标是； （3）解：或． ∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”， ∴， ∴或， 即或 当，且时， 解得； 当，且时， 解得． 所以a的取值范围是或． 考点3 函数综合与情景题 1．（26年广东省深圳市南山二外（集团）海德学校初中部一模）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 【答案】(1) (2)米 (3)①米；② 【来源】广东省深圳市南山二外（集团）海德学校初中部2025-2026学年九年级下学期一模数学试题 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与轴的交点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出表达式为，结合图象，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，求出抛物线的函数表达式，分别求出与时，的值，即可求解； （3）①根据题意可得当两物资相撞时，，据此列出方程，解方程即可求解； ②根据题意可得号无人机的运动路径为，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，分别计算出当物资的投放高度与物质的投放高度一致，以及物资的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，号无人机投放物资的水平初速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵，号无人机的速度为：， ∴， 根据图可得：时，， 代入，得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：， 结合题意可得， 当时，， 解得：（负值已舍去）， 当时，， 解得：（负值已舍去）， ∵， 故两物资落点间的水平距离为米． （3）解：①当两物资相撞时，， 即， 解得：， 将代入，得 解得：， 故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为米； ②由（2）可得：物资的落点坐标为，物资的落点坐标为， 将，，代入，得， 整理得：， ∵， 故随的减小而增大， ∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞， 即两个抛物线无交点， 故可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度， 当物资的投放高度与物质的投放高度一致时，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即， 代入，得， 解得：（负值已舍去）， ∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 2．（26年广东省深圳市南山区南山外国语集团）综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计 【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5米处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)【建立模型】 求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】 求音乐喷泉水池的半径的长； (3)【优化设计】 公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标应该如何改变？设，请求出m和n的函数关系式． ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为1.5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？ 【答案】(1) (2)m (3)①②0.6倍；建议见解析 【来源】广东省深圳市南山区南山外国语集团2025—2026学年第二学期三月质量监测 九年级 数学 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，进行求解即可； （3）①设出新的顶点式，待定系数法进行求解即可；②由题意，得到，进而求出的值，求出功率即可，根据功率提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为 将代入解析式，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，（舍） ∴， ∴， 即音乐喷泉的水池半径为． （3）①设新最高点．设新抛物线解析式为，将，代入得， 解得， 故； ②由题意得 ∴， ∴功率比为，即新方案功率是原方案的0.6倍． 建议：虽然新方案的落点更远（5米米），但所需的功率反而降低了（因为喷得更低，能量更多用于水平推进）．建议公园管理者采用新方案，不仅视觉效果更开阔，而且更节能环保． 3．（26年广东深圳市南山实验教育集团九年级一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)球能越过球网，球不会出界，理由见解析 (3) 【来源】2026年广东深圳市南山实验教育集团九年级一模数学试卷 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入，即可求解； （2）根据题意可得，将代入解析式，求得函数值，与比较大小，将代入解析式，求得，将横坐标与比较，即可求解． （3）设的表达式为，点的横坐标为，则，，分别将，代入解析式，求得的值，结合题意，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时， ，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：球能越过球网，球不会出界； 理由：由（1）知，当时，抛物线的表达式为， 米，球网高度为2.24米， ， 当时，， ， 球能越过球网， 当时，， 解得：，， ， ， 球不会出界； （3）解：是与形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米， 设的表达式为， 将点代入，得， 解得：（舍去），， 的表达式为， 设点的横坐标为， 则，， 当时，， 解得：，（舍去）， 当时，， 解得：，（舍去）， ．a 考点4 新定义与图像结合 1．（26年广东省深圳市南山二外集团前海学校一模）综合与探究 【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出反比例函数的的值为______； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； ③求该函数的的值． (3)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 【答案】(1)4 (2)①；②见解析；③16 (3)或3 【来源】广东省深圳市南山二外集团前海学校2025-2026学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的增减性，画二次函数图象，待定系数法求解析式，正确理解新定义是解题的关键． （1）先判断出反比例函数的增减性，再分别求出自变量为1和3时的函数值，从而得到当时，，据此根据极差值的定义求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②根据①所求利用描点法画函数图象即可；③根据解析式判断出函数的增减性，进而求出当时函数值的取值范围即可得到答案； （3）先判断出的增减性，进而求出的最大值和最小值，则可得到的值，再利用待定系数法求出的解析式，根据的等于的求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴； （2）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； ②如图所示函数图象即为所求； ③∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，函数值在时取得最大值，最大值为， ∴当时，， ∴； （3）解：∵函数的图象经过点， ∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大， ∴当时，当时，有最小值，最小为，时，有最大值，最大值为 ∴函数的极差值为：； ∵函数的图象经过点， ∴， 解得，， 当时，， ∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小， ∴当中，当时，有最大值，最大为，时有最小值，最小值为， ∴函数的极差值为， ∵两个函数的相等， ∴， 解得，； 当时，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大， 当时，函数的最小值为， ∵函数的极差值，两个函数的相等， ∴的最大值为， ∴ 当， 解得，，（舍去） ∴， ∴， 解得，， 综上所述，的值为或． 2．（26年广东省深圳市第二学期九年级3月测试）定义：在平面直角坐标系中，如果一个函数的图像关于直线（为常数）对称，我们称这个函数为“函数”．“函数”满足以下性质： ①若点在函数图像上，则点也在这个函数图像上； ②点与点称为一对对应点，对应点的连线段称为对称弦． 例如：函数的图像关于直线（轴）对称，则称它是“函数”，若在它的图像上，则也在它的图像上，线段为它的一条对称弦． (1)在下列关于的函数中，是“函数”的是__________（填序号）； ①；②；③． (2)若关于的函数（为常数）是“（2）函数”，则 ①__________； ②请用描点法在平面直角坐标系下作出的图象． 第一步：列表如下： 0 2 4 6 8 8 6 4 2 0 2 4 6 第二步：请在平面直角坐标系下完成余下作图步骤，并描述函数的增减性___________； ③函数与为常数，相交于两点，在的左边，，求的值； (3)已知关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，试判断该函数在内是否存在长度为3的对称弦？直接写出你的判断__________（填“存在”或“不存在”）． 【答案】(1)②③ (2)①2；②见解析；③； (3)不存在，见解析 【来源】广东省深圳市2025-2026学年第二学期九年级3月测试数学试卷 【分析】题目主要考查新定义函数的理解，反比例函数、一次函数及二次函数的性质，理解题意，熟练掌握运用这些函数的性质是解题关键． （1）根据反比例函数、一次函数及二次函数的图像依次判断即可； （2）①根据题意直接得出结果；②在坐标系中，描点、连线确定函数图象，然后得出增减性即可；③设与x轴交于C点，与y轴交于D点，得出，作轴交于M点，轴交于N点，由图得：，，确定，设，则，确定，，然后求解计算即可； （3）根据题意得出关于对称，确定：，得出抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足，，设对称点为，，解得：或，然后判断即可． 【详解】（1）解：①， 找不到图象关于直线（为常数）对称，不是“函数”； ② 关于直线（轴）对称，是“函数”； ③，对称轴为， 关于直线对称，是“函数”； 故答案为：②③； （2）①∵关于的函数（为常数）是“（2）函数”， ∴函数关于对称， ∴， 故答案为：2； ②函数图象如图所示： 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； ③由①得， 设与x轴交于C点，与y轴交于D点， 当时，，当时，， ∴， 作轴交于M点，轴交于N点， 由图得：， 由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）∵关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”， ∴关于对称， ∴， 解得：， ∴抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标满足， ∵长度为3的对称弦， ∴， 设对称点为，， ∴， 解得：或， 当时，，不符合题意； ，不符合题意； ∴该函数在内不存在长度为3的对称弦， 故答案为：不存在． 考点5 二次函数折叠 1．（26年广东省深圳市龙华区实验学校练习）一片心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成． (1)如图1，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D 的坐标． (2)如图1，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度的长． (3)兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次．函数 图象的一部分，如图2，幼苗叶片下方轮廓线正好对应（1）中的二次函数．若直线与水平线的夹角为，三天后，点D 长到与点 P 同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上（如图3所示）．求此时一片幼苗叶子的长度． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点D 的坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合、一次函数与几何综合、轴对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）先求出得到，再求出可得，由对称性可得，证明是等腰直角三角形，求出，则； （3）先求出直线的解析式为，进而求出，同理可求出直线的解析式为，则，求出抛物线解析式为，进而求出，如图：作交延长线于点H，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）解：把代入得： ∴， ∴抛物线解析式为 ∴顶点D 的坐标为； （2）解：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是叶片上的一对对称点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （3）解：∵直线与水平线的夹角为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得，． ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴， 同理可求出直线的解析式为：， ∴， 把代入， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 联立，解得：． ∵幼苗是越长越展开， ∴不合题意，舍去 ∴， 如图：作交延长线于点H， ，即叶片的长度为． 2．（26年深圳市光明区模拟卷）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）令，解方程即可得解； （2）由二次函数知，其对称轴为直线，故设设点，则点，点，则，，由得，即可求解； （3）如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，进而求解． 【详解】（1）解：令 ∴， 则或， ∴点、； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点，则点，点， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ； （3）解：如图，抛物线经过、，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”， 只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时． 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，， 所以． 3．（26年深圳市公明中学练习）如图，抛物线经过点． (1)求的值． (2)将图中抛物线在轴右侧部分沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为图象，如图，直接写出图象对应的函数解析式． (3)点在图象上，其横坐标为． 点为坐标原点，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，直接写出的取值范围． 点在图象上，其横坐标为．当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或.②或. 【分析】（1）把代入，解方程即可； （2）当时，的图象不变，可得解析式不变，当时，图象与的图象关于x轴对称，可得，整理可得答案； （3）①分当和时，找出满足条件的最值，结合图象即可得出结论； ②如图，过抛物线的顶点作轴的平行线交图象于，当点在上、点在上时，或当点在上、点在上时，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴抛物线解析式为， 则当时，； 当时，，即， ∴图象对应的函数解析式为； （3）解：I.当时，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值在点，即时，是最大值， 最小值在点，即时，是最小值， 依题意得：，解得：， （不合题意舍去）； II.当时，，即当，是最小值， 当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时， 即最大值为0，最小值为时，满足题意， ∴，解得或， ∴当时，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，的取值范围是， 综上所述：当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，或. ②当图象在两点之闻的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，即函数的最值与端点值无关， 故满足题意的函数的最小值为当时，，最大值为时，， 当点在上、点在上时，， 解得：； 当点在上、点在上时，， 解得：； 综上所述：当图象在两点之闻的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，的取值范围为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的图象与性质，不等式组的解法，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 考点6 二次函数平移、对称 1．（26年广东深圳市可园学校九年级下练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点O，A． (1)线段的长度为________； (2)将函数的图象沿x轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点A在点B的左边时，函数，的图象交于点P，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数，的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，，，，请判断．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)12 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数与{x}轴及直线交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据解析式求出点坐标即可得解； （2）由轴对称图形可得平移后图象为轴对称图形，且对称轴经过点，据此求解即可； （3）分类讨论，当直线在点上方或者下方，然后根据平移距离为6，建立等式或不等式求解即可． 【详解】（1）解：令得，或4， ， ， 故答案为：4； （2）解：∵平移前后图像均是轴对称图形， ∴整体为轴对称图形，对称轴经过点P． ∵，，∴． ∵点P在的图像上∴ ∴． （3）存在，最大值为12． 当直线位于点P上方时，根据平移的性质可得，． ∵，∴，， ∴，． ∴． 当直线位于点P下方时， 根据平移的性质可得， ∴． 综上． 所以存在最大值12． 2．（25-26年广东深圳市平湖外国语学校周测）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）t的取值为2或． 【分析】（1）由关于中心对称的两点：横坐标与纵坐标均互为相反数，即可求得点A的坐标；利用中点坐标公式可分别求出点B、点C的坐标； （2）①求出抛物线的顶点坐标，求出顶点坐标关于点M的坐标，即可求出对称的抛物线解析式； ②先求出的顶点坐标及平移后的顶点坐标，则可求得关于M对称的点的坐标，并把它代入，求得b的值，即可求解； （3）求出的解析式，分，及三种情况考虑，结合二次函数的增减性质即可求解． 【详解】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为； 设点B关于对称的点的坐标为，则有， 则，即点B关于对称的点的坐标为； 同理可求得点C关于点对称的点的坐标为； 故答案为：，； （2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：， 化为一般式为：； 故答案为：； ②，其顶点坐标为， 此点平移后的坐标为， 把代入中，得：， 解得：，即， ∴的顶点坐标为， 由中点公式得：， ∴； （3），其顶点坐标为， 它关于M的对称点的坐标为， ∴的解析式为：；其最大值为； 当时，；当时，； 当时，在时，函数值随自变量的增大而减小， 最大值为，最小值为， 由题意得：，解得； 当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或， 由题意得：或， 解得：或， 它们均不符合题意； 当时，在时，函数值随自变量的增大而增大， 最小值为，最大值为， 由题意得：，解得：； 综上，t的取值为2或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，关于点的对称性质，点的平移，中点坐标公式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（26年广东深圳市模拟卷）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)m的值为； (3)． 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点代入求得c的值即可； （2）先求出点平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值； （3）根据二次函数的开口方向，对称轴分、、三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为求n的范围即可． 【详解】（1）解：已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线， ， ， 将点A的坐标代入得： ， ， 该二次函数的表达式为； （2）解：根据题意，点平移后的点的坐标为， 点平移后恰好落在抛物线上， ， 解得：舍去或， 即m的值为； （3）解：抛物线开口向下且对称轴为直线， 当时，分三种情况求最值： ①当时， 当时，， 当时，函数取得最小值， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， 时，函数取得最小值， ， 不合题意，舍去； ③当时， 时，， 时，函数取得最小值， 该二次函数的最大值与最小值的差为， ， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当 考点7 反比例函数 1．（25-26年广东深圳市龙岗区二模考前练习）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论． 小龙：如图1，直线与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到． 【轻松探究】 直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，试证明：． 小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可． 请完整的写出上述推理过程． 【深入探究】 直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由． 【模型应用】 如图3，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点．连接．若的面积为，求的值． 【答案】轻松探究：见解析；深入探究：成立，理由见解析；模型应用：15． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： 轻松探究：联立两函数解析式得到，则，再求出，，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系证明即可； 深入探究：仿照轻松探究证明即可； 模型应用：先求出，，则，可证明是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，由反比例函数比例系数的几何应用可得． 【详解】解：轻松探究：联立得， ， 在中，令，则， 又∵， ， ∴线段的中点与线段的中点重合 ， ； 深入探究：仍然成立，理由如下： 联立 ， ， 在中，令，则， 又∵ ， ∴线段的中点与线段的中点重合 ， ； 模型应用：在中，令，则；令，则， ∴， 是等腰直角三角形， ∴ 过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形， 由前面可知， ， ∴， ， ， ， ． 2．（25-26年广东深圳市九年级开学考检测）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． （2）解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 考点8 几何f问题与函数图像 1．（26年广东深圳市九年级1月期末测试）[问题提出] 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． [问题探究] （1）如图1，当点从点运动到点时， ①用含的代数式表示的长：_____； ②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1．5 2 表中的值为_____，的值为_____； （2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式； [问题解决] （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 【答案】（1）①；②；的值为1.5；的值为0；图象见解析；（2）；（3）． 【分析】本题为四边形综合题，涉及到二次函数的图象和性质、函数表达式的求法、函数作图，确定函数表达式是解题的关键． （1）①由即可求解； ②由题意得：即可求解，通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象即可求解； （2）对比（1）②分类讨论利用即可求解； （3）由函数的对称性得：，当时，即，由题意得和时，函数值相等，即可求解． 【详解】(1)① ， ∴， 故答案为：． ②由题意得：， 当， 当， 故答案为：． 通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下： （2）当点运动到线段的延长线上时， ； 故答案 ：． （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，时长设为对应的矩形面积均相等， 如图：由函数的对称性得：， 当时，即，     设， 则， 由题意得，和时，函数值相等， 故， 整理得：， 解得：， 则， 即矩形的面积． 2．（25年深圳市34校联考二模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 【答案】(1)， (2)当时，面积差的最大值为 (3)的值为或 【来源】广东深圳市南山区深圳湾学校2025-2026学年度第二学期第一次模拟测试九年级数学学科试题 【分析】（1）根据题意表示出，，然后利用矩形面积公式分别求解即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； （3）解：水池1与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 或， 解得，或． 1．（25-26广东省深圳市福田区石厦学校九年级下学期第一次质量监测）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【来源】广东省深圳市福田区石厦学校2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 2．(25-26广东省深圳市育才教育集团九年级下学期第一次质量监测数学)综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 (1)求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； (2)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 【答案】(1)，； (2)①图象见解析；②最多可以抛个，说明见解析； (3) 【来源】广东省深圳市育才教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次质量监测数学试题 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握好二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合解题． （1）根据抛物线图象，设抛物线的解析式为：，代入顶点坐标，求出抛物线解析式，对比，即可得到； （2）①按规律绘制函数图象；②通过求出第一个小球落回时间，结合抛球间隔求抛出小球个数； （3）分别列出第一个小球和第个小球相遇时，高度相等，即可． 【详解】（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点 ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过原点 ∴ 解得： ∴ ∵抛物线， ∴， ∴与对比，可得， ∴抛物线的解析式为：，米/秒． （2）解：①图象如下： ②最多能抛出个小球，说明如下： 由函数图象可得，当时，即， ∴，， ∴， ∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个． （3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为， 当秒后两球相遇，高度相等， ∴ 化简得：， ∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：． 3．(25-26年广东深圳市民治中学教育集团下学期九年级第一次）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【来源】广东深圳市民治中学教育集团2025-2026学年下学期九年级第一次数学素养练习试卷 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 4．（2025--2026学年广东省深圳宝安中（集团）校初中部九年级数学第3周）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为函数的“最优纵横差” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横差”为．函数的图象上所有点的“纵横差”可以表示为．当时，的最大值为，故函数的“最优纵横差”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横差”为______； (2)已知二次函数． ①求证：无论b取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值； ②当时，此二次函数的“最优纵横差”为4，求出b的值； ③若此函数的顶点记为点M，它的“最优纵横差”对应的点记为点N，点M与点N到直线的距离相等，直接写出b的值______． 【答案】(1) (2)①见解析；②的值为或；③． 【来源】广东省深圳宝安中（集团）校初中部2025--2026学年下学期九年级数学第3周练习试卷 【分析】（1）根据题干中的“纵横差”的定义计算即可； （2）①根据“最优纵横差”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为5； ②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值； ③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横差”为. （2）解：①∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为5； ②∵， ∴当时，有最大值5， ∴当时，二次函数的“最优纵横差”为5，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：或（舍）； 当时，， 解得（舍）或； 综上，的值为或； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵点与点到直线的距离相等， ∴点与点关于直线对称或， 当点与点关于直线对称时，，即， 解得； 当时，， 此时方程无解； 综上，的值为． 5．（2025-2026学年广东深圳市宝安区富源学校九年级下学期三月）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． (1)已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； (2)判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图1，设函数的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； (4)如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，“互反点”的坐标为 (3) (4)或． 【来源】广东深圳市宝安区富源学校2025-2026学年九年级下学期三月学情调研数学试题 【分析】本题考查了函数新定义“互反点”的应用、二次函数解析式求解、函数交点问题、图形翻折变换及方程根的范围分析，解题的关键是理解“互反点”即横坐标与纵坐标互为相反数（），将问题转化为函数与直线的交点问题，结合函数定义域、翻折性质分析交点个数． 【详解】（1）解：∵点、在上， ∴， 解得，， ∴解析式为． 答：二次函数的解析式为． （2）解：联立，得，解得，， ∴存在“互反点”，坐标为． 答：存在，“互反点”的坐标为． （3）解：对，联立，得， 解得（舍去）， ∴． 对，联立，得， 解得，， ∴， ， ∵，化简得， 解得（另一解舍去）． 答：的值为． （4）解：，翻折后 ①联立与，得，解得或； ②联立与，得，判别式 当时，无交点，有2个交点，总数为2； 当时，有1个交点，有1个交点，总数为2． 故答案为：或． 6．（2025-2026学年广东深圳市罗湖区桂园中学九年级下学期质量检测）【情境与问题】 在研究二次函数时，小明得到了下表： … 0 1 2 3 4 … … 33 19 9 3 1 3 9 19 33 … 观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？ 【探索与发现】 如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如下图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如下图）． （1）写出n与t间的函数关系式为________； （2）小明发现：为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【联系与拓展】 （3）①t为何值时，的值最大？ ②若二次函数在，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且，则________． 【答案】（1）；（2）正确，证明见解析；（3）①当时，的值最大；②． 【来源】广东深圳市罗湖区桂园中学2025-2026学年九年级下学期质量检测 数学试卷 【分析】（1）根据题意可知，函数值对应的自变量为，据此解答即可； （2）根据题意，令，则，，，将其代入进行计算即可； （3）①将和，代入进行计算即可；②根据题意可知，，，，将其代入进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，函数值对应的自变量为， 则， 即n与t间的函数关系式为：． （2）正确，证明如下： 根据题意，令， 则，，， ， 为定值． （3）①由（2）得，， 当时，的值最大； ②根据题意可知，，，， ， ， ． 7．（25-26广东深圳市宝安中学（集团）初中部第二学期九年级）定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如，抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线：的“孪生抛物线”为，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的表达式_____； (2)若点的坐标为，求抛物线的解析式； (3)记在时的最大值为，最小值为，且，请你求出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【来源】广东深圳市宝安中学（集团）初中部2025-2026学年第二学期九年级阶段学情自测数学试卷 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，最值，对称轴直线的计算是解题的关键． （1）根据“孪生抛物线”的定义求解即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数解析式得到顶点坐标，结合与对称轴直线的位置，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据“孪生抛物线”的定义， 可得抛物线表达式为． （2）解：将点的坐标代入 ， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （3）解：抛物线表达式为， 对称轴所在直线为， 当时，， 故顶点坐标为， ∵， ∴，， 当时，即，对、到对称轴的距离进行分类讨论： 当，即时， 时，取最大值，时，取最小值， 故，，代入， 化简得， 解得（舍去），； 当，即时， 时，取最大值，时，取最小值， 故，，代入， 化简得， 解得，（舍去）； 当时，此时、都在对称轴所在直线右边， 当时，取最小值，时，取最大值， 即，， 代入， 化简得， 解得（舍去），（舍去）， 综上，的值为或． 8．（25年广东深圳市三模）在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是_______．    【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2   如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为__________；将点坐标代入，得到n与m的关系式是__________．   如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为_________；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是_________． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由___________决定． 【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 【答案】（1）描点连线见解析，；（2）选择方法一，，，a；（3）或 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． （1）描点连线绘制函数图象即可，再用待定系数法即可求函数表达式； （2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）对于第一个二次函数：，由，得，则第二个二次函数距线段的距离的，进而求解． 【详解】解：（1）描点连线绘制函数图象如下： 由题意得，点， 将点B的坐标代入函数表达式得：： 故答案为：： （2）方案一：点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 则， 方案二：点 将点B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：，则， 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由a决定． （3）由题意知：，由（2）知① 对于抛物线，可知，设 则，即 对于抛物线，设 因为两个函数的顶点之间的距离是10， 所以，即，所以或 当时，代入①式，则有，所以 当时，代入①式，则有，所以 综上，或 9．（26年深圳市南山区二模）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 10．（25-26年广东深圳市龙岗实验学校练习）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 【答案】(1) (2)t的值为4或3 (3)n的值为1或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的解析式，以及与轴的交点，计算即可作答． （2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答． （3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，则①发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． ∴令， ∴ 结合图象，得出 （2）解：如图： ∵点F是直线与抛物线的交点， ∴ 当时， 则， ∴ ∵， ∴ 解得 (舍去)或 当时， 过点作轴于点T ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 解得 (舍去)或 综上所述，t的值为4或3 （3）解：由点C的坐标为， ∵ ∴对称轴 ∵过点C作轴，交抛物线于点G ∴点G的坐标为 如图： 画出直线， 通过平移直线，得到直线 ①发现当直线经过点G时， 直线与新图象只有2个公共点． 将点代入， 得 解得； ②当直线与抛物线只有一个公共点时， 直线与新图象只有2个公共点． 令 化简得 ∴ 解得 综上所述，n的值为1或 11．（26年广东省深圳市龙华区二模练习）【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 【答案】（1）A、B、C三点的坐标分别为：、、；（2）或；（3）． 【分析】（1）对于，令，则或1，则函数的对称轴为直线，则，即可求解； （2）分两种情况讨论，当直线与函数的图象相切时和当直线经过点B时，据此即可求解； （3）根据函数的对称性得：，得到，即可求解． 【详解】解：（1）对于，令，则或1， 则函数的对称轴为直线， 当时，， 则， 故A、B、C三点的坐标分别为：、、； （2）由翻折的性质得，翻折后的抛物线表达式为：， 分两种情况讨论， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得：， 整理得： 则，则， ②当直线经过点B时： 将点B的坐标代入得：，则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得：， ∵，则，即， 设直线l为：， 联立和得：， 则，， 则， 同理可得：， 则， 解得：， 令， 解得：(舍去负值)， 即点． 12．（25-26年广东深圳市南山区创新学校二模练习）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)建立平面直角坐标系如图， 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数是解题的关键． （1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，求出坐标，再由待定系数法求直线的解析式； （3）根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标． 【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为， 当时，， ， ， 平移后， 设直线的解析式为，   ， 解得 ； （3）解：根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵，   ， ， ， ． 13．（25年深圳市三模练习）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 【答案】（1）2；（2）；（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G，解直角三角形求出，，则，当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上，类似（1）可求，设，抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小，此时，设直线解析式为，联立方程组，化简得，根据直线与的图象有唯一的交点，可得出，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H，根据正切的定义可求出，设，则，则，类似（1）求出的解析式为，把代入求出，根据勾股定理得出，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ∴， ∵，， ∴，， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于G， ∵，， ∴，， ∴， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为， 当粒子的轨迹与相切（有唯一交点）时，函数图象为，刚好落在处，此时由于遮挡，粒子无法落到上， 设， ∵经过、、， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 设 ∵经过经过、， ∴设抛物线解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当与在点O处相切时，最小， 此时， 设设直线解析式为， 联立方程组， 化简得， ∵直线与的图象有唯一的交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作于H， ∵， ∴， ∴的解析式为， ∵点P在的图象上，设， 则 ∴当时，有最小值为8， ∴的最小值为． 14．（26年广东深圳市练习）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析 (2)或或 (3)①；② 【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断； （2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案； （3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可； ②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，，当时，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点为直线上的点的“共圆点”； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， 如图，， ∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”， ∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得： 或或， 综上：的坐标为：或或 （3）解：①如图， ∵抛物线为， ∴对称轴为直线，此时， ∴， 设，则， ∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ∴， ∴， 解得：，（舍去），， ∴； ②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点， ∴平移后的抛物线为：， ∴平移后的对应点， 如图，∵关于轴的对称点，连接， ∴， 当三点共线时，， 此时周长最短； 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 15．（26年广东广州市二模）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 【答案】（1）；（2）不能覆盖着火点，理由见解析；（3）点D的横坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）根据题意设所在抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）由题意得，，，求得点，点，设此时抛物线的解析式为，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，据此求解即可； （3）设点，则点，设此时抛物线的解析式为，将代入即可求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意，所在抛物线的顶点坐标为， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴所在抛物线的解析式为，即； （2）不能覆盖着火点，理由如下， 由题意得，，， 对于， 令，则， 解得（舍去）或， ∴点， ∴点， 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与轴的两个交点为和，即和， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点； （3）∵点C在所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即， ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为， 将代入得， 整理得， ∵， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为． 16．（26年广东佛山市二模）深圳市将建全球规模最大的室内滑雪综合体，预计2025年开始正式营业．目前已经修建了如图①所示的室内雪道．根据雪道示意图建立如图②所示的平面直角坐标系．该雪道可近似看成线段，全长410米，且C，D两点水平距离为400米，点D在y轴上，点C在x轴上． (1)则线段的表达式为______． (2)如图③，在试营业期间，邀请了一些滑雪运动员来进行滑雪训练．若小恒在训练过程中，不借助任何外力，从起滑台A处起滑，在助滑道上加速至B处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上继续向C点滑行．其中空中轨迹段可近似看作抛物线．已知当他从B处跃出的水平距离为5米时，会达到离水平地面的最大高度95米．已知段轴，长度为2米．求抛物线的表达式． (3)如图③，在雪道两旁每间隔一定的距离安装高度为1.8米的旗杆，两根旗杆之间的水平距离为1.5米．在（2）的条件下，若此次滑雪训练评分细则规定：运动员从B处腾空跃起后经过第6根旗杆时，运动员此时的位置（身高忽略不计）在旗杆上方就能得到满分．请你通过计算判断小恒在该项训练中是否能得到满分． 【答案】(1) (2) (3)小恒在该项训练中不能得到满分，见解析 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）求出点，利用待定系数法即可求出答案； （2）由题意得，抛物线BEF的顶点E为，与y轴的交点B为，设抛物线的解析式为，求出，即可求出答案； （3）求出第六根杆的水平距离，将代入得，即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可得，在中，， ∴， ∴点 设直线的表达式为，则 ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由题意得，抛物线的顶点E为，与y轴的交点B为， 设抛物线的解析式为， 将代入上述抛物线解析式，得， ∴抛物线的解析式为， 化为一般式为； （3）解：第六根杆的水平距离， 令， 将代入，得， ∴小恒在该项训练中不能得到满分 17．（2025-2026学年广东深圳市盐田区实验学校九年级下学期数学第四周）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)保护网（线段）的长度至少为9米； (3) 【来源】广东深圳市盐田区实验学校2025-2026学年九年级下学期数学第四周周末作业 【分析】（1）过点F作轴，过点E作，先求出，，然后用待定系数法即可求解； （2）由平行于x轴，点N的坐标为，得出点M纵坐标为，代入解析即可得解； （3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过，然后分再经过，两种情况，讨论即可得解； 【详解】（1）解：过点F作轴于，过点E作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点F的坐标为， ∵，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵抛物线y轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将点和点代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵平行于x轴，点N的坐标为， ∴点M纵坐标为， 当时，代入抛物线解析式得， 解得：（舍去），， ∴，即保护网（线段）的长度至少为9米； （3）解：由（1）知：，，， ∵发射点F不变， ∴抛物线一定经过， ∴当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， 当抛物线经过，时， 代入得， ∴ ， ∵抛物线必经过平台， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押09 广东深圳中考数学19题（函数解答题） 考点1 二次函数图像探究 1．（26年广东深圳市34校联考九年级中考二模）综合与探究 关于二次函数，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． (1)【特例研究】当时，二次函数为______，并在图中的平面直角坐标系画出其函数图像； 当时，二次函数为，其图像如图所示； 当时，二次函数为，其图像如图所示； (2)观察特例中的图像，并结合学习函数的经验，写出二次函数的条特征． (3)【深入探究】对于二次函数，当，时，的最大值与最小值的差为，求的值； (4)将在间的图像记为，若图像与直线有个交点，请求出的取值范围． 2．（26年广东省深圳市宝安区富源学校3月练习）课本内容再探索 课本中研究了二次函数的图象与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图象 图象特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值：当时，有最小值，最小值为2． （当且仅当时，等号成立），． 当时，有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 任取图象上两点，．当时，______③_____．．． 当时，同理可得当时，随的增大而增大． 图象的对称性：图象关于_______②_______对称． ______④______ (1)在①处画出该函数的图象，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整： (3)补全④处的论证图象对称性的过程． 证明：设点为函数图象上任意一点，且点的横坐标为 0 1 6 3 2 3 6 3．（26年广东深圳高级中学九年级数学第三周周末）综合与探究 【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，B是x轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点B作x轴的垂线，记和的交点为P，设点P的坐标为，则y与x具有怎样的关系呢？ 【操作猜想】 (1)数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象． ①数据收集： x … 0 1 2 3 4 … y … 3.25 2 1.25 1 1.25 2 … ②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出y与x的函数图象； ③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的________函数，y与x的关系是________________； 【验证证明】 (2)观察图1，完成下列任务： ①验证：若点B在x轴的正半轴且，求的长，并验证此时点P是否在你所猜想的函数图象上； ②证明：请证明你的猜想． 【联系拓广】 (3)结合上述探究，若x满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出t的值． 4．（26年广东深圳市中科实验学校九年级练习测）某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历以下几个学习过程： (1)列表（完成以下表格）： (2)描点并画出函数的图象； (3)根据图象完成以下问题： （）数学小组探究发现直线与函数的图象交于点、，，则不等式的解集是___________； （）设函数的图象与轴交于、两点（位于的右侧），与轴交于点． ①求直线的解析式； ②探究应用：将直线沿轴平移个单位后与函数的图象恰好有个交点，求此时的值． 考点2 新定义函数 1．（26年广东深圳市外国语学校九年级中考一模）【定义】 在平面直角坐标系中： 【1】对于两点和，若，则称点Q是点P的“等距点”． 【2】对于一点，则称点为点M的“k对称点”，例如，点为点的“1对称点”． 【运用】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，． 在点，，，． ①点______是点的“等距点”． ②点______是点的“2对称点”． ③点______既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． (2)已知点P是直线上的点，记点P的“1对称点”为点Q．若点Q恰好是点P的“等距点”，求此时点P的坐标． (3)已知点A是射线上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线上，点B是点A的“等距点”．点A的“k对称点”为点C．求线段的最小值． 2．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 3．（26年广东省深圳市南山区北京师范大学深圳南山附属学校中学部九年级中考数学第一次模拟考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相同，则称点为“幸运点”，如点，都是“幸运点”． (1)小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：________； (2)小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”．请你帮她求出，的值． (3)在（2）的条件下将抛物线向下平移个单位得到抛物线，若上有两个“幸运点”分别是，（其中）．当时，求出中y的最大值与最小值的差． 对于平面直角坐标系中的点，若x，y满足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 考点3 函数综合与情景题 1．（26年广东省深圳市南山二外（集团）海德学校初中部一模）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 2．（26年广东省深圳市南山区南山外国语集团）综合与实践：公园里的“音乐喷泉”设计 【背景介绍】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5米处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)【建立模型】 求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】 求音乐喷泉水池的半径的长； (3)【优化设计】 公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标应该如何改变？设，请求出m和n的函数关系式． ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为1.5米，新方案的最高点高度为h米，且新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？根据计算结果，你会给公园管理者提出什么建议？ 3．（26年广东深圳市南山实验教育集团九年级一模）综合与实践 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯．自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一．某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练． 如图，小明站在点处练习发球，他将球从点正上方的点处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点到轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点高出1米，已知排球场的边界点距点的水平距离米，球网高度为2.24米，米． (1)已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（米），求排球运动路径的抛物线解析式． (2)判断此时排球能否越过球网？排球是否出界？请说明理由． (3)若小明调整起跳高度，使球在点处落地，此时形成的抛物线记为，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与形状相同的抛物线，且此时排球运行的最大高度为1米．球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐，其纵切面为直角梯形，其中米，米，米．若排球经过向右反弹后沿的路径落入回收筐内（球下落过程中碰到点，均视为落入框内），设点的横坐标为，请求出的取值范围． 考点4 新定义与图像结合 1．（26年广东省深圳市南山二外集团前海学校一模）综合与探究 【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出反比例函数的的值为______； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； ③求该函数的的值． (3)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 2．（26年广东省深圳市第二学期九年级3月测试）定义：在平面直角坐标系中，如果一个函数的图像关于直线（为常数）对称，我们称这个函数为“函数”．“函数”满足以下性质： ①若点在函数图像上，则点也在这个函数图像上； ②点与点称为一对对应点，对应点的连线段称为对称弦． 例如：函数的图像关于直线（轴）对称，则称它是“函数”，若在它的图像上，则也在它的图像上，线段为它的一条对称弦． (1)在下列关于的函数中，是“函数”的是__________（填序号）； ①；②；③． (2)若关于的函数（为常数）是“（2）函数”，则 ①__________； ②请用描点法在平面直角坐标系下作出的图象． 第一步：列表如下： 0 2 4 6 8 8 6 4 2 0 2 4 6 第二步：请在平面直角坐标系下完成余下作图步骤，并描述函数的增减性___________； ③函数与为常数，相交于两点，在的左边，，求的值； (3)已知关于的二次函数（b，c为常数）是“（4）函数”，试判断该函数在内是否存在长度为3的对称弦？直接写出你的判断__________（填“存在”或“不存在”）． 考点5 二次函数折叠 1．（26年广东省深圳市龙华区实验学校练习）一片心形叶子、刚生长出的幼苗的部分轮廓线，可以近似的看作由抛物线的一部分沿直线折叠而成． (1)如图1，为了确定一片心形叶子的形状，建立平面直角坐标系，发现心形叶子下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求这个抛物线的表达式及顶点D 的坐标． (2)如图1，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处的宽度的长． (3)兴趣小组同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线也可以看作是二次．函数 图象的一部分，如图2，幼苗叶片下方轮廓线正好对应（1）中的二次函数．若直线与水平线的夹角为，三天后，点D 长到与点 P 同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上（如图3所示）．求此时一片幼苗叶子的长度． 2．（26年深圳市光明区模拟卷）如图，已知二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)如图2，二次函数（是常数，且）的图象为，图象中位于轴右侧的部分作关于轴的对称图象，该对称图象记为图象．若直线：（是常数）交图象于点，（点在点的右侧），并与图象交于点，若，求与的数量关系； (3)抛物线的图象与轴分别交于，两点，将抛物线沿轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求的取值范围． 3．（26年深圳市公明中学练习）如图，抛物线经过点． (1)求的值． (2)将图中抛物线在轴右侧部分沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为图象，如图，直接写出图象对应的函数解析式． (3)点在图象上，其横坐标为． 点为坐标原点，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，直接写出的取值范围． 点在图象上，其横坐标为．当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 考点6 二次函数平移、对称 1．（26年广东深圳市可园学校九年级下练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点O，A． (1)线段的长度为________； (2)将函数的图象沿x轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点A在点B的左边时，函数，的图象交于点P，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数，的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，，，，请判断．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 2．（25-26年广东深圳市平湖外国语学校周测）（1）特殊情况，探索结论： 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ 在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是_____ （2）特例启发，引发思考： 点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢? 定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”． ①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式_____； ②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标； （3）拓展结论，思维提升： 已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值． 3．（26年广东深圳市模拟卷）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 考点7 反比例函数 1．（25-26年广东深圳市龙岗区二模考前练习）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论． 小龙：如图1，直线与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到． 【轻松探究】 直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，试证明：． 小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可． 请完整的写出上述推理过程． 【深入探究】 直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由． 【模型应用】 如图3，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点．连接．若的面积为，求的值． 2．（25-26年广东深圳市九年级开学考检测）直线与双曲线交于点，交y轴于点． (1)求k，m的值； (2)如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 考点8 几何f问题与函数图像 1．（26年广东深圳市九年级1月期末测试）[问题提出] 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． [问题探究] （1）如图1，当点从点运动到点时， ①用含的代数式表示的长：_____； ②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1．5 2 表中的值为_____，的值为_____； （2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式； [问题解决] （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 2．（25年深圳市34校联考二模）【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 1．（25-26广东省深圳市福田区石厦学校九年级下学期第一次质量监测）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 2．(25-26广东省深圳市育才教育集团九年级下学期第一次质量监测数学)综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 (1)求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； (2)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 3．(25-26年广东深圳市民治中学教育集团下学期九年级第一次）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 4．（2025--2026学年广东省深圳宝安中（集团）校初中部九年级数学第3周）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为函数的“最优纵横差” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横差”为．函数的图象上所有点的“纵横差”可以表示为．当时，的最大值为，故函数的“最优纵横差”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横差”为______； (2)已知二次函数． ①求证：无论b取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值； ②当时，此二次函数的“最优纵横差”为4，求出b的值； ③若此函数的顶点记为点M，它的“最优纵横差”对应的点记为点N，点M与点N到直线的距离相等，直接写出b的值______． 5．（2025-2026学年广东深圳市宝安区富源学校九年级下学期三月）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”． (1)已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； (2)判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图1，设函数的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求n的值； (4)如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线l翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． 6．（2025-2026学年广东深圳市罗湖区桂园中学九年级下学期质量检测）【情境与问题】 在研究二次函数时，小明得到了下表： … 0 1 2 3 4 … … 33 19 9 3 1 3 9 19 33 … 观察上表，自变量x从左到右依次取连续的整数，若保持这一规律不变，继续扩展表格，那么，表格中的数据间会有什么特殊规律吗？ 【探索与发现】 如上表，用一个倒“T”形的套色方框（如下图）框住了表格中的四个数，若将套色方框左右移动，可框住另外四个数．设四个数中，上面的数为t，下面三个数从左到右依次为l，m，n（如下图）． （1）写出n与t间的函数关系式为________； （2）小明发现：为定值．小明的发现正确吗？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【联系与拓展】 （3）①t为何值时，的值最大？ ②若二次函数在，2028，2030时的函数值分别为p，q，r，且，则________． 7．（25-26广东深圳市宝安中学（集团）初中部第二学期九年级）定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如，抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线：的“孪生抛物线”为，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的表达式_____； (2)若点的坐标为，求抛物线的解析式； (3)记在时的最大值为，最小值为，且，请你求出的值． 8．（25年广东深圳市三模）在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米． 【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点． 猜想：n与m的关系式是_______．    【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2   如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为__________；将点坐标代入，得到n与m的关系式是__________．   如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为_________；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是_________． 结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由___________决定． 【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值． 9．（26年深圳市南山区二模）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 10．（25-26年广东深圳市龙岗实验学校练习）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． (3)如图2，过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象只有2个公共点时，请求出n的值． 11．（26年广东省深圳市龙华区二模练习）【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 12．（25-26年广东深圳市南山区创新学校二模练习）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标． 13．（25年深圳市三模练习）如何设置挡板？ 如图①，点在直线上，现有一台粒子发射器在处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在上．若在直线上的点处有一块挡板，，，由于挡板的遮挡，使得直线上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若，，则_________． 【数学思考】 （2）如图③，若，，建立适当的平面直角坐标系，求的值． 【问题解决】 （3）如图，是直线上一点，是的中点，现要使发射的粒子能覆盖段的每一处，且落不到段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出最小时的的值； （Ⅱ）直接写出挡板的长的最小值． 14．（26年广东深圳市练习）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 15．（26年广东广州市二模）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． （1）求所在抛物线的函数解析式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙的交点为，请直接写出点D的横坐标． 16．（26年广东佛山市二模）深圳市将建全球规模最大的室内滑雪综合体，预计2025年开始正式营业．目前已经修建了如图①所示的室内雪道．根据雪道示意图建立如图②所示的平面直角坐标系．该雪道可近似看成线段，全长410米，且C，D两点水平距离为400米，点D在y轴上，点C在x轴上． (1)则线段的表达式为______． (2)如图③，在试营业期间，邀请了一些滑雪运动员来进行滑雪训练．若小恒在训练过程中，不借助任何外力，从起滑台A处起滑，在助滑道上加速至B处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上继续向C点滑行．其中空中轨迹段可近似看作抛物线．已知当他从B处跃出的水平距离为5米时，会达到离水平地面的最大高度95米．已知段轴，长度为2米．求抛物线的表达式． (3)如图③，在雪道两旁每间隔一定的距离安装高度为1.8米的旗杆，两根旗杆之间的水平距离为1.5米．在（2）的条件下，若此次滑雪训练评分细则规定：运动员从B处腾空跃起后经过第6根旗杆时，运动员此时的位置（身高忽略不计）在旗杆上方就能得到满分．请你通过计算判断小恒在该项训练中是否能得到满分． 17．（2025-2026学年广东深圳市盐田区实验学校九年级下学期数学第四周）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点的坐标为，，，，，． (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，点的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________； (2)在（1）的条件下，若点的坐标为，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米； (3)设该抛物线的表达式为，若抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上（即抛物线与线段有交点），请直接写出的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $