山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 高中数学月考卷立足基础知识与核心素养，通过复数、函数、立体几何等知识，设置选择、填空、解答题梯度，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，如概率题结合商场闯关情境，导数题深化逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、函数奇偶性、排列组合|基础概念辨析，如复数象限判断| |多选题|3/18|不等式性质、函数单调性、抛物线|多选项分层考查，如函数对称性判断| |填空题|3/15|百分位数、双曲线焦点、三角函数|统计与解析几何结合，如双曲线焦点计算| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率、圆锥曲线、导数|综合应用，如概率闯关情境、导数极值与证明|

报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高三数学试题 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考号 [o] [0] [0] [o] [0] [o] [o] [o] [0] 缺考标记 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 口 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] 「31 [3] [3] [3] [3] 送只 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] 可 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7 [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 客观题(1~8为单选题：911为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. ■ 13. 14. 解答题 15 囚囚■ 16. 囚囚■ ■ 17. D B ■ ■ 18. I 囚■囚 囚■囚 61 ■ 口 ■ 数 学 试 题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，集合，则（  ） A． B． C． D． 3．已知，．若，则（  ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（  ） A．40个 B．48个 C．52个 D．64个 6．已知，则等于（  ） A． B． C． D． 7．已知数列为等差数列，首项为1，公差为2，数列为等比数列，首项为1，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的最大整数值为（  ） A． B． C． D． 8．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 10.已知定义域为的函数，则（  ） A．存在实数，使函数的图象是轴对称图形 B．存在实数，使函数为单调函数 C．对任意实数，函数都存在最小值 D．对任意实数，函数都存在两条过原点的切线 11.已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D.的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 13．设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则__________． 14．已知函数，，过点，直线为其中一条对称轴，且在上单调，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求的值；(2)若，求边上的高． 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 17.某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设两类关卡，两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定类关卡闯关成功一次得20分，类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 18．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点的轨迹方程； (2)设直线与第(1)问的曲线交于不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为，设是圆上的动点，当变化时，求的最大值； (3)设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 19.已知函数,记. （1）求的单调区间与极值； （2）(i)证明：，都有； (ⅱ)记为函数的正零点从小到大依次排列成的一个数列，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 试 题 答 案 一、单选题 1．A【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 2．D【详解】根据交集的定义可知，. 3．B【详解】因为，且，则，即. 4．D【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 5．C【详解】三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4 若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为； 若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种； 若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种. 则满足题意的偶数共有：种.故选：C 6．C【详解】由题意得， 所以. 7．C【详解】由数列为等差数列，首项为1，公差为2，可得， 又由数列为等比数列，首项为1，公比为2，可得， 因为， 所以数列的前项和， 又因为，所以单调递增， 当时，可得， 所以当时，的最大整数值为. 8．C【详解】设圆锥与半球的底面半径为R，圆锥的高为h，母线长为，轴截面的顶角为. 则由可得，即. 所以圆锥的母线长， 则由余弦定理可得， 所以圆锥轴截面顶角的余弦值是，故其正弦值是. 二、多选题 9．AB【详解】对于A，因为，故，，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，不妨取，则，因为，即，故C错误； 对于D，因为，所以为单调递增函数，又因为，所以，故D错误. 10. ACD【详解】对于A，当时，是R上的偶函数， 函数的图象有对称轴y轴，则函数的图象是轴对称图形.判断正确； 对于B，，值域为R， 至少有一个变号零点，∴不可能为单调函数，判断错误； 对于C，当以及时，均， 由在R上连续，∴中间必存在最小值. 判断正确； 对于D，设切点， ，则 ∴在处切线方程为 ∵它过原点，∴，即 由有两解：或 可得，对任意实数，函数存在两条过原点的切线. 判断正确. 11. BCD【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，准线方程为， 圆圆心坐标为，半径为. 对于A：所以本选项说法错误； 对于B：因为，所以，所以本选项说法正确； 对于C：设直线为，， 由，得，因为，所以，直线的方程为，所以点的坐标为，因为，所以点的坐标为，而点的坐标为，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，所以，因此本选项说法正确； 对于D：设，由选项C可知，且， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，所以D正确. 三、填空题 12．4.05【详解】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 13．2【详解】由双曲线的方程可得：双曲线的实半轴长设半焦距,则, 由双曲线的定义可得,所以, 在中，由余弦定理得, 即, 解得：,故答案为：2. 14．5【详解】函数的最小正周期， 由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线， 得，解得，则， 由在上单调，得，即，因此， 解得，而，于是，则有， 当时，，， 由，得， 而，则，， ，直线为图象的一条对称轴，符合题意， 当时，，函数在上单调递减，符合题意，所以的最大值为5. 四、解答题 15．【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 3分 得到，故. 7分 （2）由（1）可知，因为，所以，， 9分 设边上的高为，则，可得， 故边上的高为． 13分 16．【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 2分 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以为的中点. 6分 （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 9分 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以．15分 17.【详解】（1）设事件表示“第i次选择的是A”，事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ，， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为. 6分 （2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ， 10分 设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元. 由题知，，故， 所以，商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 15分 18．【详解】（1）设 ，依题意有 ， ，即， 整理得：或. 4分 （2）不失一般性，令， 当时，，即圆D的半径为，当最大时， 必有，，当 时，， 当时， ，当 时，， 在时，取最大值=. 10分 (3)设，因，当时，有, 由弦长公式得， ， ∴，， 此时，点P的坐标为或. 17分 19.【详解】（1）已知函数的定义域为，且， 由可得，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 故的极大值为,无极小值. 4分 （2）（i）要证，即证，对 恒成立. 令，则， 设，，则， ①当时，，则在上单调递增，而， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 故，即时，. ②当时，，，则, 综上，当时，，即得证. 10分 （ii）由（i），，则由，即， 当时，恒成立，此时无零点， 当时， ①若，即当时，由（i）知在上单调递增，在上单调递减， 而，故存在，使， 当时，，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 而，故， ②当时， 由①同理可证：， 由①②有， 因为是的零点，故，即， 因为在上单调递减，， 所以，所以，即， 因为， 而， 所以， 故. 17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $