精品解析：山东省青岛第二中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

青岛二中2025-2026学年第二学期期中考试 高二试题（数学） 命题人：程志 高磊 刘硕 宋子晨 审核人：程志 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在的展开式中，含的系数是（ ） A. 35 B. 34 C. 30 D. 15 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001 D. 没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联 5. 甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（ ） A. 15个 B. 27个 C. 28个 D. 36个 8. 已知正实数满足和，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 当取最大值时，或2 10. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ） （注：若，则） A. B. 在上是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于事件，则__________. 13. 某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌（正面为金色边线，反面为银色边线），如图所示.现给团牌的正反两面的6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为__________. 14. 已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求. 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了3月至7月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 3月 4月 5月 6月 7月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出关于的经验回归方程，并估计月该款迎宾机器人的销量； （2）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元/个的补贴.已知甲､乙两所学校各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为和，若两所学校享受补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围. 参考信息： 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别） （1）若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； （2）若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球. （i）求从乙箱中取出的球是白球的概率； （ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率. 19. 已知函数 （1）若函数单调递增，求实数的取值范围： （2）若函数有3个零点； （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中2025-2026学年第二学期期中考试 高二试题（数学） 命题人：程志 高磊 刘硕 宋子晨 审核人：程志 时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知关于的一组数据中，，若与的回归直线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得样本中心点，将其代入到回归直线方程即可求解. 【详解】由题意得样本中心点为，代入到回归直线方程得， 解得. 2. 在的展开式中，含的系数是（ ） A. 35 B. 34 C. 30 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用二项式定理计算出原多项式中每一项展开后的系数，最后将这些系数相加求得总和. 【详解】由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 由得，令，此时系数为， 最终含的系数是. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再求导函数，最后解出导数小于0的不等式并与定义域取交集即可得出单调递减区间. 【详解】由题意得， 令，则，解得, 因为，最终有. 4. 青岛二中为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生，调查他们参与科技类､文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如图所示，经计算得到.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值，下列说法正确的是（ ） 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则参加科技类的学生有8人 B. 在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C. 依据的独立性检验，即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001 D. 没有的把握认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，在调查的高一学生中，科技类占比为0.6，若按比例分层随机抽样抽取20人， 则参加科技类的学生应为人，故A错误； 对于B，在调查的高二学生中，选择文艺类的人数为人， 选择科技类的人数为人， 选择文艺类比选择科技类的学生多人，故B错误； 对于C，因为，依据的独立性检验， 即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.001，故C正确； 对于D，当时，，依据的独立性检验， 即年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推断犯错的概率不大于0.01，故D错误. 5. 甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 6. 若从的二项展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用二项式展开求得有理项的个数，结合超几何分布的分布列与均值公式即可求解. 【详解】由可得，当为整数时，该项为有理项， 因为且，所以当时，分别为2，0，是整数， 即有理项有3项， 的取值为， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 P 则 7. 我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（ ） A. 15个 B. 27个 C. 28个 D. 36个 【答案】C 【解析】 【分析】用隔板法即可求解 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 个安康数. 法二：等价于从左到右三份分别对应 且 ， 若 ，则 ，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有 个安康数.∴选C 8. 已知正实数满足和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，， 即， 令，因为且，则， 则，由，可得在上单调递增， 则，故； 又由可得，则， 故. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 当取最大值时，或2 【答案】ABD 【解析】 【详解】，，选项A正确. ，选项B正确. ， ，选项C错误. ，，或时，取得最大值，D选项正确. 10. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解 【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为， ，所以为等比数列，C错误； 为首项是，公比是的等比数列， ，故A正确； 前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率， ∴传到乙手中共有11种传法，B正确； ，显然， ，D正确. 11. 已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（ ） （注：若，则） A. B. 在上是增函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小， 在上是减函数，B错误； 对于，根据对称性，将替换为， 即， 图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，，根据对称性得， 因此，即。 关于（）对称，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于事件，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据两个事件并集的概率公式和的值即可求出， 【详解】已知，由条件概率公式，得， 又因为，根据两个事件并集的概率公式， 得. 13. 某科学社团设计了一块正反面内容相同的双面团牌（正面为金色边线，反面为银色边线），如图所示.现给团牌的正反两面的6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色，则不同的涂色方法的种数为__________. 【答案】18 【解析】 【分析】先分类讨论使用两种或三种颜色，结合分类加法与分步乘法计数原理依次讨论即可. 【详解】不妨将图象从上到下分为三个区域， 第一种情况：使用两种颜色， 此时一、三区域同色，3种颜色选1种，二区域从剩下2种颜色中选一种， 即正面有种涂法， 因为同一区域的两面不同色，且两面均不使用另一面未用过的颜色， 所以对应反面仅一种涂法，所以该种情况有种涂法， 第二种情况：使用三种颜色， 正面有种涂法，反面全错排共2种涂色方法； 所以该种情况有种涂法， 所以总共种. 14. 已知数列满足，其中为函数在上的极值点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到，由，得到，且，求得，得到，代入计算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为为的极值点，可得， 又因为且，所以， 令函数，可得，所以在上单调递增， 所以，则， 又因为，所以， 所以， 因为，所以 代入可得. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求的值； （2）若，求. 【答案】（1）8 （2）0 【解析】 【分析】（1）利用排列数和组合数的展开公式将原等式化简为一元二次方程，结合定义域即可求解； （2）用赋值法，分别令求出所有项的系数之和，令求出常数项，两者相减即可求解. 【小问1详解】 由题意得,,且， 且，所以有， 整理得，解得或（舍）， 【小问2详解】 令，得； 令，得. 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了3月至7月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 3月 4月 5月 6月 7月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出关于的经验回归方程，并估计月该款迎宾机器人的销量； （2）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放元/个的补贴.已知甲､乙两所学校各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为和，若两所学校享受补贴总金额的期望不超过元，求的取值范围. 参考信息： 【答案】（1），千台 （2） 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到月对应的值，代入可得月该款迎宾机器人的销量； （2）利用概率的加法和乘法公式算出各种情况的概率，计算得到期望的表达式，根据约束条件得到的范围. 【小问1详解】 因为， ，， 所以 所以，故经验回归方程为， 月对应的值为，当时，千台， 故可估计月该款迎宾机器人的月销量为千台； 【小问2详解】 解法一：设甲､乙两学校购买迎宾机器人的个数之和为，则的所有可能取值为， ，，， 所以， 依题意有，且，得，故的取值范围为. 解法二：设甲学校购买迎宾机器人的个数为，乙学校购买迎宾机器人的个数为，则； ，. ， 所以.依题意有，且，得，故的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过对原函数求导得出切点处的斜率，结合切点坐标，利用点斜式直接写出切线方程； （2）法一（构造函数法）： 构造两函数之差的新函数，通过求导并分类讨论找出该新函数在给定区间上的最小值，令其最小值大于等于零来求解参数的取值范围；法二（分离参数法）： 排除端点值后，将参数单独分离到不等式一侧，从而将“恒成立”问题转化为求不含参新函数在指定区间上的最小值问题。 【小问1详解】 的定义域为， 所以，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 法一：令，则， 设，则在上恒正， 所以在上单调递增，. ①当时，，所以在上单调递增， 即恒成立，所以此情况满足题意； ②当时，，， 当时，，故，因此， 且在上单调递增，所以使得， 即，有. 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 解得，因为，所以， ，则，所以在单调递增， 所以， 综上所述，的取值范围为. 法二：①当时，，对任意实数恒成立； ②当时，.不妨令，则 令，解得或.所以在上单调递减， 在上单调递增.所以. 综上，的取值范围为. 18. 已知甲箱子中有3个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球.（两箱中的球除颜色外，没有其他区别） （1）若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； （2）若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球. （i）求从乙箱中取出的球是白球的概率； （ii）若已知从乙箱中取出的球是白球，求从甲箱中取出2个同色球的概率. 【答案】（1） 0 1 2 ； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）通过超几何分布求出取到不同个数红球的概率以列出分布列，再直接代入公式计算数学期望； （2）（i）将“从甲箱转移到乙箱的2个球”按颜色分类作为互斥的条件事件，应用全概率公式求解最终摸出白球的总概率；（ii）在第（i）问已知结果的基础上，将“甲箱取出同色球”作为原因，应用贝叶斯公式进行逆向推算. 【小问1详解】 由题意可能取值为， ， ， ， 0 1 2 期望. 【小问2详解】 （i）设“甲箱中取出2个球都为白球”；“甲箱中取出2个球为一白一红”；“甲箱中取出2个球都为红球”；“乙箱中取出的1个球为白球” 由全概率公式： . （ii）设“从甲箱中取出2个同色球”，所以 由贝叶斯公式： . 19. 已知函数 （1）若函数单调递增，求实数的取值范围： （2）若函数有3个零点； （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，转化为对任意恒成立，设，利用导数求得的单调性，求得，得出不等式，即可求解； （2）（i）由（1）得求得 ，令，利用导数求得单调性，求得和，得到，满足，得到，即可求解； （ii）当时，，设，根据题意，得到有3个零点，由，得到，进而证得结论. 【小问1详解】 由函数，可得 因为函数单调递增，所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，可得， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 （i）由（1）可得当时，函数单调递增，不符合题意； 当时，；当时，. 不妨令，可得，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以； 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，满足， 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以， ， ， 故函数有3个零点且， 所以实数的取值范围为. （ii）当时，， 设，又因为，则与的零点相同， 即函数有3个零点且， 而， 又因为，所以， 因为，故， 故成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $