18.3 正方形 课件- 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月13日 18.3 正方形 第18章 矩形、菱形与正方形 华东师大版八年级数学下册18.3正方形练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于正方形的定义，说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 2. 正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（ ） A. AC=BD B. AC⊥BD C. OA=OB=OC=OD D. ∠OAB=60° 3. 下列图形中，既是矩形又是菱形的是（ ） A. 平行四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 4. 已知正方形的边长为4cm，则它的对角线长为（ ） A. 4cm B. 4√2 cm C. 8cm D. 8√2 cm 5. 下列条件中，不能判定四边形ABCD为正方形的是（ ） A. 四边相等，且有一个角是直角 B. 对角线互相垂直且相等的矩形 C. 对角线互相平分且相等的菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的________叫做正方形。 2. 正方形的四条边________，四个角都是________，对角线互相________、________且相等。 3. 已知正方形的对角线长为6cm，则它的边长为________cm，面积为________cm²。 4. 正方形ABCD中，AB=5cm，则它的周长为________cm，对角线AC的长为________cm。 5. 若菱形的对角线相等，则这个菱形是________；若矩形的对角线互相垂直，则这个矩形是________。 三、解答题（共70分） 1. （15分）求证：正方形的对角线互相垂直平分且相等（结合正方形的定义与矩形、菱形的性质证明）。 2. （15分）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是OA上一点，且BE=DE，求证：AE=OE。 3. （20分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形。 4. （20分）如图，在菱形ABCD中，有一个角是直角，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF，连接DE、AF，求证：DE=AF。 四、易错点提示（附加5分） 1. 正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，牢记“有一组邻边相等的矩形是正方形”“有一个角是直角的菱形是正方形”，避免混淆判定条件；2. 正方形的对角线兼具矩形（相等）和菱形（垂直平分）的性质，计算边长时可结合勾股定理；3. 判定正方形时，需同时满足“矩形的条件”和“菱形的条件”，缺一不可。 参考答案提示： 一、1.B 2.D 3.B 4.B 5.D；二、1.平行四边形 2.相等，直角，垂直，平分 3.3√2，18 4.20，5√2 5.正方形，正方形； 三、1. 先证正方形是矩形，得对角线相等且互相平分；再证正方形是菱形，得对角线互相垂直，综上证得结论；2. 利用正方形对角线垂直平分，结合BE=DE，证△BOE≌△DOE，再结合OA=OB，得AE=OE；3. 由矩形性质得对角线互相平分且相等，结合AC⊥BD，证矩形是菱形，进而判定为正方形；4. 先证菱形ABCD是正方形，得AB=AD、∠DAB=∠ABC=90°，结合AE=BF，证△ADE≌△BAF，得DE=AF。 1.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重、难点) 2.探索并证明正方形的判定；(重、难点) 3.会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点) 学习目标 观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 我们已经学了矩形和菱形，想一想它们怎么才能变成正方形？ 5 cm 8 cm 5 cm 一组邻边相等 矩形 正方形 一个角是直角 菱形 正方形 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形的定义： 根据定义，你能猜想正方形具有哪些性质？ 猜想：1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 2. 正方形对角线相等且互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角. 尝试证明 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四条边都相等，四个角都是直角. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A = 90°，AB = AD（正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形， 所以四边形 ABCD 是矩形（矩形的定义）， 且四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义）. ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AB = BC = CD = AD. A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交与点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC ⊥ BD. 证明：在四边形 ABCD 中， ∵正方形是矩形， ∴AO = BO = CO = DO. 又∵正方形是菱形， ∴AC ⊥ BD. A B C D O 动手操作 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？ 是轴对称图形， 有 4 条对称轴. 归 纳 边 角 对角线 对称性 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 对角线相等且互相垂直平分 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直平分 对角线相等且互相平分 四个角都是直角 对角相等 对角相等 对边平行，四条边相等 对边平行，四条边相等 对边平行且相等 中心对称 轴对称、 中心对称 轴对称、 中心对称 轴对称、 中心对称 例 1 如图，已知正方形 ABCD . 求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小. A B C D O 分析：由正方形的特殊性质， 易证△ABO≌△CBO， 从而可得∠ABD = ×90°= 45°， 同理可得∠DAC = 45°. 可知∠DOC = 90°. 老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形. 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务.这种检验可信吗？ 讨 论 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形.这种检验对吗？ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线段，发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形. A B C D O 你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下. 思 考 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 （　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 随堂练习 3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °. 4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 °. A D B C O A D B C O E 45 90 22.5 第3题图 第4题图 45 随堂练习 5. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB = BC (答案不唯一) A B C D O 6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）． ②③或①④ 随堂练习 7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长． 解：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC. ∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE. ∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE. 在 Rt△ABC 中， ∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm． 随堂练习 返回 D 1. [成都中考]下列命题中，假命题是(　　) A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 中考考法 19 返回 2. 8 已知正方形的对角线长为4 cm，则这个正方形的面积是________cm2. 中考考法 返回 3. 3 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为________. 中考考法 返回 4. (2，4) 如图，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，O是AB的中点，则点C的坐标为__________. 中考考法 返回 5. 30° 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠DBE＝________. 中考考法 返回 6. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°. ∴∠ABE＋∠CBE＝90°. ∵AE⊥BG，CF⊥BG， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠ABE＋∠BAE＝90°. ∴∠BAE＝∠CBE.∴△ABE≌△BCF. ∴BE＝CF，AE＝BF. ∵BF－BE＝EF，∴AE－CF＝EF. (4分)如图，在正方形ABCD中，G是边CD上一点，AE⊥BG于点E，CF⊥BG于点F，求证：AE－CF＝EF. 中考考法 返回 7. D 下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是(　　) A．对角线相等且互相垂直 B．一组邻边相等且有一个角是直角 C．对角线相等且一组邻边相等 D．对角线互相平分且有一个角是直角 中考考法 正方形的定义和性质 定义 性质 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 四个角都是直角 四条边都相等 对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 课堂小结 $