专题03 概率客观题13种常考重点题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 以13种常考题型为框架，系统覆盖概率基础概念、事件关系及综合应用，注重知识逻辑递进与题型针对性突破，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题型（随机事件、概率与频率）|以辨析与简单计算为主，考查样本空间构建及频率与概率关系|从具体试验抽象概念，建立概率认知基础| |概率计算|2题型（古典概型、有放回与无放回）|结合实际情境计算概率，涉及排列组合应用|承接基础概念，通过不同抽样方式深化概率计算逻辑| |事件关系|7题型（互斥对立独立等辨析及公式应用）|多以选择判断呈现，融合事件运算与概率公式|构建事件关系网络，形成从辨析到公式应用的推理链条| |综合应用|2题型（跨章节融合）|结合频率分布直方图等，考查知识迁移能力|体现概率与统计融合，发展数据观念与应用意识|

专题03 概率客观题13种重点常考题型 题型一：随机事件和样本空间 题型二：概率与频率的关系 题型三：古典概型的计算及其应用 题型四：有放回与无放回的问题 题型五：互斥事件与对立事件的辨析 题型六：事件的运算及其含义 题型七：互斥事件的概率加法公式的应用 题型八：利用对立事件的概率公式求概率 题型九：独立事件的判断 题型十：独立事件与互斥事件、对立事件的辨析 题型十一：独立事件的乘法公式及其应用 题型十二：相互独立事件与互斥事件、对立事件融合应用 题型十三：互斥事件和独立事件与其他章节的融合 题型一：随机事件和样本空间 1．抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本事件的定义，列举即可． 【解析】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序， 则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）． 故选：C. 2.将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出样本点个数. 【解析】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 3.从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 【答案】6 【分析】根据要求一一列举即可. 【解析】该试验的结果中，含a的有；不含a，含b的有； 不含a，b，含c的有；， 即该试验的样本点数为6. 故答案为：6 4.已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动，抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M包含的样本点，则=______________； 【答案】答案见解析 【分析】利用分层抽样的定义结合已知条件求解即可，根据题意利用列举法求解 【解析】由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为， 又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学． 故应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． ，，，，，，，，，，，，，，，共含有15个样本点． 题型二：概率与频率的关系 5．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（  ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【分析】根据概率与频率的关系判断. 【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B. 6.下列说法正确的是（  ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【解析】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D. 7.（多选）下列说法正确的是（  ） A.频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； B.做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； C.含百分比的数是频率，但不是概率； D.频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； 【答案】AD 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【解析】根据频率与概率的定义，可知A正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此B错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此C错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确． 故选：AD. 8.（多选）下列命题不正确的是（  ） A．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 B．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 C．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【答案】ABC 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【解析】对于A，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，A错误； 对于B，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动， 并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05， 则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，B错误； 对于C，100次并不是无穷多次， 只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故C错误； 对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确. 故选：ABC. 9.在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 . 【答案】0.14 【分析】根据频率分布直方图求出，据此可求解. 【解析】由题知： 故该地区这种疾病 故答案为：0.14 题型三：古典概型的计算及其应用 10．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 故选：D. 11.从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（  ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【解析】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且， 则， 设事件A：取出的两个不同的数的和为5， 则，则， ， ∴. 故选：D. 12.春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，列举出所有情况，和至少有一个在八月的情况，从而求出概率. 【解析】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为， 4个节气中任选2个节气，有以下情况，， 共6种情况， 其中这2个节气至少有一个在八月的情况有， 共5种情况，所以这2个节气至少有一个在八月的概率为. 故选：C. 13.在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【解析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 14.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 【解析】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为 （上，中，下），（上，下，中），（中，上，下）， （中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6种， 其中该人可以乘坐上等车的情况有（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），共3种， 则其概率为． 故选：C. 15.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为___________ 【答案】4 【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值． 【解析】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则， 解得（负值舍去）. 故答案为：4． 16.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【解析】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 17.俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款，记事件“没有丙公司的”，则事件B发生的概率为_____________. 【答案】 【分析】设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间；列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【解析】设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； （2）由已知可得， 则. 故答案为： 18.现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中,若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别则出事件的概率为_________. 【答案】 【分析】依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. 【解析】由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以 故答案为： 19.一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球,若取出的2个球都是红球的概率为，则=__________． 【答案】3 【分析】写出所有样本点，根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【解析】由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 故答案为： 题型四：有放回与无放回的问题 20．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【解析】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 21.从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出基本事件的总数，然后找出满足条件的结伴事件数，利用概率公式求解即可. 【解析】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张， 基本事件总数种情况， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： 共6种情况， 故所求概率为：， 故选：B. 22.吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可. 【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物， 基本事件总数为：种 事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：种 糖、烟、糖、糖： 种 糖、糖、烟、糖：种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为 故选：D 23.已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（  ） A．2 B．4 C．6或2 D．8或4 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式列式计算可得解. 【解析】设事件为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”， 则， 所以，解得或. 故选：C. 24.我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    【答案】 【分析】将红桃A，黑桃A，梅花A分别记为A、B、C，画出树状图，利用概率公式即可求出两次抽取的扑克牌为同一张的概率． 【解析】设红桃A，黑桃A，梅花A分别为A，B，C， 两次抽取的扑克牌出现的结果如图所示：    由树状图可知共有9种情况，其中两次抽到同一张的情况有3种， 所以两次抽取的扑克牌为同一张的概率为． 故答案为： 题型五：互斥事件与对立事件的辨析 25．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（  ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【解析】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D. 26.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（  ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【答案】C 【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案. 【解析】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误； B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确； D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 27.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（  ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的概念分析即可. 【解析】易知事件E可表示为，事件F可表示为，事件G可表示为, 事件H可表示为，抛掷一枚质地均匀的骰子一次可表示为, 得到是U的真子集，， 所以A正确，B错误，C错误，D错误. 故选：A 28.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（  ） A．抽得3件正品 B．抽得至少有1件正品 C．抽得至少有1件次品 D．抽得3件正品或2件次品1件正品 【答案】A 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【解析】对于 , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件; 对于 , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件, 对于 , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件, 对于 , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件. 故选:A 29.（多选）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（  ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合互斥事件、对立事件、必然事件的意义举反例说明ABC错误. 【解析】选项ABC错误，反例如下： 在一个箱子中有白球、黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球的事件的概率为0.2， 取到黄球的事件的概率为0.3，取到黄球或红球的事件的概率为0.5， 显然与既不是互斥事件，也不是对立事件，A错误； 是“取到黄球或红球”，不是必然事件，B错误； ，C错误， 由条件无法确定事件的关系，D正确. 故选：ABC 30.（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【解析】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 31.（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法正确的是（  ） A． 与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的概念，逐项判定，即可求解. 【解析】与可以同时发生，所以与不互斥，故A错误； 与可以同时发生，所以与不互斥也不对立，故B错误； 为甲乙都中奖，为甲乙都不中奖，与不可能同时发生，所以与互斥，故C正确； 若事件发生，则事件一定发生，故与不是互斥事件，更不是对立事件，故D错误. 故选：ABD 题型六：事件的运算及其含义 32．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（  ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【解析】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 33.某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【解析】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C. 34.（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：ABC 35.（多选）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（  ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【解析】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 36.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断正确的是  （  ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【解析】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 故选：ABC． 37.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【解析】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 题型七：互斥事件的概率加法公式的应用 38．已知两个随机事件和，其中，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【解析】， ． 故选：D. 39.已知事件A，B，C两两互斥，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【解析】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 40.（多选）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【解析】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 41.若，则 _____________ 【答案】 【分析】首先求得，然后结合即可求解. 【解析】由题意， 所以. 故答案为： 42.抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”．已知，则出现1点或2点的概率为__________； 【答案】 【分析】应用互斥事件的加法公式求概率即可. 【解析】抛掷一枚骰子，“出现1点”和“出现2点”不能同时发生，所以事件与事件互斥， 故出现1点或2点的概率为． 故答案为： 43.已知事件、、两两互斥，若，则____________ 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【解析】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故答案为： 44.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为__________ 【答案】 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【解析】∵随机事件互斥，且 发生的概率均不等0 ,且, 所以，即 解得： 故答案为：. 45.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．则取到黑球的概率是____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可. 【解析】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是． 故答案为：. 题型八：利用对立事件的概率公式求概率 46．已知事件相互独立，若，则的值为（  ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【解析】由题意，， 则，即. 故选：B. 47.如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（  ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【解析】由题意得，，， 且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作， 而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为， 故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确. 故选：D 48.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【解析】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 49.某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【解析】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 50.（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（  ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解. 【解析】由事件，，不一定两两互斥，所以, ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件， 所以A、B、C中说法错误. 故选：ABC. 51.玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球,则取得红球或黑球或白球的概率为_______． 【答案】 【分析】利用互斥事件或对立事件的知识来求得所求概率. 【解析】记事件表示“任取1球为红球”，表示“任取1球为黑球”，表示“任取1球为白球”，表示“任取1球为绿球”， 则，，，． 解法一：利用互斥事件求概率． 取出1球为红球或黑球或白球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 的对立事件为，则． 故答案为： 52.2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立，则甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率为__________. 【答案】 【分析】利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【解析】记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 故答案为： 题型九：独立事件的判断 53．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（  ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【解析】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 故选：D. 54.袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（  ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 【答案】B 【分析】利用列举法结合古典概率求出各事件的概率，再结合相互独立事件的意义逐项分析即可. 【解析】有放回摸出两张卡片的样本空间： ，共25个结果， 事件，共10个结果，， 事件，共5个结果，， 事件，共3个结果，， 事件，共5个结果，， 对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误； 对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确； 对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误； ，，，事件Q与R不相互独立，D错误. 故选：B 55.（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（  ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 56.（多选）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（  ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 【答案】AC 【分析】根据概率定义和独立性条件，分别计算验证AC即可，对于B，，故事件，不相互独立，故B错误，对于D，事件的样本点包含1不包含5，所以满足条件的事件有4个，故D错误. 【解析】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得，，， 所以事件，不相互独立，故B错误； 对于C，当时，， 解得，故C正确； 对于D，当时，， 解得，即事件包含4个样本点， 并且必包含1，不包含5，再从剩下的2，3，4，6中选3个， 所以满足条件的事件分别是， 共4个，故D错误. 故选：AC. 题型十：独立事件与互斥事件、对立事件的辨析 57．分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（  ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】A.利用对立事件的定义判断；B.利用相互独立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用互斥事件的定义判断. 【解析】A. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，总事件的基本事件还有等，所以 和不是对立事件，故错误； B. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，而，则，所以与是相互独立事件，故正确； C. 事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有，所以，事件的基本事件有 ，则，，所以与不为相互独立事件，故错误； D. 事件的基本事件有，事件的基本事件有，都有基本事件，所以与不为互斥事件，故错误； 故选：B 58.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（  ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【解析】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 59.已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（  ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【解析】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 60.（多选）设是一个随机试验的两个事件，则（  ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 【答案】AC 【分析】根据互斥事件和对立事件的关系判断A，根据事件的包含关系判断B，利用相互独立事件的概念判断C，结合对立事件定义举反例判断D. 【解析】选项A：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生， 所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，A说法正确； 选项B：若，则，B说法错误； 选项C：由相互独立事件的概念可知，若，则相互独立，C说法正确； 选项D：对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，即不能保证两事件不同时发生，也不能保证两者必有其一发生， 如投掷一枚骰子，事件为：向上的点数为奇数，事件为向上的点数不小于4， 满足，但不是对立事件，D说法错误； 故选：AC 61.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（  ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可. 【解析】对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数， 故事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误； 对于B，因为“至少有一次点数为奇数” 包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生， 因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确； 对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生， 所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果， 记“第一次点数为偶数” 为事件，则事件包含种结果，故， 记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，故， 事件同时发生包含种不同的结果，故， 所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确. 故选：BD. 62.（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（  ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】ACD 【分析】分别计算出事件的概率，根据它们概率之间的关系，判断各选项的准确性. 【解析】设盒子里两个红球为，，两个白球为，， 从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为 ,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误； 因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 题型十一：独立事件的乘法公式及其应用 63．现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【解析】若比赛两场甲获胜，则概率为； 若比赛三场甲获胜，则概率为； 甲获得冠军的概率. 故选：A. 64.常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【解析】甲前两轮胜利的概率， 甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率 ， 于是甲胜利的概率. 故选：D. 65.如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【解析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 故选：D. 66.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（  ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 【答案】C 【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可. 【解析】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确. 故选：C 67.设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【解析】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 故答案为： 68.小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【解析】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 故答案为： 69.事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由独立事件概率乘法公式及二次函数性质即可求解. 【解析】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 故答案为： 70.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响,“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为________；两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率为________． 【答案】； 【分析】由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解；根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【解析】设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. 设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 故答案为：； 题型十二：相互独立事件与互斥事件、对立事件融合应用 71．“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【解析】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D. 72.（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【解析】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 故选：ABC. 73.（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（  ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【解析】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 74.抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 . 【答案】 【分析】根据题意求得其对立事件，然后根据其与对立事件之和为，即可得到结果. 【解析】因为，所以， 又因为为相互独立事件， 所以 所以中至少有一件发生的概率为 故答案为: 75.2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立，则这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为_____． 【答案】. 【分析】根据独立事件的概率乘法公式列方程组求解即可；根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式直接计算可得. 【解析】记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. 记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 故答案为: 题型十三：互斥事件和独立事件与其他章节的融合 76.“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（  ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【解析】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 77.为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立,若，则药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算得解. 【解析】设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 故答案为: 78.象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图,根据直方图，a=_____决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.则甲最终获胜的概率为____________. 【答案】； 【分析】根据频率分布直方图各组频率之和等于1求出；由题，甲最终获胜，比分可能是，，分别求出概率，再根据互斥事件的概率公式求解. 【解析】由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以； 因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 故答案为:； 79.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，则恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为___________. 【答案】 【分析】利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出；根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【解析】根据题意，可得， 解得. 设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，， 事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，， 所以. 所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为. 故答案为: 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率客观题13种重点常考题型 题型一：随机事件和样本空间 题型二：概率与频率的关系 题型三：古典概型的计算及其应用 题型四：有放回与无放回的问题 题型五：互斥事件与对立事件的辨析 题型六：事件的运算及其含义 题型七：互斥事件的概率加法公式的应用 题型八：利用对立事件的概率公式求概率 题型九：独立事件的判断和证明 题型十：独立事件与互斥事件、对立事件的辨析 题型十一：独立事件的乘法公式及其应用 题型十二：相互独立事件与互斥事件、对立事件融合应用 题型十三：互斥事件和独立事件与其他章节的融合 题型一：随机事件和样本空间 1．抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2.将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 3.从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 4.已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动，抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M包含的样本点，则=______________； 题型二：概率与频率的关系 5．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（  ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 6.下列说法正确的是（  ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 7.（多选）下列说法正确的是（  ） A.频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； B.做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； C.含百分比的数是频率，但不是概率； D.频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； 8.（多选）下列命题不正确的是（  ） A．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 B．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 C．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 9.在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 . 题型三：古典概型的计算及其应用 10．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（  ） A． B． C． D． 11.从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（  ） A．28 B．14 C．10 D．8 12.春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（  ） A． B． C． D． 13.在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 14.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为（  ） A． B． C． D． 15.一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为___________ 16.在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 17.俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款，记事件“没有丙公司的”，则事件B发生的概率为_____________. 18.现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中,若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别则出事件的概率为_________. 19.一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球,若取出的2个球都是红球的概率为，则=__________． 题型四：有放回与无放回的问题 20．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（  ） A． B． C． D． 21.从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（  ） A． B． C． D． 22.吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（  ） A． B． C． D． 23.已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（  ） A．2 B．4 C．6或2 D．8或4 24.我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    题型五：互斥事件与对立事件的辨析 25．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（  ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 26.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（  ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 27.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件表示“骰子向上的点数为奇数”，事件表示“骰子向上的点数为偶数”，事件表示“骰子向上的点数大于3”，事件表示“骰子向上的点数小于3”则（  ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件互为对立事件 C．事件与事件互斥 D．事件与事件互斥 28.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（  ） A．抽得3件正品 B．抽得至少有1件正品 C．抽得至少有1件次品 D．抽得3件正品或2件次品1件正品 29.（多选）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（  ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 30.（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 31.（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则下列说法正确的是（  ） A． 与互斥 B．与对立 C．与互斥 D．与对立 题型六：事件的运算及其含义 32．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（  ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 33.某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（  ） A． B． C． D． 34.（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 35.（多选）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（  ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 36.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断正确的是  （  ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 37.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 题型七：互斥事件的概率加法公式的应用 38．已知两个随机事件和，其中，则（  ） A． B． C． D． 39.已知事件A，B，C两两互斥，且，则（  ） A． B． C． D． 40.（多选）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（  ） A． B． C． D． 41.若，则 _____________ 42.抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”．已知，则出现1点或2点的概率为__________； 43.已知事件、、两两互斥，若，则____________ 44.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为__________ 45.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．则取到黑球的概率是____________． 题型八：利用对立事件的概率公式求概率 46．已知事件相互独立，若，则的值为（  ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 47.如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（  ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 48.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（  ） A． B． C． D． 49.某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 50.（多选）在一次随机试验中，事件发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（  ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 51.玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球,则取得红球或黑球或白球的概率为_______． 52.2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立，则甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率为__________. 题型九：独立事件的判断 53．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（  ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 54.袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（  ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 55.（多选）已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（  ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 56.（多选）任意抛掷一枚骰子一次观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（  ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，满足条件的事件有3个 题型十：独立事件与互斥事件、对立事件的辨析 57．分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（  ） A． 和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 58.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（  ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 59.已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（  ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 60.（多选）设是一个随机试验的两个事件，则（  ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 61.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（  ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 62.（多选）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（  ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C．与相互独立 D． 题型十一：独立事件的乘法公式及其应用 63．现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（  ） A． B． C． D． 64.常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（  ） A． B． C． D． 65.如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（  ）    A． B． C． D． 66.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（  ） A．0.4 B．0.6 C． D．0.76 67.设随机事件、相互独立，且，，则______． 68.小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 69.事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 70.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响,“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为________；两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率为________． 题型十二：相互独立事件与互斥事件、对立事件融合应用 71．“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（  ） A． B． C． D． 72.（多选）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 73.（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（  ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 74.抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 . 75.2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立，则这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为_____． 题型十三：互斥事件和独立事件与其他章节的融合 76.“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（  ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 77.为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立,若，则药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为__________． 78.象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图,根据直方图，a=_____决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.则甲最终获胜的概率为____________. 79.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，则恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为___________. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $