第18章 矩形、菱形与正方形【章末复习】课件-2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月13日 章末复习 第18章 矩形、菱形与正方形 华东师大版八年级数学下册第18章 矩形、菱形与正方形练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于正方形的定义，说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 2. 正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（ ） A. AC=BD B. AC⊥BD C. OA=OB=OC=OD D. ∠OAB=60° 3. 下列图形中，既是矩形又是菱形的是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 4. 已知正方形的边长为4cm，则它的对角线长为（ ） A. 4cm B. 4√2 cm C. 8cm D. 8√2 cm 5. 下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（ ） A. 四边相等，且有一个角是直角 B. 对角线互相垂直且相等的矩形 C. 对角线互相平分且相等的菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的________叫做正方形。 2. 正方形的四条边________，四个角都是________，对角线互相________、________且相等。 3. 已知正方形的对角线长为6cm，则它的边长为________cm，面积为________cm²。 4. 正方形ABCD中，AB=5cm，则它的周长为________cm，对角线AC的长为________cm。 5. 若菱形的对角线相等，则这个菱形是________；若矩形的对角线互相垂直，则这个矩形是________。 三、解答题（共70分） 1. （15分）求证：正方形的对角线互相垂直平分且相等（结合正方形的定义与矩形、菱形的性质证明）。 2. （15分）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是OA上一点，且BE=DE，求证：AE=OE。 3. （20分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形。 4. （20分）如图，在菱形ABCD中，有一个角是直角，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF，连接DE、AF，求证：DE=AF。 四、易错点提示（附加5分） 1. 正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，牢记“有一组邻边相等的矩形是正方形”“有一个角是直角的菱形是正方形”，避免混淆判定条件；2. 正方形的对角线兼具矩形（相等）和菱形（垂直平分）的性质，计算边长时可结合勾股定理；3. 判定正方形时，需同时满足“矩形的条件”和“菱形的条件”，缺一不可。 参考答案提示： 一、1.B 2.D 3.B 4.B 5.D；二、1.平行四边形 2.相等，直角，垂直，平分 3.3√2，18 4.20，5√2 5.正方形，正方形； 三、1. 先证正方形是矩形，得对角线相等且互相平分；再证正方形是菱形，得对角线互相垂直，综上证得结论；2. 利用正方形对角线垂直平分，结合BE=DE，证△BOE≌△DOE，再结合OA=OB，得AE=OE；3. 由矩形性质得对角线互相平分且相等，结合AC⊥BD，证矩形是菱形，进而判定为正方形；4. 先证菱形ABCD是正方形，得AB=AD、∠DAB=∠ABC=90°，结合AE=BF，证△ADE≌△BAF，得DE=AF。 一、几种特殊四边形的性质 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分 5.一组对边平行且相等 1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相垂直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角 且一组邻边相等 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 复习题 A 组 1. 在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. （1）如果∠ABO + ∠ADO = 90°，那么 □ ABCD 一定是_____形； （2）如果∠AOB = ∠AOD，那么 □ ABCD 一定是____形； （3）如果 AB = BC， AC = BD，那么 □ ABCD 一定是______形. 矩 菱 正方 随堂练习 2. 如图，在矩形 ABCD 中，相邻两边 AB、AD 的长分别为 15 cm 和 25 cm，∠BAD 的平分线与边 BC 相交于点 E . 求 BE 和 CE 的长. 解: 在矩形 ABCD 中，AD∥BC， ∴ ∠DAE ＝∠AEB，BC ＝AD ＝25 cm. ∵ AE 是∠BAD 的平分线， ∴ ∠BAE ＝∠DAE，∴ ∠BAE ＝∠AEB， ∴ BE ＝AB ＝15 cm， ∴ CE ＝BC－BE ＝ 25－15 ＝10 (cm). A B D C E 随堂练习 3. 已知正方形纸片 ABCD 的一条对角线 AC 的长为 4 cm， 求该正方形的边长和面积.（长度精确到 0.1 cm） 解:设正方形的边长为 x cm，则 x2 + x2 ＝ 42， ∴ x ＝ ≈ 2.8， ∴ S正方形 ＝x2 ＝ 8 (cm2). 即正方形的边长约为 2.8 cm，面积为 8 cm2 . 随堂练习 4. 已知菱形的周长为 20 cm，两个相邻的内角的度数之比 为 1 ∶ 2，求较短的对角线长. 解:如图，在菱形 ABCD 中，AB ＝BC，AD∥BC. ∴ ∠BAD + ∠B ＝180°. 又∵ ∠B ∶ ∠BAD ＝1 ∶ 2， ∴ ∠B ＝ 60°，∠BAD ＝ 120°. 连结 AC，则△ABC 为等边三角形， ∴ AC ＝AB ＝ ＝5 (cm)， 即菱形较短的对角线长为 5 cm. 随堂练习 5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，AB = CD. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明:如图，连结 AC. 在 Rt△ABC 和 Rt△CDA中， ∵ AC ＝CA，AB ＝ CD， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△CDA， ∴ BC ＝ DA， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 又∵ ∠B ＝ 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). A B D C 随堂练习 6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，H 为边 AD 的中点，菱形 ABCD 的周长为 28，求 OH 的长. 解: ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝BC ＝CD ＝AD，AC ⊥ BD. ∵ 菱形 ABCD 的周长为 28， ∴ AD ＝ ×28 ＝ 7. ∵ H 为边 AD 的中点， ∴ OH 为 Rt△AOD 斜边上的中线， ∴ OH ＝ AD ＝ . A C B D O H 随堂练习 7. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，四边形 ABDE、 AGFC 都是正方形，求证：BG = EC. 证明: ∵ 四边形 ABDE、AGFC 都是正方形， ∴ AB ＝AE，AG ＝AC， ∠BAE ＝∠CAG ＝ 90°， ∴ ∠CAE ＝ 90°－∠BAC， ∠GAB ＝ 90°－∠BAC， ∴ ∠CAE ＝∠GAB， ∴ △ABG≌△AEC， ∴ BG ＝ EC. A B E D G C F 随堂练习 8. 如图，在 □ ABCD 中，∠DAB = 60°，AB = 2AD，点 E、 F 分别是 AB、CD 的中点. 求证：四边形 DEBF 是菱形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB ＝ CD. ∵ 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， ∴ AE ＝BE ＝ AB，DF ＝ CD，∴ BE ＝ DF . 又∵ BE∥DF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形. ∵ AB ＝ 2AD，∴ AD ＝ AE. 又∵ ∠DAB ＝60°，∴ △ADE 是等边三角形，∴ DE ＝ AE. ∴ DE ＝BE， ∴ 四边形 DEBF 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). A B C D F E 随堂练习 返回 D 1. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，添加下列条件不能使四边形ABCD是矩形的是(　　) A．∠DAB＋∠BCD＝180° B．AB2＋BC2＝AC2 C．AC＝BD D．AC⊥BD 中考考法 13 返回 2. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° C 中考考法 返回 3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB＝60°，AO＝1，则AD的长是________. 中考考法 返回 4. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用“出入相补”原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果长方形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是________. 5 中考考法 返回 5. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏．如图①就是其中一种花样，可以抽象为图②，在矩形ABCD中，LK∥IJ，EF∥GH，∠1＝∠2＝25°，则∠3＝________. 130° 中考考法 6. (8分)[洛阳期中]如图，AC＝BC，D是AB的中点，CE∥AB，AB＝2CE. (1)求证：四边形CDBE是矩形； 中考考法 (2)若AC＝5，CD＝3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长． 返回 中考考法 19 返回 7. 下列平行四边形中，根据图中标出的数据，不一定是菱形的是(　　) C 中考考法 返回 8. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝46°，用尺规作AB的垂直平分线，交BC边于点E，连结AE、AC，则∠CAE的度数为(　　) A．21° B．23° C．46° D．67° A 中考考法 返回 9. 两个含30°角的直角三角形的短直角边均为1，按如图①拼成一个矩形，将一个三角形保持不动，另一个三角形沿斜边向下移动，如图②，当四边形ABCD是菱形时，平移距离AE的长为__________. 1 中考考法 22 返回 10. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的 中点，若BD＝AC，四边形EFGH的周长为20，且HF＝6，则GE＝__________. 8 中考考法 23 11. (8分)[安阳期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB<BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF＝DE，连结AE、AF、CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； 证明：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD.∵DF＝DE， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵DE⊥AC，∴▱AECF是菱形． 中考考法 24 (2)若DE＝3，DC＝4，求AB的长． 返回 中考考法 25 返回 12. 下列说法正确的是(　　) A．四条边相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．四个角相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D 中考考法 26 返回 13. 如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF＝3，则DP＝________. 3 中考考法 返回 14. 如图，正方形ABCD的边长是6，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为________. 9 中考考法 15. (8分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，线段EF经过点O，连结BE、DF，∠ABE＝∠CDF. (1)求证：BE＝DF； 中考考法 中考考法 (2)连结ED、BF，若∠ABE＝∠ADE，请添加一个条件，使四边形BEDF为正方形，并进行证明． 解：答案不唯一，添加BE＝DE， 证明如下：设AD与BE的交点为G， 由(1)知∠EBO＝∠FDO，BE＝DF， ∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形． 在矩形ABCD中，∠BAD＝90°. ∵∠ABE＝∠ADE，∠AGB＝∠DGE， ∴∠BED＝∠BAD＝90°，∴四边形BEDF是矩形． 又∵BE＝DE，∴四边形BEDF是正方形． 返回 中考考法 31 返回 16. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连结OE，∠ABC＝60°，AC＝4，则OE的长为__________. 2 中考考法 返回 17. [兰州中考改编]如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，连结EF交对角线BD于点P.若EP＝PF＝BP，∠ADB＝35°，则∠AEP＝__________. 125°　 中考考法 33 返回 18. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线的长分别为10和24，则阴影部分的面积为________. 60 中考考法 返回 19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC、BD交于点O，P为边AD上一点，作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF的值是________. 4.8 中考考法 返回 20. 中考考法 返回 21. 在矩形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N是边AD的中点，已知AB＝6，AD＝8，当以点D、M、N为顶点的三角形是直角三角形时，DM的长为________. 中考考法 证明：∵AC＝BC，D是AB的中点， ∴DB＝AB，CD⊥DB.又∵AB＝2CE，∴DB＝CE. 又∵CE∥AB，∴四边形CDBE是平行四边形． 又∵CD⊥DB，∴四边形CDBE是矩形． 解：由(1)知CD⊥AB，∵BC＝AC＝5，CD＝3， ∴在Rt△CDB中，BD＝＝＝4. ∵DF⊥BC，CD⊥DB，∴S△BCD＝BD·CD＝BC·DF， ∴BD·CD＝BC·DF，∴4×3＝5DF，解得DF＝. 解：∵四边形AECF是菱形，DE＝3，DC＝4， ∴EF＝2DE＝6，AC＝2DC＝8. ∵DE⊥AC，∴在Rt△EDC中，EC＝＝＝5.∵∠ABC＝90°，∴S菱形AECF＝EF·AC＝AB·EC， 即×6×8＝AB×5，∴AB＝. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝DO，AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB. 又∵∠ABE＝∠CDF，∴∠EBO＝∠FDO. 在△EBO与△FDO中， ∴△EBO≌△FDO，∴BE＝DF. [内江中考]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为，点E在边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为________. 5或 $