精品解析：2026年云南昆明市初中学业水平模拟考试（二）数学 试题卷

2026年初中学业水平模拟考试（二）数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 昆明滇池湖面海拔约高于海平面，记作；我国吐鲁番盆地低于海平面，记为（ ） A. B. C. D. 2. 2026年昆明市报名参加初中学业水平考试的人数约为78500人，将数字78500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线与直线，分别相交，，那么的度数为（ ）. A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 6. 下面四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“小暑”“立秋”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 球体 D. 圆锥 8. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 某校举行“最美校园歌手”选拔赛，8名参赛选手成绩分别为9，8，5，7，8，9，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，7.5 C. 8，9 D. 7，8 10. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 11. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 13. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修建一条宽相等的形小路（阴影），余下部分作为观赏绿化带，其面积为，设小路的宽为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：____． 17. 如图，由平面图形镶嵌所呈现的美丽图案，则其中一个阴影部分的多边形（正六边形）的内角和为______度． 18. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 19. 某校调查了部分学生最喜爱的四种球类运动，根据统计结果绘制成扇形统计图，若最喜爱乒乓球和排球的人数一共有人，则此次调查中最喜欢足球的学生有____人． 三、解答题（本大题共8小题；共62分） 20. 计算：． 21. 如图，，，．求证：． 22. “翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 23. 2026年3月14日，是国际数学联盟发起的第七个国际数学日，3月14日，正好契合圆周率的前三位数“3.14”，国际数学日正是因此被确定的．如下图是今年国际数学日发布的三个精美的图案A，B，C： 在一个不透明的箱子里放入三张分别印有三个图案（依次用A，B，C表示）的卡片，除所标图案不同外，其他完全相同．小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标图案后放回，小明再从箱子中随机抽出一张卡片记录所标图案． （1）小昆抽到卡片A的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小明抽到的两张卡片相同的概率． 24. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作交延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购，两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买袋种食材和袋种食材共需元；若购买袋种食材和袋种食材共需元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共袋，种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍． 请完成下列任务： （1），两种食材每袋单价分别是多少元？ （2）请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用． 26. 已知抛物线（为常数，且）． （1）当时，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线过点，设，请判断，，哪个正确？并说明理由． 27. 如图，四边形内接于，为的直径，过点的直线交的延长线于点，且，点为的中点． （1）求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究、发现与证明：是否存在常数，使得等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（二）数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 昆明滇池湖面海拔约高于海平面，记作；我国吐鲁番盆地低于海平面，记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题干规定高于海平面的海拔记为正， ∴低于海平面应记为负， 因此低于海平面，记为． 2. 2026年昆明市报名参加初中学业水平考试的人数约为78500人，将数字78500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ． 3. 如图，直线，直线与直线，分别相交，，那么的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，正确； 选项D：，错误． 5. 若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵ ∴该反比例函数的图象位于第二、四象限 6. 下面四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“小暑”“立秋”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 【详解】解：A、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、原图是轴对称图形，故本选项符合题意； C、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 球体 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【详解】解：由三视图可得该几何体是圆锥． 8. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式的有意义的条件．根据二次根式的有意义的条件，被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：C． 9. 某校举行“最美校园歌手”选拔赛，8名参赛选手成绩分别为9，8，5，7，8，9，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，7.5 C. 8，9 D. 7，8 【答案】A 【解析】 【详解】解：将这组数据从小到大排序： 5， 6， 7， 8， 8， 8， 9， 9， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中8出现3次，出现次数最多， ∴众数为8． ∵这组数据共8个，为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第4个和第5个数，即8和8 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是8，8． 10. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 即 ， 整理得  ， 解得 ． 11. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别从符号、系数绝对值、x的次数三个方面分析规律，整合后即可得到第n个代数式． 【详解】解：符号规律： 第1项为正，第2项为负，第3项为正……， ∴符号规律为； 系数绝对值依次为，且，，， ∴系数绝对值规律为； 的次数依次为， ∴的次数规律为； 整合得第个代数式为． 13. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理逆定理求出是直角三角形，且，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 14. 如图，在长为，宽为的矩形地面上修建一条宽相等的形小路（阴影），余下部分作为观赏绿化带，其面积为，设小路的宽为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，剩余部分长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：由题可知，剩余部分长为，宽为的矩形， 所以． 15. 如图，在中，，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一知识点，熟知这条知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 17. 如图，由平面图形镶嵌所呈现的美丽图案，则其中一个阴影部分的多边形（正六边形）的内角和为______度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：∵n边形的内角和公式， ∴正六边形的内角和为． 18. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据公式计算即可求解 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为， 故答案为：． 19. 某校调查了部分学生最喜爱的四种球类运动，根据统计结果绘制成扇形统计图，若最喜爱乒乓球和排球的人数一共有人，则此次调查中最喜欢足球的学生有____人． 【答案】60 【解析】 【详解】解：最喜爱乒乓球和排球的人数占， 所以调查人数为（人）， 则此次调查中最喜欢足球的学生有（人）． 三、解答题（本大题共8小题；共62分） 20. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】先计算零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式，特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可求解． 【详解】解：原式． 21. 如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证，再根据“”证明即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 22. “翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页，根据读书天数总页数每天读的页数，以及两人读书的天数差列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页， 由题意可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙同学每天读书页． 23. 2026年3月14日，是国际数学联盟发起的第七个国际数学日，3月14日，正好契合圆周率的前三位数“3.14”，国际数学日正是因此被确定的．如下图是今年国际数学日发布的三个精美的图案A，B，C： 在一个不透明的箱子里放入三张分别印有三个图案（依次用A，B，C表示）的卡片，除所标图案不同外，其他完全相同．小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标图案后放回，小明再从箱子中随机抽出一张卡片记录所标图案． （1）小昆抽到卡片A的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小明抽到的两张卡片相同的概率． 【答案】（1） （2）小昆和小明抽到的两张卡片相同的概率 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两次抽取的卡片相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小昆抽到卡片A的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下， 小昆 小明 A B C A B C 由表可知，一共有9种等可能结果． 记小昆和小明抽到的两张卡片相同为事件，有3种情况： 即，，． ． 24. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作交延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可得四边形是平行四边形，得，由角平分线得，，得，得， 即可得出结论； （2）过点作于点，由，可得 ，设，勾股定理得，解得， ，可得四边形为矩形，，得． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：过点作于点， 在菱形中，， ， ， 即，可得 ， 设， 在中，， 即，解得， 所以，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ． 25. 请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购，两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买袋种食材和袋种食材共需元；若购买袋种食材和袋种食材共需元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共袋，种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍． 请完成下列任务： （1），两种食材每袋单价分别是多少元？ （2）请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用． 【答案】（1）种食材每袋40元，种食材每袋50元 （2）最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元 【解析】 【分析】（1）设种食材每袋元，种食材每袋元，根据题意建立方程组，解方程组即可； （2）设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋，先求出与之间的函数关系式、的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设种食材每袋元，种食材每袋元， 由题意得：， 解得， 答：种食材每袋40元，种食材每袋50元． 【小问2详解】 解：设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋， 由题意得：， ∵种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 又∵为正整数， ∴当时，的值最小，最小值为， 此时， 答：最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元． 26. 已知抛物线（为常数，且）． （1）当时，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线过点，设，请判断，，哪个正确？并说明理由． 【答案】（1）该抛物线的解析式为 （2）正确，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把代入即可求解； （2）把点代入，然后进行一步步的化简求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 把点代入得， 或， ， ∴舍去 解得（舍正）， 由可得， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 所以 ． 27. 如图，四边形内接于，为的直径，过点的直线交的延长线于点，且，点为的中点． （1）求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）探究、发现与证明：是否存在常数，使得等式成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，当时，等式成立 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据，可证； （2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据，，可得：，根据等边对等角可得，等量代换可证，即可证明，从而可证直线是的切线； （3）当时，等式，根据勾股定理和完全平方公式可得：． 解法一：在上截取，可证，根据相似三角形的性质可证，从而可证成立； 解法二：过点作交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，所以可得，从而可证成立； 解法三：过点作交延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证成立． 【小问1详解】 解：为的直径， ， 点为的中点， ， ， 【小问2详解】 证明：如下图所示，连接， ， ，， ， ， ． ， 即 为半径 为的切线； 【小问3详解】 解：当时，等式成立， 理由如下： 在中， 解法一：如下图所示，在上截取， 可得：， 由，， 可得， ， ， ， ， ， ， ； 解法二：过点作交于点， 可得：，， 从而可得， ，， ， ， ， ， ； 解法三：过点作交延长线于点， 可得：，， 从而可得， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $