精品解析：湖北武汉市新洲区第一中学2026届高三下学期211（第二轮）数学试卷

新洲一中2026届211（第二轮）高三数学试卷 一、单选题 1. 集合，集合，则等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合 集合， 则. 故选B. 2. 设为非零向量，则“对于任意”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的三角不等式取等条件判断充分性，举反例判断必要性. 【详解】因为为非零向量，若对任意都有，则不共线， 根据不等式的取等条件可知，，充分性成立； 若，不妨取，且同向， 则，满足， 此时存在 ，使得，必要性不成立. 综上，为非零向量，“对于任意”是“”的充分不必要条件. 3. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 4. 已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A. B. C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出公共弦方程，在根据勾股定理由弦长计算圆心到公共弦的距离进而求出 ，最后再求圆的半径. 【详解】两圆相减得公共弦方程为：， 根据题意可知，圆的圆心到公共弦的距离， 解得：或， 当时，圆的标准方程为：， 当时，圆的标准方程为：， 所以或. 故选：C 5. 在三棱锥中， ，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作交于，连接，可证得，得 是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得 ，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以 是与所成的角或其补角， 由 ，， 所以，，，所以 ， 在 中，， 所以与所成角的余弦值为. 6. 人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故A正确； 恒成立，故，则，故，故B正确； ，， ，故C正确； ，又，，， ，故D错误. 7. 已知点 在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点 ，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以 ，为焦点，即 ，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出 或 （舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 8. 在锐角中，已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知式子化为.作于，设，即可求出.根据三角形内角和性质及两角和的正切公式，将所求用表示，计算化简，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由可得， 由正弦定理可得， 如图，作于，设， 因为，所以， 化简得，解得， 易知，，所以， 因此＝ ＝＝， 当且仅当时取得最小值. 故选：B 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B. 设X为随机变量,则 C. ,则, D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机事件的独立性、随机变量的方差与期望的关系、二项分布的期望与方差、正态分布的对称性逐一严格推导每个选项的正确性，排除错误选项. 【详解】对于A，先证必要性：若相互独立，则， 所以， 再证充分性：若，则， 所以，即，说明 与相互独立， 所以随机事件A,B相互独立的充要条件是，故A正确； 对于B，由于，则， 所以， 即，所以B正确； 对于C，由,则,，故C错误； 对于D，因为,记函数,, 所以对任意，有， 由正态分布的对称性：， 因此， 即的图象关于点对称，故D正确. 10. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【详解】等比数列通项公式，， 选项A：， ，即是首项为1，公比为2的等比数列，故A正确； 选项B：， ，即是首项为0，公差为2的等差数列， 故B正确； 选项C：，， 当时，，故不是等比数列，故C错误； 选项D：， ， 是首项为2，公比为2的等比数列，故D正确． 11. 曲线C：（ ）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 【答案】ACD 【解析】 【详解】当时，曲线C：，即， 当时，，即， 当时，曲线C：， 当时， ，即，这是一个顶点为和的直线段， 在区间内，由于，， 故时的图象比时更靠近坐标轴，，故A正确， 当 时，曲线C：，即 ，其面积为， 当时，曲线C：， 当时，，即， 在区间内，由于，，进而有， 故时其图像在单位圆的外部， 故，故B错误， 当时，曲线C：，易知， 由对称性可设，，则，， 当时， ，即，代入上式得 ，对称轴为， 故的最大值为，故C正确， 当时，当时，曲线C：，即， 当时，，即， 令，则， ， 设，则， 易知，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，，所以D正确. 三、填空题 12. 某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是________． 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 【答案】729 【解析】 【分析】找到第4行第4列的数开始向右数，三个数字为一组，如果数据超过899则跳过，数到第5个899以内的数字即可. 【详解】从685开始向右数，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳过992，991，696重复，跳过， 所以第5个数字为729. 故答案为：729. 13. 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的实根,当时，方程左边为，故不是根，因此可分离参数得： ,问题转化为：直线与函数的图象有两个不同的交点，通过求导分析的单调性、极值，即可确定的取值范围 【详解】由，得, 当时，左边，等式不成立，故不是根，； 当时，分离参数得​，令，则问题等价于与的图象有两个不同的交点, , 因此在上恒成立, 所以在和上分别单调递减， 由于当，时， ，时， ，此时的值域为， 当，时， ，时， ，此时的值域为， 则的大致图像如下： 所以要使与的图象有两个不同的交点，则 14. 在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取过圆锥轴及其中一个大球球心的截面，并结合与底面平行且距离底面为的平面内三个球心的位置关系，将空间问题转化为平面中圆与直线、圆与圆的相切问题.先由截面中半径为的圆确定大球球心到圆锥轴的距离，再利用三个球心构成边长为的正三角形求圆锥底面半径.设再放入的小球半径为，由对称性知其球心在圆锥轴上，再由相切条件列方程即可求得. 如图： 【详解】设圆锥底面圆心为，顶点为 ，底面半径为，高为，三个半径为的大球球心分别为. 因为母线与底面所成角为，所以，故过圆锥轴的截面是边长为 的等边三角形. 取过圆锥轴及球心 的截面.在该截面内，单位圆与底边、腰都相切.设右侧底角为，则 在的角平分线上，且 到底边的距离为. 在相应的直角三角形中，，解得.于是球心 到圆锥轴的距离为. 设为圆锥轴与过且平行于底面的平面的交点，则.又因为三个大球两两相切，所以，故是边长为的正三角形.由对称性可知，是的外心，于是. 从而，解得.故第一空应填. 设再放入的小球半径为，球心为.由对称性可知，在圆锥轴上.在上述截面内，小球化为一个与两腰都相切的圆.由于顶角为，且在顶角平分线上， 所以，从而.又因为，所以到底面的距离为. 在同一截面内，大球与小球相切，所以. 由前面结论可得，球心 到圆锥轴的距离为，且 到底面的距离为，因此. 于是，化简得.解得. 因为，所以.故第二空应填. 四、解答题 15. 已知函数（）,最小正周期 的范围为. （1）求的取值范围； （2）若,函数的图象关于直线对称,求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用周期范围计算即可得解； （2）结合（1）中所得可求出，再利用三角函数对称性可得，最后利用两角和的正切公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 又，函数的最小正周期为 ， 所以，则； 【小问2详解】 由，且，故 ，即， 则，解得， 则 . 16. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为 ，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. （1）当时，求 ； （2）求甲能够进入面试的概率 的最小值及相应的 值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式得甲笔试满分的概率，列方程求解；（2）甲至少答对3道题才能够进入面试，列出所有可能求出甲能够进入面试的概率表达式，利用均值不等式求最值. 【小问1详解】 由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. 【小问2详解】 由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 因为，则， 则， 整理得， 因为 ， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率 的最小值为，相应的 值为. 17. 四棱柱的底面ABCD是菱形,且, ,侧面是矩形,且M是的中点. （1）求证：平面 平面； （2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线 与平面MAB所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为菱形，， 由棱柱得平面 平面 ， 所以 。 因为是​ 中点，所以 ， 由于在 中：， 所以 ，解得：， 则 所以 ​，即 因为侧面 是矩形， 由，都在平面 内， 平面 ， 因为 ，平面， 平面  因为平面， ⇒平面  平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用边长关系可得，结合线面垂直的判定定理可得 平面 ，利用面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取的中点，连接 ，可得平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,过点作 ，可得 平面，以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为 轴建立空间直角坐标系，求出平面MAB的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接 因为 分别为 的中点， ，且， 所以四边形为平行四边形， 所以 因为侧面是矩形,所以 ， 则平面与平面所成二面角的平面角为, 过点作 ， 因为平面 平面，平面 平面 ， 由 ，所以 平面， 因为，则，， 以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以 ， ， ，， 所以， ，， 设平面MAB的一个法向量为, 则，取，则， 设 与平面MAB所成角为， 则 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）证明： （）. 【答案】（1） （2） （3）设 ， 对取自然对数，得： ， 又 ， 于是， 构造函数 ，其中， 求导得：， 当时， ，所以 在上单调递增， 则对于任意，有 ， 即 ， 而 ， 所以， 因此 ， ， 由于 ，所以 ， 从而 . 原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在点 处的导数就是该点切线的斜率，求出斜率后，再利用点斜式即可写出切线方程； （2）函数在某个区间上单调递减，意味着其导函数在该区间内恒小于等于0，我们先求导，然后分离参数，转化为求新函数的最值问题； （3）对于这类连乘小于的题目，常用的技巧是取自然对数，将乘积转化为求和，然后利用放缩法（如裂项相消）来证明和式小于1. 【小问1详解】 当 时，， 将 代入： ， 所以切点坐标为 ； 求导得： ， 将 代入导函数： ， 所以切线斜率， 所以曲线在点 处的切线方程： ， 因此，所求的切线方程为. 【小问2详解】 对求导得： ， 因为在上单调递减， 所以对于任意，都有： ， 即： ， 因为， 即：，对于任意恒成立， 令，， 对于所有，不等式 恒成立， 只需， 对 求导：， 当时， ，则 ，所以 ，函数单调递增， 当时， ，则 ，所以 ，函数单调递减， 所以 ， 所以 ， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线： （, ）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为 . （1）求双曲线的标准方程； （2）为坐标原点，点 、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆 相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和渐近线方程求出， 值，即可求出标准方程. （2）①设点，，结合的外接圆过点设出外接圆方程，再结合点在双曲线上可得；设出直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，进而得到；利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离与圆 的半径比较即可. ②分别求出和，结合得到，根据直线与双曲线相交求出的范围，即可求出的范围. 【小问1详解】 已知双曲线实轴长为，则，所以. 因为双曲线的一条渐近线为 ，即，所以，即. 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设，，则，均满足. 因为的外接圆经过点，所以可设的外接圆方程为. 所以，， 两式相减得， ，故外接圆方程为. 则，，所以. 又，，代入中整理得，， 因为，所以，所以直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，联立双曲线方程整理得， 当 时，，，， 则， 所以，即. 原点到直线的距离为，等于圆 的半径， 故直线与圆 相切. ②直线与渐近线交于，与渐近线 交于. 则. 直线与双曲线相交的弦长. 故. 由直线与双曲线相交可得，即且， 又点 、、是双曲线上不同的三点，所以，故. 当时，，即； 当时，，即， 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中2026届211（第二轮）高三数学试卷 一、单选题 1. 集合，集合，则等于 A. B. C. D. 2. 设为非零向量，则“对于任意”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数z是方程的根,则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（    ） A. B. C. 或1 D. 5. 在三棱锥中， ，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.是最常用的激活函数,下面关于表述错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B. 设X为随机变量,则 C. ,则, D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 10. 记等比数列的前项和为，已知，公比为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 是等比数列 D. 是等比数列 11. 曲线C：（ ）是优美的封闭曲线,其围成的面积记为,M是C与y轴正半轴的交点,过原点O的直线交C于点A,B,则（ ） A. B. C. 当时,的最大值是 D. 当时, 三、填空题 12. 某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是________． 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 13. 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 14. 在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____． 四、解答题 15. 已知函数（）,最小正周期的范围为. （1）求的取值范围； （2）若,函数的图象关于直线对称,求的值. 16. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为 ，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率 的最小值及相应的值. 17. 四棱柱的底面ABCD是菱形,且, ,侧面是矩形,且M是的中点. （1）求证：平面 平面； （2）若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线 与平面MAB所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）证明： （）. 19. 已知双曲线： （ , ）的左、右焦点分别为，，实轴长为，双曲线的一条渐近线为 . （1）求双曲线的标准方程； （2）为坐标原点，点、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于轴对称，的外接圆经过点. ①求证：直线与圆 相切； ②直线与渐近线交于，两点,求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $