云南玉溪市红塔区2026 年初中学业水平模拟考试数学 试题卷

2026 年初中学业水平模拟考试 数学 试题卷 （本试卷共三个大题，27 个小题，共 8 页；考试用时 120 分钟，满分 100 分） 注意事项： 1 . 本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2. 考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． __、选择题（本大题共 15 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 2 分，满分 30 分） 1 . 东风水库是玉溪市红塔区中心城区的主要饮用水水源地．若以水库防洪水位线为基准，水位上升 0. 4 米记作+ 0. 4 米，则水位下降 0. 3 米记作 A . - 0. 3 米 B . + 0. 3 米 C . - 0. 4 米 D . + 0. 4 米 2. 东风水库总库容 90600000 立方米，多年平均年供水量 67900000 立方米，数字“90600000”用科学记数法可以表示为 A . 6. 79× 107 B . 9. 06× 106 C . 9. 06× 107 D . 0. 906× 108 3. 如图，AB ∥CD, ∠1 = 110 ° , 则∠2 = A . 70 ° B . 110 ° C . 115 ° D. 120 ° 4. 下列计算正确的是 A. 2a+ 3a = 5 B. a2 ·a3= a6 C. a8 ÷a2 = a4 D. (-2a2) 3 = - 8a6 5. 若一个正多边形的内角和为 720 ° , 则这个多边形是 A . 正五边形 B . 正六边形 C . 正七边形 D . 正八边形 6. 若槡x-2 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围为 A. x>2 B. x<2 C. x≥2 D. x≤2 7. 若反比例函数 y = 的图象经过点( 1 , - 6) , 则该反比例函数的图象必经过点 A . (3 , 2) B . ( - 2 , - 3) C . (6 , 1) D . ( - 6 , 1) 8. 某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，则这个几何体是A . 三棱柱 B . 三棱锥C . 圆柱 D. 长方体 9. 如图，在△ABC 中，D, E 分别是 AC, BC 上的点．若 DE∥AB, = , 则 = 1 1 A . B . 2 3 1 1 C . D. 4 9 10. 2026 年 3 月，滇超联赛第六轮赛事与中超联赛新赛季首轮赛事相继在玉溪红塔区开赛，“双赛叠加”让红塔成为全国球迷的汇聚之地．某校数学社团为了解同学们现场观赛的情况，随机抽取了20 名学生，对他们的现场观赛数量进行统计，统计结果如下表： 观赛数量／场 0 1 2 3 4 人数／人 3 7 4 3 3 根据上表，下列说法正确的是 A . 样本为 20 名学生 B . 观赛数量的众数是 2 C . 观赛数量的中位数是 1 . 5 D . 观赛数量的平均数是 2 11 . 按一定规律排列的多项怯：x3 -y2 , x5 -y4 , x7 -y6 , x9 -y8 , …,第 n 个多项怯是A. x2n- 1 +y2n B. x2n+ 1 -y2n C. x2n- 1 -yn+ 1 D. x2n+ 1 -yn+ 1 12. 下列词语中，用数学眼光来看，含有可看做“对称图形汉字的是A . 实干 B . 争先 C . 守正 D . 厚德 学科网（北京）股份有限公司 13. 如图，在△ABC 中，LB = 90 ° . 若 AB = 3 , AC= 5 , 则 cosA = 5 3 A . B . 3 4 4 3 C . D. 5 5 14. 近年来，红塔区大”推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降．2023 年红塔区规模以上工业综合能源消费量为 304. 42 万吨标准煤，2025 年为 75 . 39 万吨标准煤．设红塔区这两年规模以上工业综合能源消费量的年平均下降率为 x , 根据题意，下列方程正确的是 A. 304. 42 (1+x) 2 = 75 . 39 B. 75 . 39 (1+x) 2 = 304. 42 C. 304. 42 (1 -x) 2 = 75 . 39 D. 304. 42 (1 - 2x) = 75 . 39 15. 数学活动课上，某同学用一张圆心角度数为 120 ° 的扇形纸片，围成了一个母线长为 18 厘米的圆锥侧面（接=忽略不计），则该圆锥的底面圆周长为 A . 9π 厘米 B . 12π 厘米 C . 18π 厘米 D . 24 π 厘米 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 2 分，满分 8 分） 16. 分解因怯：2x2 - 2 = . 17. 如图，点 A、B、C 在⊙O 上．若LBAC= 50 ° , 则LBOC 的度数为 ° . 18. 若关于 x 的方程 x2 +4x-c = 0 有两个相等的实数根，则实数 c 的值为 ． 19. 某校七年级开设了四个课外兴趣小组，如图是该校七年级学生参加课外兴趣小组人数不完整的统计图（每人参加且只参加一项）．根据图中信息，该校七年级参加科创兴趣小 组的学生有 人． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 62 分） 20.（本小题满分 7 分） 计算：20260 + -槡2-槡8- - 1 + 2sin45 ° . 21 .（本小题满分 6 分） 如图，AD = CD, BD 平分LADC.求证：AB = CB. 22.（本小题满分 7 分） 近年来“云南旅居”持续火爆，暑假期间湖景、温泉类品质民宿备受青睐．某家庭计划在云南甲、乙两地预订民宿度假，已知用 1200 元租住甲地湖景民宿的天数，与用 800 元租住乙地温泉民宿的天数相同；乙地温泉民宿每日租金比甲地湖景民宿便宜 100 元，求甲、乙两地民宿的日租金各是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 23.（本小题满分 6 分） 为促进学生对数学文化的了解，某数学老师开展讲数学家故事的课堂活动，甲、乙两个学习小组通过抽取卡片的方怯选取故事的主人公．在一个不透明的箱子中放了分别印有祖冲之 、刘徽 、韦达 、欧拉四位数学家画像的四张卡片（如下图，除画像外，其余都相同），分别记作 A, B, C, D, 甲组组长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，摇匀箱子里的剩余卡片后，乙组组长再任意摸出一张卡片．记甲组组长抽取的主人公为 x , 乙组组长抽取的主人公为 y. (1) 用列表法或画树状图法中的一种方法，求 (x , y)所有可能出现的结果总数； (2) 求甲、乙两个小组抽取的主人公都是中国数学家的概率 P. 24.（本小题满分 8 分） 如图，四边形 ABCD 是矩形，分别延长 CD、AD, 使得 ED = CD, FD = AD, 连接 AE、EF、CF、AC. 记 AB = a , BC= b, 四边形 ACFE 的周长为 C1 , △ACE 的周长为 C2 , △ACF 的周长为 C3 . (1) 求证：四边形 ACFE 是菱形； (2) 若 C1 = 4槡13, C3 -C2 = 2, 求四边形 ACFE 的面积． 25.（本小题满分 8 分） 根据以下信息，按要求完成下列任务． 图书采购创意探究项目 项目背景 2025 年 12 月 19 日，“石榴花开 声聚同心”———云南省第四届经典诵读大会”初选在玉溪市红塔山水小学圆满落幕．本次活动以铸牢中华民族共同体意识为主线，吸引全市小学至社会组百余选手齐聚红塔山水，用诵读传递经典”量．学校需要采购甲、乙两种图书作为活动奖品用于赠书与签书环节． 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性，发展模型观念． 素材展示 素材 1 购买 2 本甲图书与购买 3 本乙图书需要的费用相等 ； 素材 2 购买 1 本甲图书与购买 1 本乙图书共需 100 元 ； 素材 3 该校计划购买甲、乙两种图书共 40 本，甲图书和乙图书均需购买，购买甲图书的数量不少于购买乙图书数量的 2 倍，投入的经费不能超过 2200 元． 问题解决 任务 1 确定单价 通过建立合适的数学模型，计算购买 1 本甲图书和 1 本乙图书分别需要多少元． 任务 2 优化方案 确定最节省费用的购买方案． 26.（本小题满分 8 分） 27.（本小题满分 12 分） 设函数 y = a2 x2 -x- 1（实数 a 为常数）的图象为图象 T. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C, E 是⊙O 上的点，延长 AB 使 CD2 = AD ·BD, 连接 CE 交 AB 于点 F, CE (1) 求证：无论 a 取什么实数，图象 T 与 x “总有公共点； 平分7ACB, 连接 AC, BC, AE, BE. (2) 若 a2 = 1 , 图象 T 与 x “交点的横坐标为 r , M = , 试比较 M 与的大小． (1) 若 直接写出△AFC 和△BFC 的面积比； (2) 求证：直线 CD 是⊙O 的切线； (3) 是否存在常数 a , b, c , 使等怯 AC ·BC = aAB2 + bCF2 + cEF2 成立？若存在，请写出 a , b, c 的值，并证明等怯 AC ·BC = aAB2 +bCF2 +cEF2 成立；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学参考答案 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A C B D B C D A A C B A D C B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 题号 16 17 18 19 答案 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20．（本小题满分7分） 解：原式 …………………………………………（5分） ……………………………………………（7分） 21. （本小题满分6分） 证明：∵BD平分∠ADC， ∴． ……………………………………………（1分） 在ABD和CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ……………………………………………（5分） ∴． ……………………………………………（6分） 22．（本小题满分7分） 解：设甲地民宿的日租金是x元，则乙地民宿的日租金是元， ……………………………………………（1分） 由题意得：． …………………………………………（4分） 方程两边同乘：，得：，即， ∴． …………………………………………（5分） 经检验是所列方程的解，且符合题意要求． ∴． …………………………………………（6分） 答：甲地民宿的日租金是300元，乙地民宿的日租金是200元． …………………………………………（7分） 23. （本小题满分6分） 解：（1）列表如下： x y A B C D A (B，A) (C，A) (D，A) B (A，B) (C，B) (D，B) C (A，C) (B，C) (D，C) D (A，D) (B，D) (C，D) ∴(x，y)所有可能出现的结果为：(B，A)，(C，A)，(D，A)，(A，B)，(C，B)，(D，B)，(A，C)，(B，C)，(D，C)，(A，D)，(B，D)，(C，D)它们出现的可能性相等，一共有12种． 答：(x，y)所有可能出现的结果共有12种． …………………………（3分） （2）由（1）知，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两个小组抽取的主人公都是中国数学家的结果有2种：(A，B)，(B，A)． ∴甲、乙两个小组抽取的主人公都是中国数学家的概率P． …………………………………………（6分） 24．（本小题满分8分） （1）证明：∵，， ∴四边形ACFE是平行四边形． …………………………………………（2分） 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴ …………………………………………（3分） ∴四边形ACFE是菱形． …………………………………………（4分） （2）解：由（1）知，四边形ACFE是菱形，， ∴． …………………………………………（5分） ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，∠ADC＝90°． 在RtADC中，，即． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即，即． …………………………………（6分） ∴，即． ∵， ∴，解得， …………………………………………（7分） ∴四边形ACFE的面积． …………………………………………（8分） 25．（本小题满分8分） 解：（1）设购买1本甲图书和1本乙图书分别需要x，y元， ………………………………（1分） 由题意得： …………………………………………（2分） 解得： …………………………………………（3分） 答：购买1本甲图书60元，购买1本乙图书40元．……………………………（4分） （2）设购买甲图书的数量为n本，则购买乙图书的数量为(40－n)本， …………………………………………（5分） 购买的总费用． …………………………（6分） 由题意得：解得：， ……………………（7分） ∵，∴W随n的增大而增大， 又∵n是整数， ∴当n＝27，即时，购买的总费用W最节省． 答：当购买甲图书27本、乙图书13本时，购买的总费用W最节省． ………………………………………（8分） 26. （本小题满分8分） （1）证明：①当时，函数是一次函数． 当时，，解得， ∴图象T与x轴有公共点(－1，0)． …………………………………………（1分） ②当时，函数是二次函数． 当时，，， ∵， ∴， …………………………………………（2分） ∴方程有实数根， ∴图象T与x轴有公共点． 综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点． ………………………………（3分） （2）解：∵， ∴函数解析式为． ∵图象T与x轴交点的横坐标为r， ∴． …………………………………………（4分） ∵， ∴方程两边同除以r得：， 两边同时平方得：， …………………………………………（5分） 两边同时平方得：， ∵， ∴，即． ∵， ∴，即． ………………………………（6分） ∴． …………………………………………（7分） ∵，∴， ∴． …………………………………………（8分） 27. （本小题满分12分） （1）解：AFC和BFC的面积比为． …………………………………（3分） （2）证明：如图，连接OC，则OC是⊙O的半径． ………………………………（4分） ∵ ∴． ∵， ∴△ADC∽△CDB， ∴. …………………（5分） ∵， ∴， ∴． ∵AB是⊙O的直径， ∴，即， ∴，即， ∴OC⊥CD． …………………………………………（6分） ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CD是⊙O的切线． …………………………………………（7分） （3）． …………………………………………（8分） 证明：∵CE平分∠ACB， ∴， ∴． ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∴△AEB是等腰直角三角形， ∴． …………………………………………（9分） ∵， ∴， ∴△CAF∽△CEB， ∴，即． ∵， ∴． …………………………………（10分） ∵， ∴， ∴． ∵， ∴△AEF∽△CEA， ∴，即． ∵，， ∴，即， ∴． …………………………………………（11分） ∴ ∴， ∴，． …………………………………………（12分） 【备注】解答题每小题只给出了一种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数． 答案第1页，共2页 数学参考答案·第4页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $【考试时间：5月12日08：30~10：30】 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 (本试卷共三个大题，27个小题，共8页；考试用时120分钟，满分100分) 注意事项： 1.本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上 作答无效 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1.东风水库是玉溪市红塔区中心城区的主要饮用水水源地.若以水库防洪水位线为基准，水位上升0.4米记 作+0.4米，则水位下降0.3米记作 A.-0.3米 B.+0.3米 C.-0.4米 D.+0.4米 2.东风水库总库容90600000立方米，多年平均年供水量67900000立方米，数字“90600000”用科学记数法 可以表示为 A.6.79×10 B.9.06×106 C.9.06×10 D.0.906×108 3.如图，AB∥CD,∠1=110°，则∠2= A.70° B.110° C.115° D.120° 4.下列计算正确的是 A.2u+3a=5 B.a2·a3=a6 C.a8÷a2=a D.(-2a2)3=-8a6 5.若一个正多边形的内角和为720°，则这个多边形是 A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 6.若x-2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 A.x>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2 数学试题卷·第1页（共8页） 7.若反比例函数y=左的图象经过点(1，-6)，则该反比例函数的图象必经过点 A.(3,2) B.(-2,-3)》 C.(6,1) D.(-6,1) 8.某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图)如图所示，则这个几何体是 A.三棱柱 B.三棱锥 主视图 左视图 C.圆柱 D.长方体 俯视图 如图，在△4BC中，D,E分别是AC,BC上的点.若DE/AB、E),则D+4 CA+CB 1 8.2 1 6.3 D.9 10.2026年3月，滇超联赛第六轮赛事与中超联赛新赛季首轮赛事相继在玉溪红塔区开赛，“双赛叠加”让红 塔成为全国球迷的汇聚之地.某校数学社团为了解同学们现场观赛的情况，随机抽取了20名学生，对他们 的现场观赛数量进行统计，统计结果如下表： 观赛数量/场 0 2 3 人数/人 3 4 3 3 根据上表，下列说法正确的是 A.样本为20名学生 B.观赛数量的众数是2 C.观赛数量的中位数是1.5 D.观赛数量的平均数是2 11.按一定规律排列的多项式：x3-y2,x-y,x-y,x”-y,…,第n个多项式是 A.x2m-1+y2 B.21y2n C.x2n-1-y21 D.x2+1-y*1 12.下列词语中，用数学眼光来看，含有可看做轴对称图形汉字的是 A.实干 B.争先 C.守正 D.厚德 数学试题卷·第2页（共8页） 13.如图，在△ABC中，∠B=90°.若AB=3,AC=5,则c0sA= B.4 3 4 C. 3 0. 14.近年来，红塔区大力推进绿色低碳发展，持续优化产业结构，工业能耗稳步下降.2023年红塔区规模以上 工业综合能源消费量为304.42万吨标准煤，2025年为75.39万吨标准煤.设红塔区这两年规模以上工业 综合能源消费量的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的是 A.304.42(1+x)2=75.39 B.75.39(1+x)2=304.42 C.304.42(1-x)2=75.39 D.304.42(1-2x)=75.39 15.数学活动课上，某同学用一张圆心角度数为120°的扇形纸片，围成了一个母线长为18厘米的圆锥侧面 (接缝忽略不计)，则该圆锥的底面圆周长为 A.9π厘米 B.12π厘米 C.18π厘米 D.24T厘米 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16.分解因式：2x2-2= A 17.如图，点A、B、C在⊙0上.若∠BAC=50°，则∠BOC的度数为 18.若关于x的方程x2+4x-c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为 19.某校七年级开设了四个课外兴趣小组，如图是该校七年级学生参加课外兴趣小组人数不 完整的统计图（每人参加且只参加一项).根据图中信息，该校七年级参加科创兴趣小 组的学生有 人 人数人 40 30 24 生态 A社 21% 25% 20 传媒 10 24% 科创 0 AI社 科创传媒生态兴趣小组 数学试题卷·第3页（共8页） 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20.(本小题满分7分) 计算：2026+--8（兮） +2sin45°. 21.(本小题满分6分) 如图，AD=CD,BD平分∠ADC. 求证：AB=CB. 22.(本小题满分7分) 近年来“云南旅居”持续火爆，暑假期间湖景、温泉类品质民宿备受青睐.某家庭计划在云南甲、乙两地 预订民宿度假，已知用1200元租住甲地湖景民宿的天数，与用800元租住乙地温泉民宿的天数相同；乙 地温泉民宿每日租金比甲地湖景民宿便宜100元，求甲、乙两地民宿的日租金各是多少元？ 数学试题卷·第4页（共8页） 23.(本小题满分6分)》 为促进学生对数学文化的了解，某数学老师开展讲数学家故事的课堂活动，甲、乙两个学习小组通过抽取 卡片的方式选取故事的主人公.在一个不透明的箱子中放了分别印有祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学 家画像的四张卡片（如下图，除画像外，其余都相同），分别记作A,B,C,D,甲组组长先从这个箱子 里任意摸出一张卡片，摇匀箱子里的剩余卡片后，乙组组长再任意摸出一张卡片.记甲组组长抽取的主人 公为x,乙组组长抽取的主人公为y 祖冲之 刘徽 韦达 欧拉 A B C D (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x,y)所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两个小组抽取的主人公都是中国数学家的概率P. 24.(本小题满分8分) 如图，四边形ABCD是矩形，分别延长CD、AD,使得ED=CD,FD=AD,连接AE、EF、CF、AC.记AB =a,BC=b,四边形ACFE的周长为C,△ACE的周长为C2,△ACF的周长为C3 (1)求证：四边形ACFE是菱形； (2)若C=413,C3-C2=2,求四边形ACFE的面积 数学试题卷·第5页（共8页） 25.(本小题满分8分) 根据以下信息，按要求完成下列任务。 图书采购创意探究项目 2025年12月19日，“石榴花开声聚同心”一云南省第四届经典诵读大会”初选在玉 溪市红塔山水小学圆满落幕.本次活动以铸牢中华民族共同体意识为主线，吸引全市小 项目背景 学至社会组百余选手齐聚红塔山水，用诵读传递经典力量.学校需要采购甲、乙两种图 书作为活动奖品用于赠书与签书环节. 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性，发展模型观念。 素材展示 素材1 购买2本甲图书与购买3本乙图书需要的费用相等； 素材2 购买1本甲图书与购买1本乙图书共需100元； 该校计划购买甲、乙两种图书共40本，甲图书和乙图书均需购买，购买甲图书的数量不 素材3 少于购买乙图书数量的2倍，投入的经费不能超过2200元 问题解决 通过建立合适的数学模型，计算购买1本甲图书和1本乙图书分别需要 任务1 确定单价 多少元 任务2 优化方案 确定最节省费用的购买方案， 数学试题卷·第6页（共8页） 26.(本小题满分8分)》 设函数y=ax2-x-1(实数a为常数)的图象为图象T (1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点； (2)若。=1，图象T与轴交点的碳坐标为，M:,试比较M与的大小 数学试题卷·第7页（共8页） 27.(本小题满分12分) 如图，AB是⊙O的直径，点C,E是⊙O上的点，延长AB使CD=AD·BD,连接CE交AB于点F,CE 平分∠ACB,连接AC,BC,AE,BE. 若C=},直接写出△AFC和△BFC的面积化 (2)求证：直线CD是⊙O的切线； (3)是否存在常数a,b,c,使等式AC·BC=aAB2+bCF2+cEF2成立？若存在，请写出a,b,c的值，并 证明等式AC·BC=aAB2+bCF2+cEF2成立；若不存在，请说明理由. R 数学试题卷·第8页（共8页）