命卷大赛 山西省2025-2026学年第二学期高三模拟数学试题（三）

**基本信息** 以洛书文化情境和原创面积最值问题为亮点，覆盖集合、复数、统计、立体几何等核心知识，通过多梯度问题设计考查数学眼光、思维与语言，适配高三月考综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算、复数虚部、向量投影、统计回归|第5题结合洛书文化考查排列组合，体现数学文化传承| |多选题|3/18|空间向量共线共面、概率事件关系、导数极值|第11题通过导函数分析极值点，强化逻辑推理| |填空题|3/15|函数对称中心（原创）、椭圆离心率、解三角形范围|第12题原创函数对称中心问题，考查抽象能力| |解答题|5/77|函数切线与单调性、统计直方图、立体几何二面角、椭圆定点、外接球截面|第19题结合“二分球族”探究外接球截面面积，培养创新意识与数学表达|

2025-2026学年第二学期高三年级模拟试题（三） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3. 已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 4．已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5. 如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，组成无重复数字的四位偶数，这样的偶数有（    ）个 A．360 B．540 C．720 D．1440 6．（原创题）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，求的面积的最大值（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，底面为矩形，，且，记二面角为，直线与底面所成的角为，若，则的值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则（    ） A． B． C． D． 11．.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12．（原创题）的对称中心是___________ 13．已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. 14．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 17. 如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 18．如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． (1)求的最大值； (2)动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； 19．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高三年级模拟试题（三） 双向细目表 考查范围：集合与常用逻辑用语、复数、等式与不等式、数列、三角函数与解三角形、平面向量、 平面解析几何、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 考查集合的基本运算 2 容易 在考虑考察复数的基本运算，复数学的模长 3 容易 向量的基本运算，投影向量 4 容易 经验回归方程，求参数的取值 5 容易 简单的排列组合问题，考察技术原理的应用。 6 适中 利用这正余弦定理求三角形面积的最大值 7 适中 函数的性质，对称性、周期性的应用 8 困难 立体几何中空间计空间角的计算 二、多选题 9 适中 向量的基本概念包括共线向量、共面向量、基底 10 适中 考查事件的运算，包括对立事件、事件积事件 11 困难 求导公式的逆运算，通过导函数来研究函数的性质 三、填空题 12 容易 求一个函数的对称中心 13 适中 椭圆性质的应用，求椭圆的离心率 14 困难 锐角三角形限制条件下，求一个表达式的取值范围 四、解答题 15 适中 导数的基本应用求切线方程以及单调区间 16 适中 频率分布直方图求平均数、方差以及百分位数 17 适中 利用三角函数求角度的大小。 18 困难 椭圆的综合问题，求直线过定点 19 困难 立体几何的综合题与数列相结合。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高三年级模拟试题（三） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得集合， 所以集合，所以. 2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数的运算可得，即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 2．设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即.故选：B． 4．已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，且过点，所以，解得. 5．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，组成无重复数字的四位偶数，这样的偶数有（    ）个 A．360 B．540 C．720 D．1440 【答案】C 【详解】因为五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，所以阳数有1、3、5、7、9，阴数有2、4、6、8， 因为从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，所以选法有种， 因为要组成无重复数字的四位偶数，所以只需要个位是偶数，而十位、百位、千位没有限制，所以排法有种， 故满足条件的偶数共有个. 4．若，，则（   ） A． B．2026 C．4050 D．4051 【答案】A 【分析】发现自变量互为倒数时函数值之和为定值，从而应用分组求和两两配对计算即可. 【详解】因为，又， 且， 所以． 6．（原创题）记的面积为S，的外接圆半径为1，且，求的面积的最大值（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得， 代入得. 由余弦定理得， 又，所以，化简得， 因为，所以. 7．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 8．在四棱锥中，底面为矩形，，且，记二面角为，直线与底面所成的角为，若，则的值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】取、中点E、F，证得平面，过点P在平面内作垂足为点O，证得平面，结合线面角、二面角的定义及已知求出相关边，进而列方程求. 【详解】 分别取、中点E、F，因为，则， 在矩形中，，，平面， 所以平面，则， 过点P在平面内作垂足为点O， 所以，，平面，则平面， 连接，所以直线与平面所成角为，于是． 设，则，，于是，，， 所以，则， 所以，解得或． 1．已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】利用任意向量都与共线来判断A，利用共面定理来判断B，利用空间四点共面定理来判断C，利用空间基底来判断D. 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 10．（2026·重庆·模拟预测）将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能被3整除”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题设可得样本空间中样本点的总数为， 而中样本点的个数为，中样本点的个数为， 对于A，由古典概型的概率公式得，， 故，故，故A正确； 对于B，中样本点的个数为，故， 而，故B错误； 对于C，中样本点的个数为，故， 故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11．.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 【答案】BCD 【分析】令，利用导数求解其单调性，根据极值点的概念判断AB；根据单调性比较大小判断CD. 【详解】令，则， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以在时，取得极大值，无极小值，故A错误，B正确； 因为在和上单调递减， 所以，所以，即， ，所以，即，故CD正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 12．（原创题）的对称中心是___________ 【答案】 13．已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【分析】依托椭圆定义，结合等腰三角形性质与三角形中位线定理可直接建立与长半轴的等量关系，结合已知椭圆中即可求出，进而计算离心率. 【详解】∵ 椭圆方程为（），根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，都有. ∵ 点满足，且， ∴ ，即为等腰三角形，. ∵ 于，等腰三角形三线合一， ∴ 为线段的中点. ∵ 是坐标原点，椭圆焦点关于原点对称，即是的中点， ∴ 在中，是三角形中位线. ∴ . ∵ ，∴ . ∴ ，得. ∴ . 14．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围. 【详解】在锐角中，由，有， 法一：有余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，故，所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【详解】（1）当时，， 2分 ，则， 4 分 又，∴曲线在点处的切线方程为． 6分 （2），， 9分 ，，由，得，由，得． 12分 的单调递增区间为，单调递减区间为． 13分 16．某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【解】（1）由题意得：，解得， 2分 设第60百分位数为，则， 4分 解得，第60百分位数为85. 6分 （2） 由题意知，落在区间内的数据有个， 8分 落在区间内的数据有个. 10分 由题意，，则. 12分 根据方差的定义， 14分 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 15分 17．如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 【详解】（1）由题意知，则， 3分 所以； 6分 （2） 设，，，，则， ． 由的周长为2可得，即， 8分 两边同时平方可得，化简得． 10分 所以 12分 ． 14分 又因为，所以．所以． 15分 18．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)当F为中点时，平面与平面所成二面角夹角的余弦值为． （i）求的长度； （ii）有系列“二分球族”其中为中点，为中点，……，为中点，平面截三棱锥的外接球的图形为，的面积为，其中，2，……，n，请问数列中是否存在3项成等差数列，请说明理由． 【解】（1）证明：平面  平面， ∴平面平面， 2分 又∵平面平面，且， 平面，又平面，故． 4分 在中，，E为线段的中点，则． 因为平面，平面，，平面． 平面，∴平面平面． 5分 （3） （i）易知，，两两垂直，以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，，， 6分 ，， 设为平面的一个法向量． 故即取， 8分 取为平面的一个法向量． ，解得，故． 10分 （ii）如图，取中点，作于． 由，所以满足． 则为三棱锥的球心，其中，2，…，n． 11分 因为，则，则平面， 则为三棱锥的外接球与相交的圆的圆心，为半径 由，则， 所以圆的面积， 13分 假设存在m，n，且使得，，成等差数列，则，15分 即化简可得 因为，，所以为偶数，即（*）式不成立， 所以数列中不存在3项成等差数列． 17分 19．如图，已知椭圆，A，B分别是椭圆的左右顶点，，，P为椭圆上动点． (1)求的最大值； (2)动点T满足，过T作于H，线段交椭圆于点M，过A作交椭圆于点N．求证：直线过定点； (3)如图，是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成个棱长为的小立方体放在盒子中摇匀，点从点出发沿椭圆曲线在，，，四点顺时针或逆时针跳动，跳动规则如下：从一个字母沿椭圆曲线顺时针或逆时针跳动到下一个字母为次跳动，从盒子中有放回的抽取个小立方体为次操作，抽到三面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到六个面均没有涂红色的小立方体逆时针跳动次，抽到一面涂红色的小立方体顺时针跳动次，抽到两面涂红色的小立方体逆时针跳动次，求经过次操作后点在的概率为多少？ 【详解】（1）设，根据题意，，且，， 2分 ， 4分 当且仅当或等号成立， 所以的最大值为． 5分 （2）设，，，直线， 因为动点满足，则点在以为直径的圆上运动，则， 又，所以，则． 的斜率，因为，则的斜率． 所以此时的斜率， 则．所以，①     7分 将代入①式， 整理得，② 联立直线方程与椭圆方程，得． ，即．③ ，， 9分 代入②式得， 化简得，解得（舍去），或，满足不等式③成立． ∴直线方程为，直线过定点． 10分 （3）由题意，盒子中三面涂红色的小立方体有8个，每次抽到后顺时针跳动1次的概率为， 盒子中六个面没有涂红色的小立方体有8个，每次抽到后逆时针跳动1次的概率为， 盒子中一面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后顺时针跳动2次的概率为， 盒子中两面涂红色的小立方体有24个，每次抽到后逆时针跳动2次的概率为， 设经过次操作后点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 设点在处为事件，， 易知，由对称性知，即， 11分 计算得， 而， 12分 即，④ 又，代入④式得， 即，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 14分 所以，即， 15分 又，即，⑤ 将，代入⑤式得， 即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 16分 所以. 17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $