7.4.1二项分布 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1二项分布 第七章 随机变量及其分布 人教A版 选择性必修 第三册 1. 离散型随机变量的均值与方差： 2. 均值与方差的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则 知识回顾 D(aX+b)=a²D(X). D(X)=p(1-p) 知识回顾 4. 常见的概率模型： (1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (当A与B互斥时); (3) P(AB) = P(A)·P(B) (当A与B相互独立时). (2) P(B|A) = ; 1.理解n重伯努利试验的意义； 2.理解二项分布； 3.能利用伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 学习目标 自学指导 阅读课本72--74页，完成以下问题： 问题1 n重伯努利试验。 问题2 二项分布。 在实际问题中, 有许多随机试验与掷硬币具有相同的特征, 它们只包含两个可能结果. 例如, 检验一件产品结果为合格或不合格, 飞碟射击时中靶或脱靶, 医学检验结果为阳性或阴性等. 教师点拨 n重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials). 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. n重伯努利试验具有如下共同特征： (1) 同一个伯努利试验重复做n次; (2) 各次试验的结果相互独立. “重复”意味着各次试验的条件相同, 试验成功的概率也相同. 小组互助 练习：下列试验中是n重伯努利试验的是(　　) A.依次抛掷4枚质地不同的硬币,3次正面向上 B.某射击运动员击中目标的概率是0.9,他连续射击10次,击中7次 C.口袋中装有质地、大小相同的5个红球和4个黑球,依次从中抽取5个球,恰好取出3个红球 D.甲、乙两个篮球运动员各罚球一次,甲进球而乙没有进球 B 探究:某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8, 连续3次射击, 中靶次数X的概率分布列是怎样的？ P(X=k) = ×0.8k×0.23-k , (k=0, 1, 2, 3). 思考: 如果连续射击4次, 类比上面的分析, 写出中靶次数X的分布列. P(X=k)= ×0.8k×0.24-k,(k=0, 1, 2, 3, 4). 教师点拨 二项分布 一般地, 在n重伯努利试验中, 设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1), 用X表示事件A发生的次数, 则X的分布列为 P(X=k)= ×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n). 如果随机变量X的分布列具有上式的形式, 则称随机变量X服从二项分布(binomial distribution), 记作X~B(n, p). 注意： (1) 一般含有 “恰好” “恰有”等字样的问题往往考虑独立重复试验的模型. (2) 判断一个随机变量X是否服从二项分布, 关键有两点：一是对立性, 即一次试验中, 事件A的发生与否两者必居其一; 二是重复性, 即试验是独立重复地进行了n次. 思考:对比二项分布与二项式定理,你能看出它们之间的联系吗？ pk(1-p)n-k是二项式[(1-p)+p]n的展开式的通项. = [(1-p)+p]n = 1. 小组互助 练习 (1)种植某种树苗,成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率是(　　) A.0.33 B.0.066 C.0.5 D.0.45 (2)如果X~B(20,p),当p= 且P(X=k)取得最大值时,k=　　　　　.  A 10 教师点拨 一般地, 确定一个二项分布模型的步骤如下: (1)明确伯努利试验及事件A的意义, 确定事件A发生的概率p; (2)确定重复试验的次数n, 并判断各次试验的独立性; (3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数, 则X~B(n, p). 3. 判断下列表述正确与否, 并说明理由: (1) 12道四选一的单选题, 随机猜结果, 猜对答案的题目数X~B(12, 0.25); (2) 100件产品中包含10件次品, 不放回地随机抽取6件, 其中次品数Y~B(6, 0.1). 小组互助 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次, 求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率. 小组互助 变式1 甲、乙两射击运动员各射击一次,击中目标的概率分别是 假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.求: (1)甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率; (2)甲、乙各射击2次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 2. 鸡接种一种疫苗后, 有80%不会染某种病毒. 如果5只鸡接种了疫苗, 求： (1)没有鸡感染病毒的概率; (2)恰好有1只鸡感染病毒的概率. 小组互助 例2 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 小组互助 变式2 某单位有6名工作人员,他们相互独立借助互联网开展工作,已知每人上网的概率都是0.5. (1)求至少3人同时上网的概率; (2)至少几人同时上网的概率小于0.3? 小组互助 例3 一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有6个有红绿灯的路口,假设在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 ,设X为这名学生在途中遇到的红灯次数,求X的分布列. 小组互助 变式3 某中学学生心理咨询中心的服务电话接通率为 ,某班3名同学商定某天分别就同一问题询问该服务中心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列. 探究:假设随机变量X服从二项分布B(n, p), 那么X的均值和方差各是什么？ 教师点拨 二项分布的均值与方差 如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p). 小组互助 A.10 B.30 C.15 D.5 (2)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=　　　　.  A 本例题(1)条件不变,则E(3Y+2)=　　　　　.  7 小组互助 变式4 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=　　　　　.  1.96 1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次, X表示 “正面朝上”出现的次数. (1) 求X的分布列; (2) E(X)=___, D(X)= _____. 2 1 小组互助 例5 英语考试有100道选择题,每题4个选项,选对得1分,否则得0分.学生甲会其中的20道,学生乙会其中的80道,不会的均随机选择.求甲、乙在这次测验中得分的均值. 小组互助 变式5 在未来3天中,某气象台预报每天天气的准确率为0.8,则在未来3天中, (1)至少有2天预报准确的概率是多少? (2)至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少? 课后反思 1.伯努利试验： 只包含两个可能结果的试验. n重伯努利试验具有如下共同特征： (1) 同一个伯努利试验重复做n次; (2) 各次试验的结果相互独立. 2. 二项分布： X~B(n, p) P(X=k)= ×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n). 3. 二项分布的均值与方差： 如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p). , X 0 1 2 3 4 5 6 P X 0 1 2 3 P 例4 (1)设随机变量Y的分布列为P(Y=k)=(k=0,1,2,3,4,5),则D(3Y)=(　　) $