专题01 概率常考题型全归纳（专项训练6大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以题型建模为核心，通过6大专题构建概率知识网络，聚焦事件关系、古典概型等核心考点，实现从概念理解到综合应用的能力跃升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件关系与运算|6题（含3道多选）|结合具体情境判断互斥、对立关系|从集合角度理解事件关系，建立概率基础概念| |古典概型|10题（含解答题）|涉及摸球、掷骰子等经典模型|通过计数原理计算基本事件，强化概率公式应用| |统计交汇|6题（含图表题）|结合频率分布直方图、分层抽样|体现概率与统计的融合，培养数据分析能力| |概率性质|7题|聚焦互斥事件加法公式|深化概率基本性质的逻辑推理，突破计算难点| |独立事件判断|5题（含多选）|结合放回/不放回模型|区分独立与互斥事件，培养逻辑思维| |独立事件计算|7题|涉及多步试验、比赛模型|掌握独立事件乘法公式，提升复杂问题解决能力|

专题01 概率常考题型全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、事件的关系与运算 1 题型二、古典概型（重点） 4 题型三、古典概型与统计交汇（常考点） 9 题型四、概率的基本性质（难点） 14 题型五、相互独立事件与互斥事件判断 18 题型六、独立事件的概率计算及其推广 21 B综合攻坚・能力跃升 24 题型一、事件的关系与运算 1．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用集合的形式分别表示事件，再根据集合之间的包含关系及交集，并集的概念进行运算，即可判断A，B，C，D. 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 3．在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质判断C；根据概率的性质判断D. 【详解】对于A，若，则，故A不正确； 对于B，若，则， 此时与不是互斥事件，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，根据概率性质，故D不正确. 故选：C. 4．（多选题）（25-26高一下·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 5．（多选题）（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 【答案】AC 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确； 对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确； 对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误. 故选：AC 6．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 题型二、古典概型（重点） 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出样本点的总数，并列举出事件“点数和为”所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 2．袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意知：取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3， 所求概率. 故选：A. 3．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】若书放在上层用“上”表示，放在中层用“中”表示，放在下层用“下”表示， 则样本空间上上，上中，上下，中上，中中，中下，下上，下中，下下，共9种情况. 放在同一层书架的情况为上上，中中，下下，共3种情况， 故所求概率为. 故选：B. 4．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】总事件数为，乙获胜的事件数是， 则乙获胜的概率是． 5．（多选题）（24-25高一下·安徽芜湖·月考）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数，为了使游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数之差的绝对值大于4时甲获胜，否则乙获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数时甲获胜，否则乙获胜 【答案】BD 【分析】根据题意，列出树状图，根据各项规则列出对应情况判断是否公平即可. 【详解】画树状图如下：    由树状图知，共有16种等可能的结果， 对于A，所确定的点在直线上的有，共4个样本点， 所确定的点在直线上的点有，共3个样本点， 因此两种情况下的样本点个数不一样，概率不一样，A错误； 对于B，两个数乘积大于15的有，共8个样本点， 则两个数乘积不大于15的也有8个样本点，因此两种情况下的样本点个数一样，概率一样，B正确； 对于C，取出的两个数之差的绝对值大于4的有，共6个样本点， 取出的两个数之差的绝对值不大于4的有10个样本点， 因此两种情况下的样本点个数不一样，概率不一样，C错误； 对于D，取出的两个数相加和为奇数的有，共8个样本点， 则取出的两个数相加和为偶数的有8种，因此两种情况下的样本点个数一样，概率一样，D正确. 6．（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【答案】/ 【详解】记6本不同的教辅书为，其中代表2本数学教辅书， 则从中任取2本的情况为：， 共15种， 其中没有取到数学教辅书的情况为：共6种， 所以没有取到数学教辅书的概率为：. 7．（2026高一·全国·专题练习）某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是______. 【答案】 【分析】利用树状图表示出所有可能的结果，由此可得输入由组成的一个四位数字，恰是密码的概率，由对立事件概率公式可求得结果. 【详解】用事件表示“输入由组成的一个四位数字，但不是密码”， 则其对立事件为“输入由组成的一个四位数字，恰是密码”， 四个数字随机编排顺序，所有可能结果可用树状图表示，如图所示， 从树状图可以看出，将四个数字随机编排顺序，共有种可能的结果， 即样本空间共含有个样本点，且个样本点出现的结果是等可能的， ，则， 即登录时随机输入由组成的一个密码，该同学不能顺利登录的概率为. 8．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可； （2）放回抽样：先列出所有可能的样本点，确定恰有一件次品的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 9．某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】(1)，76.5分，88 (2)． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得． 这次竞赛的平均成绩为分． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第80百分位数在内． 设这次竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得． （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人， 竞赛成绩在内的有人，记为，， 竞赛成绩在内的有4人，记为，，，． 所有选法有，，，，，，，，，，，， ，，，共15种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，， 共8种，故所求概率为． 10．（25-26高一下·安徽合肥·月考）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)该规则不公平，理由见解析. 【分析】（1）确定不放回抽样，通过列举所有等可能样本点，找出 “类型不同” 的样本点，利用古典概型概率公式计算，即目标事件数除以总样本数. （2）采用 “正难则反” 策略，先求两次都没抽到航空航天券的对立事件概率，再用 1 减去该概率得到至少抽到一次的概率.   （3）类比第一问的不放回抽样，分别可以得到两张券类型相同、不同的概率，比较概率大小判断规则是否公平. 【详解】（1）记“两人抽到的体验券类型恰好不同”为事件A. 设4张“具身智能券”为，，，，2张“航空航天券”为，. 两人从中各随机抽取1张体验券，应用枚举法，可知样本空间为 ， 共有15个样本点， ，有8个样本点， 故. （2）记小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”为事件B，则小华两次都没有抽到“航空航天券”为. 小华抽取一次没有抽到“航空航天券”的概率为， 则， 所以. （3）该规则不公平. 理由如下： 一次性抽取2张相当于不放回抽样，由（1）知，“智能社”优先的概率为，“空天社”优先的概率为， 因为，所以该规则不公平. 【点睛】古典概型需明确抽样方式（放回 / 不放回），用列举法或组合数算样本点；遇 “至少” 问题用对立事件简化. 题型三、古典概型与统计交汇（常考点） 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知某运动员每次射击击中目标的概率为，采用随机模拟的方法估算该运动员射击4次至少3次击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527    0293    7146    9857    0347 4373    8636    6947    1417    4698 0371    6233    2616    8045    6011 3661    9597    7424    7610    4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计数20个样本点中“该运动员射击4次至少3次击中目标”对应的随机数组的个数，然后根据古典概型公式计算． 【详解】根据随机数一共有20组可知，共有20个样本点， 其中“该运动员射击4次至少3次击中目标”对应的随机数组为 7527，7146，9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424， 共有9个样本点， 所以估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为． 故选： 2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 3．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 【详解】由数据1，2，3，4，的平均数， 可得，所以，从这5个数中任取2个，结果有： 共10种， 这2个数字之积小于5的结果有：，共4种， 所以所求概率为. 故选：B 4．（25-26高一下·广东湛江·开学考试）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间（单位：小时） 频数 12 26 16 4 (1)___________，___________； (2)若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？ (3)劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是两名女生的概率． 【答案】(1)80；22 (2)160人 (3) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）根据条件，直接求解，即可； （3）利用树状图，列出所有可能结果，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，. （2）（人），所以估计劳动时间在范围的学生有160人. （3）画树状图，如图： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种， 抽取的2名学生恰好是两名女生的概率为． 5．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求样本成绩的平均数和第62百分位数； (2)用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 【答案】(1)平均数为74，第62百分位数79 (2). 【分析】（1）利用中点值来计算样本平均数，利用百分位数的定义来求第62百分位数； （2）利用分层抽样，再用列举法来求古典概型概率即可. 【详解】（1）由频率和为1可得：，则； 利用中点值来计算样本成绩的平均数为：； 前三组的频率之和为； 前四组的频率之和为； 所以第62百分位数在第四组，即第62百分位数为； （2）落在内的样本容量为：， 落在内的样本容量为：. 则应从中抽2个，从中抽3个. 设中的样本为：，中的样本为：. 则从中任取2份的情况有： ，，共10种. 分数最多一个在内有：共7种， 则至多有1份答卷的分数在内的概率为：. 6．（25-26高一下·北京·期末）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 (1)请直接写出的值； (2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； (3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意列出方程组，从而求出a，b的值； （2）记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，首先列出从6件二等品中任取2件的所有结果，然后再找出事件所包含的基本事件，从而利用古典概型的概率公式即可求出答案. （3）根据样本中甲，乙生产线一等品的频率估计概率，计算相应的概率可比较大小. 【详解】（1）由题意，知，解得； （2）记样本中甲生产线的4件二等品为，乙生产线的2件二等品为. 从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，它们是： ， ， 记为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果有1个，它是. 所以. （3），理由如下： 在一个容量为100的样本中， 因为甲生产线产品有件一等品，有件二等品，一共有件产品， 所以从甲生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 因为乙生产线产品有件一等品，有件二等品，一共有件产品， 所以从乙生产线产品中取出一件产品是一等品的频率为， 由题意可知：以抽样结果的频率估计概率， 所以从甲产品生产线随机抽取件产品是一等品的概率为， 从乙产品生产线随机抽取件产品是一等品的概率为. ， ，所以. 题型四、概率的基本性质（难点） 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 2．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件、对立事件的意义判断AB；利用古典概型求出判断CD作答. 【详解】对于AB，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，AB错误； 对于CD，依题意，，，，则，C正确，D错误. 故选：C 3．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【详解】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 4．（24-25高一下·安徽·期末）已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及概率的基本性质求解. 【详解】由，得， 又，则，而， 所以. 故选：A 5．抛掷三枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币正面朝上”，事件“第三枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，列举出抛掷三枚质地均匀的硬币，所有的结果，逐项判断即可. 【详解】抛掷三枚质地均匀的硬币，所有的结果是：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8种情况； 事件“第一枚硬币正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），共四种情况；； 事件“第二枚硬币正面朝上”包含：（正，正，正），（正，正，反），（反，正，正），（反，正，反），共四种情况；； 事件“第三枚硬币反面朝上”包含：（正，正，反），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，反），共四种情况；； 因此事件与事件包含有相同情况，不互斥；事件与事件包含有相同情况，不对立，即选项AB错误； 又事件包含：（正，正，正），（反，正，正），（正，正，反），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共六种情况，，故C错误； 事件包含：（正，正，反），只有一种情况，故，故D正确； 故选：D 6．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，先由对立事件求得再根据一般事件的概率加法公式即可求得结果. 【详解】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”， 则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”. 由题意得， 由得，， ∴. 故选：B. 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记三双不同的手套为：白1，白2；红1，红2；黑1，黑2，（1为左，2为右） 从中随机取出2只共有：白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1， 白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况， 事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件， 事件包含：白2红2，白2黑2，红2黑2，3个基本事件， 事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1， 白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事件， ，， ，， 对于A，，A错误； 对于B，事件互斥，则，B正确； 对于C：，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B 题型五、相互独立事件与互斥事件判断 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义判断. 【详解】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响， ，， ， ， 所以事件与是相互独立事件. 故选：A. 2．（24-25高一下·吉林·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即. 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 【答案】C 【分析】根据题意列出事件A，事件B，再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则， 对于， 而， 显然事件A与事件互斥但不对立，如，但，故A错误； 对于B，易得，故， 因为，所以， 而，则，则， 即事件与事件不相互独立，故B错误； 对于C，，而，则， 因为，所以，而 ， 所以事件A与事件不相互独立，故C正确； 对于D，由以上分析可知，那么事件与事件不互斥，故D错误. 故选：C. 4．（多选题）（24-25高一下·河北雄安·期末）某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为.若它连续尝试投送两次，则（   ） A．事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件 B．事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件 C．事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立 D．该机器人至少成功投放一次的概率为 【答案】ABD 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义判断ABC；利用对立事件的概率公式求出概率判断D. 【详解】对于A， “两次都成功投放”与“恰好成功一次”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，“两次都未成功投放”与“至少成功一次” 不可能同时发生，但必有一个发生，它们是对立事件，B正确； 对于C，设“第一次成功投放”为事件，“两次都成功投放”为事件，， ，两个事件相互不独立，C错误； 对于D，“至少成功一次”的对立事件是“两次都未成功投放”，“两次都未成功”的概率为， 所以“至少成功一次”的概率为，D正确. 故选：ABD 5．（多选题）（24-25高一下·广东潮州·期末）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 【答案】ABD 【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】记红球为1,2，白球为3,4， 不放回依次取出两个，则样本空间，共12种， 事件，共6种； 事件，共4种 事件，共8种； A选项，，故A正确； B选项，因为，所以与互为对立事件，故B正确； C选项，因为，所以与不是互斥事件，故C错误； D选项，因为事件，共4种，所以， 因为，由A可知，因为 所以与相互独立，所以D选项正确． 故选：ABD 题型六、独立事件的概率计算及其推广 1．（25-26高一下·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分第一个人摸到白球和第一个人摸到黑球两种情况，利用概率乘法公式和加法公式求解. 【详解】若第二个人摸到白球，则有2种可能：第一个人摸到白球或第一个人摸到黑球， 所以第二个人摸到白球的概率是. 故选：B. 2．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 3．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 4．（2025高一·全国·专题练习）某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式计算. 【详解】因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为， 只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以，解得或（舍去）. 故选：B． 5．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲投次或乙投次或丙投次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】第4次是丙投篮，可能有： ①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ③甲投次，乙投次，丙连投次， 概率为. 综上所述，第4次是丙投篮的概率为. 故选：C 6．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 7．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 1．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 2．（25-26高一下·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率，利用求出. 【详解】记小球落入袋中的概率， 记小球落入袋中的概率， 则， 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋， ，. 故选：C. 3．（24-25高一下·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 4．长度为1，3，7，9，的5条线段，它们长度的平均数与中位数相同.现从中任取3条线段，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】求出平均数为，它们长度的平均数与中位数相同，分别按照，，三种情况讨论得到，利用古典概型列出所有的可能取法，利用构成三角形的三边关系列出这3条线段能构成一个三角形的取法，从而得到这3条线段能构成一个三角形的概率. 【详解】长度为1，3，7，9，的平均数为， 它们长度的平均数与中位数相同， 当，中位数为，则，解得， ，不符合题意； 当，中位数为，则，解得， ，符合题意； 当，中位数为，则，解得， ，不符合题意； 综上可得，， 这条线段为， 现从中任取3条线段，所有的取法有， ，共种取法， 其中这3条线段能构成一个三角形的组合有，共种取法， 故这3条线段能构成一个三角形的概率为. 故选：B. 5．（多选题）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 6．（多选题）（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 7．（多选题）连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 【答案】BCD 【分析】依次写出和时样本总空间、事件的样本空间，以及利用古典概型求出相应的概率，再结合互斥事件和独立事件定义分析即可得解. 【详解】记抛掷一枚硬币正面向上为1，反面向上为0， 则连续抛掷一枚硬币两次的样本空间为， 此时事件的样本空间为，事件的样本空间为， 积事件的样本空间为， 所以事件交集不空，不互斥，且， 所以，故与不相互独立，故A错误，B正确； 连续抛掷一枚硬币3次的样本空间为共8个样本点， 此时事件的样本空间为共6个样本点， 事件的样本空间为共4个样本点， 积事件的样本空间为， 所以事件的交集不空，不互斥，且， 所以，故与相互独立，故CD正确； 故选：BCD 8．（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 9．（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【答案】 0.6 0.3 【分析】根据事件A的对立事件为求出，因为，则，，从而求出相应概率值. 【详解】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 10．已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为______． 【答案】/0.75 【分析】应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可. 【详解】记事件“该会员喜爱书画”，事件“该会员喜爱戏曲”， 由题意，知，，， 由概率的基本性质，知， 则，解得， 即从该协会中随机抽取一人，该会员喜爱戏曲的概率为． 故答案为： 11．（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的小长方体的面积和为1求解； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为. （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为， 故， 又因为，则， 所以事件的概率为. 12．（24-25高一下·贵州遵义·月考）数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况. (1)应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？ (2)从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为，，，，.具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标.现从这5人中随机抽取2人接受采访. （i）试用所给字母写出样本空间，并说明样本点的总数； （ii）设事件：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求. 核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 A × ○ ○ × ○ × B × ○ ○ × ○ × C ○ × ○ ○ × ○ D × ○ × ○ ○ ○ E ○ × ○ × ○ ○ 【答案】(1) (2)(i) 样本空间，样本点总数为； (ii) 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）（i）列出所有情况即可；（ii）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型计算即可. 【详解】（1）由已知,高一、高二、高三学生人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取240位学生， ，因此应从高一、高二、高三学生中分别抽取60人，90人，90人. （2）（i）从5人中随机抽取2人，样本空间为所有可能的两人组合， 即：， 样本点总数为； （ii）设对立事件：“抽取的2人中，不达标的项目没有相同的”， ：不达标项目为{数学抽象}, {数学运算}, {数据分析}； C：不达标项目为{直观想象}, {数学建模}； D：不达标项目为{数学抽象}, {逻辑推理}； E：不达标项目为{直观想象}, {数学运算}； 找出包含的样本点： ：的不达标项目与的无交集； ：的不达标项目与的无交集； ：的不达标项目与的无交集； 的不达标项目与的无交集； 因此，包含个样本点，其概率； 故. 13．（25-26高一下·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 【答案】(1)； 平均数为74（分）；中位数为分 (2)288 (3) 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得，根据频率分布直方图估计平均数，中位数； （2）由频率估计概率可得高一年级480名学生中成绩不低于70分的频率后可得人数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故， 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）. 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分. （2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高一年级480名学生中成绩不低于70分的人数为. （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任取3人的所有可能结果为， ， ， ，，，，，，，，，，，，，，， 共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为. 14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 15．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局. (1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率； (2)求甲校以3:1获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）就不同学校连胜3场分类讨论后可求比赛结束的概率； （2）就前两局甲校两胜、一胜一负分类讨论后可求甲校以3:1获胜的概率. 【详解】（1）恰好比赛三局，比赛结束的情况如下： 甲校连胜3局，概率为； 乙校连胜3局，概率为. 故恰好比赛三局，比赛结束的概率. （2）甲校以3:1获胜的情况如下： ①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜， 概率为； ②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜， 概率为. 故甲校以3:1获胜的概率. 16．（25-26高一下·贵州遵义·月考）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【详解】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率常考题型全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、事件的关系与运算 1 题型二、古典概型（重点） 2 题型三、古典概型与统计交汇（常考点） 4 题型四、概率的基本性质（难点） 6 题型五、相互独立事件与互斥事件判断 7 题型六、独立事件的概率计算及其推广 8 B综合攻坚・能力跃升 9 题型一、事件的关系与运算 1．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 2．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（    ） A．是必然事件 B．与是互斥事件 C． D．可能为 4．（多选题）（25-26高一下·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（多选题）（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（    ） A．“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B．“至少有1名男生”与“全是男生”； C．“至少有1名男生”与“全是女生”； D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 6．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二、古典概型（重点） 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 2．袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 3．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜．已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球，乙的袋子中有3个黑球和2个红球，则乙获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（24-25高一下·安徽芜湖·月考）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数，为了使游戏对双方都公平，下列获胜规则正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15时甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数之差的绝对值大于4时甲获胜，否则乙获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数时甲获胜，否则乙获胜 6．（25-26高一下·江西景德镇·月考）书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 7．（2026高一·全国·专题练习）某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是______. 8．（2026高一·全国·专题练习）从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 9．某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 10．（25-26高一下·安徽合肥·月考）2026年的《政府工作报告》中有这样的描述：“培育壮大新兴产业和未来产业.实施产业创新工程，鼓励央企国企带头开放应用场景，打造集成电路、航空航天、生物医药、低空经济等新兴支柱产业. 建立未来产业投入增长和风险分担机制，培育发展未来能源、量子科技、生物制造、具身智能、脑机接口、6G等未来产业.”某市科技馆为此推出“未来科技体验周”，设置6张外观完全相同的数字体验券，其中4张为“具身智能券”，2张为“航空航天券”. (1)若小明、小红两人从中各随机抽取1张体验券（抽取后不放回），求两人抽到的体验券类型恰好不同的概率； (2)若小华先从中随机抽取1张体验券，记录类型后放回并充分搅匀，再随机抽取1张，求小华两次抽取中至少有一次抽到“航空航天券”的概率； (3)该科技馆拟制定一项互动规则来决定“智能社”与“空天社”哪个社团优先体验新项目：从6张体验券中一次性随机抽取2张，若2张券类型相同，则“智能社”优先，若2张券类型不同，则“空天社”优先，请通过计算判断该规则是否公平，并说明理由. 题型三、古典概型与统计交汇（常考点） 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知某运动员每次射击击中目标的概率为，采用随机模拟的方法估算该运动员射击4次至少3次击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527    0293    7146    9857    0347 4373    8636    6947    1417    4698 0371    6233    2616    8045    6011 3661    9597    7424    7610    4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东湛江·开学考试）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间（单位：小时） 频数 12 26 16 4 (1)___________，___________； (2)若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？ (3)劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是两名女生的概率． 5．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，鹤山市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求样本成绩的平均数和第62百分位数； (2)用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在内的概率． 6．（25-26高一下·北京·期末）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4:1．现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）． 一等品 二等品 甲生产线 76 b 乙生产线 a 2 (1)请直接写出的值； (2)从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率； (3)以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取2件产品，记表示从甲生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，表示从乙生产线随机抽取的2件产品中恰好有1件一等品的概率，试比较和的大小．（只需写出结论） 题型四、概率的基本性质（难点） 1．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 2．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 3．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽·期末）已知事件和是一个随机试验中的两个事件，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．抛掷三枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币正面朝上”，事件“第三枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 6．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）柜子里有3双不同的手套，现从中随机地取出2只．若表示事件“取出的手套是一只左手一只右手的，但不是一双手套”，表示事件“取出的手套都是右手的”，表示事件“取出的手套不成双”，则（   ） A． B． C． D． 题型五、相互独立事件与互斥事件判断 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 2．（24-25高一下·吉林·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件，“两个点数之和是偶数”为事件，“两个点数之积是奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件不相互独立 D．事件与事件互斥 4．（多选题）（24-25高一下·河北雄安·期末）某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为.若它连续尝试投送两次，则（   ） A．事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件 B．事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件 C．事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立 D．该机器人至少成功投放一次的概率为 5．（多选题）（24-25高一下·广东潮州·期末）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“第一次取出的是红球”，“取出的两球同色”，“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是（） A． B．B与C互为对立事件 C．A与B互斥 D．A与C相互独立 题型六、独立事件的概率计算及其推广 1．（25-26高一下·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 3．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南许昌·期末）甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 7．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 1．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 4．长度为1，3，7，9，的5条线段，它们长度的平均数与中位数相同.现从中任取3条线段，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 5．（多选题）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 6．（多选题）（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 7．（多选题）连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有  （   ）. A．若，则与互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与不互斥 D．若，则与相互独立 8．（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 9．（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 10．已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为______． 11．（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 12．（24-25高一下·贵州遵义·月考）数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况. (1)应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？ (2)从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为，，，，.具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标.现从这5人中随机抽取2人接受采访. （i）试用所给字母写出样本空间，并说明样本点的总数； （ii）设事件：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求. 核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 A × ○ ○ × ○ × B × ○ ○ × ○ × C ○ × ○ ○ × ○ D × ○ × ○ ○ ○ E ○ × ○ × ○ ○ 13．（25-26高一下·北京·月考）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要.为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 14．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 15．大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.设各局比赛相互之间没有影响且无平局. (1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率； (2)求甲校以3:1获胜的概率. 16．（25-26高一下·贵州遵义·月考）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $