精品解析：山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三下学期5月模块诊断（总第十七次）数学试题

山西大学附中 2025～2026学年第二学期高三5月模块诊断（总第十七次） 一、单选题 1. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【详解】因为 ，所以 ，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足 ，D错误； 故选：C. 3. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解. 【详解】由题意知，，，所以 所以， 故选：D. 4. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程必过样本中心建立方程，解方程即可求出结果. 【详解】由回归直线过样本中心点，得， ，代入，得， 方程两边同时乘5，得. 故选：D． 5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用降幂公式整理可得，结合图象变换运算求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 结合选项可知A正确. 故选：A. 6. 已知随机事件A，B，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 7. 已知焦点分别在轴上的两个椭圆，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆的离心率分别是，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，进而得到，从而结合不等式的性质与对勾函数的性质即可得解 【详解】依题意，设椭圆对应的参数为，椭圆对应的参数为， 则，所以， 又因为，即，，则， 即，得，，即， 令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，故. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是依题意得到，从而得到，结合不等式的性质与对勾函数的性质即可得解. 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的对称性，求出数列的通项公式，再利用数列性质及函数对称性求和可得结果. 【详解】因为函数的定义域为 ， 且， 所以函数的图象关于点 成中心对称， 所以，若 ，则. 由，得当时，， 两式相减得，整理得，即， 因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有， 所以数列为常数列，故，即， 由得数列是等差数列， 所以， 故， 所以. 故选：B. 二、多选题 9. 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线 距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，求得圆心坐标可判定A；求得圆心到直线的距离，结合圆的性质可判定B；根据圆的切线长公式可判定C，连接，设，和，结合正弦的倍角公式，以及基本不等式可判定D. 【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确； B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线 最大距离为，正确； C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错误； D，如图所示，连接，则，设，则 在直角 中，设，则，且， 因为， 令，则，则， 又因为，当且仅当时，即 时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为，正确. 故选：ABD 10. 设函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 直线， 与曲线的公共点个数不相等 D. 斜率为 的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项运用奇函数的定义进行运算判断即可；B选项根据函数的导函数的正负性进行判断即可；C选项根据函数的单调性，结合B的结论进行判断即可；D选项根据函数的导函数解析式，结合配方法进行判断即可. 【详解】对于A，， 令，函数定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数，所以A选项正确； 对于B，， 当时，单调递减，所以B选项不正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递减， 当，或时，单调递增， 因为，当时，， 当时，， 所以直线， 与曲线的公共点个数分别为和， 所以C选项正确； 对于D，设斜率为-12的直线方程为， 联立，消去得， 即， 令，， 当且仅当时取等号，所以在R上单调递增， 当时，；当时，， 根据单调函数的性质，与轴有且仅有一个交点， 所以斜率为 的直线与曲线有且仅有一个公共点，所以D选项正确. 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得结合得到，再利用诱导公式算出的每个角度，由此可以判断A，B选项；通过正弦定理结合三角形面积公式算出C选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D选项. 【详解】在中，，故， 代入原式得：  ， 又，，将其代入 式得 ， 因为三角形中，又由， 而在三角形中，故， 即为钝角，故，因此只能，即，得，， 所以 ，， 将上述等式代入得， 解得，得，，，因此，故选项A正确，B错误； 设外接圆半径为，由正弦定理得，，， 面积，得，选项C正确； ，选项D正确. 三、填空题 12. 已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后利用向量的夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，进而求得其正切值. 【详解】， 所以，设向量与的夹角为， 则， 由于，所以，所以. 13. 已知抛物线的焦点为，准线 与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合已知建立方程，再利用给定的三角形面积列式求解. 【详解】抛物线，焦点为，准线为， 准线与x轴交点，； 设，由抛物线定义可得，且满足， 由于，则， 即， 故，可得，即得， 结合，可得， 的面积为2，故，即，解得. 14. 已知点 均在半径为的球的球面上，，，则四面体的体积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形条件及基本不等式确定底面三角形面积的最大值；然后通过球面几何与余弦定理分析定点距离约束下动点的轨迹特征，再结合对称性确定点到底面距离取最大的几何位置；最终将面积与距离的最值结合，求出四面体的最大体积. 【详解】如图所示，由题意可知，点在以为直径的截面圆上运动， 则，可得，当且仅当时取等号． 连接 ，在 中，， 由余弦定理可得，则，， 则点的轨迹是以直线为中心轴的圆锥与该球面的截面圆， 其半径，且． 当时，，， 此时过点，作 平面于点．根据对称性，垂足必在上， 因为，所以，则， ， 当点到平面的距离最大时，， 故四面体的体积的最大值为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角的对边分别为 ，已知. （1）若 成等差数列，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解； （2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解. 【小问1详解】 因为 成等差数列，所以， 又，所以①， 在中，由余弦定理可得：， 又，所以②， 由①②得， 所以的面积. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为 且，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 又因为 ，所以，所以，所以， 所以. 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的方程，求解首项和公差即可解题； （2）由（1）确定通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立， 必有， 所以，解得 所以 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 . 17. 2026年央视马年春晚节目《武BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼.研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为0.9；在落地环节，机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为0.8；若空翻转体未完成，则稳准落地的概率为0.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响. （1）如果随机抽取3个机器人，记为完成空翻转体的机器人人数，求的分布列及数学期望； （2）如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望为 2.7 （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，利用二项分布求分布列和期望即可； （2）设相应事件，利用全概率公式可得，结合条件概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：，则有： ； ； ； ； 则的分布列为： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望为. 【小问2详解】 设事件为“一个机器人空翻转体完成”，事件为“一个机器人稳准落地”. 则，，，， 由全概率公式可得：， 所以. 18. 函数. （1）当时，求函数在的单调区间； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，令，利用导数求得在单调递增，得到在单调递增，结合，即可求解； （2）根据题意，转化为有解，令，得到有解，构造函数，求得，得到的单调性和最小值，再结合函数为单调递增，即可求解. （3）根据题意，转化为有两个不同的解，由（2）得到，求得化简得到，令，求得，令，利用导数求得为增函数，得到 ，得到在递增，求得，即可得到答案. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即 ， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得 ， 当 时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以 恒成立，所以在单调递增， 可得， 又因为 时，，所以. 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当 时，截线是抛物线；当 时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且 为弧的中点，点满足，点为线段的中点； （1）求直线与平面 所成角的大小； （2）平面 与圆锥的截线记为曲线，在平面 内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设 为曲线上两动点，若 的平分线与轴垂直，求证：直线 的斜率是定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2）① ；②易知直线 的斜率存在，设其方程为 ， 联立 得 ， 设点 ，由韦达定理与点坐标，则， 的平分线与轴垂直，故直线 与直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为 ， 设点 ，同理可得， 故直线 的斜率为，是一个定值. 【解析】 【分析】（1）由题设建立适当空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量即可由向量夹角余弦公式计算求解 ，进而得解； （2）①先由题设结合（1）得到曲线是椭圆，由求出，接着求出点在平面 内的坐标，由点在曲线上求出 即可得解； ②设直线 的方程为 ，与椭圆联立求出韦达定理，设点 ，由韦达定理与点坐标求出，同理求出点 中的，即可计算直线 的斜率是一个定值. 【小问1详解】 由题设以为原点，分别以所在直线和正方向为轴､轴､ 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 故 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则，令，则 故，则， 故直线与平面 所成角的大小为. 【小问2详解】 ①由（1）知，直线与圆锥母线所成的角为，且，故曲线为椭圆， 设该椭圆的方程为 ，故 ； 由（1）可得 ，设与的交点为 ， 则 ， 易得 ，即 ，且， 设的中点为，易得 ，故 ， 故点在平面 内的坐标为 ， 因为点在曲线上，故有 ， 故曲线的标准方程为 . ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2025～2026学年第二学期高三5月模块诊断（总第十七次） 一、单选题 1. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“ ⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 4. 若变量线性相关，由数据求得回归方程为，则下列结论一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件A，B，若，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知焦点分别在轴上的两个椭圆，且椭圆经过椭圆的两个顶点与两个焦点，设椭圆的离心率分别是，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 二、多选题 9. 点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 10. 设函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数是奇函数 B. 在区间上单调递增 C. 直线 ， 与曲线的公共点个数不相等 D. 斜率为 的直线与曲线有且仅有一个公共点 11. 已知 的面积为，若，，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为1 D. 三、填空题 12. 已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 13. 已知抛物线的焦点为 ，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 14. 已知点 均在半径为的球的球面上，，，则四面体的体积的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 记 的内角的对边分别为，已知. （1）若成等差数列，求 的面积； （2）若，求. 16. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 2026年央视马年春晚节目《武BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼.研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为0.9；在落地环节，机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为0.8；若空翻转体未完成，则稳准落地的概率为0.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响. （1）如果随机抽取3个机器人，记为完成空翻转体的机器人人数，求的分布列及数学期望； （2）如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率. 18. 函数. （1）当时，求函数在的单调区间； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当 时，截线是抛物线；当 时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且 为弧的中点，点满足，点为线段的中点； （1）求直线与平面 所成角的大小； （2）平面 与圆锥的截线记为曲线，在平面 内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设 为曲线上两动点，若 的平分线与轴垂直，求证：直线 的斜率是定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $