2026年河北省中考命题信息原创卷(四)

2026年河北省中考命题信息原创卷(四) 数 学 (满分120分，考试时间120分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意) 1.检测如下4瓶饮料，其中超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是 ( ) 2.如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面上的字是 ( ) A.感 B.悟 C.数 D.学 3.新课标 数学文化《孙子算经》中记载：“八八六十四，自相乘，得四千九十六.八人分之，人得……”将其大意用数式表示为(8×8)×(8×8)÷8，其结果为 ( ) A.2⁵ B.2⁶ C.2⁸ D.2⁹ 4.一把直尺和一个直角三角板按如图所示的方式摆放，点B在DE上，且∠ABD=20°.将直尺绕点B逆时针旋转，要使得DE∥AC，直尺旋转的角度至少为 ( ) A.20° B.30° C.40° D.50° 5.计算 的结果为 ( ) A. a-4 B.2 C.-2 D.1 6.如图,在▱ABCD中,CQ平分∠BCD交AB于点Q,且AQ=2,点M,N分别是DQ,CQ的中点,MN=3,则四边形ABCD的周长为 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 7.如图，AB，BC，CD是正 n边形的三条边，在该正 n边形下方以BC为一边作正六边形 CEFGHB.已知∠ABH=80°,则n的值为 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 学科网（北京）股份有限公司 8.如图，一博物馆由圆形主馆A和三个圆形副馆B，C，D组成.一游客从主馆进入参观，准备游览主馆和一副馆后出馆结束游览，已知他从每个馆的出口出来是随机的，则他能从中间出口(即出口e，f)结束游览的概率是 ( ) D. A. B. C. 9.新情境 数轴与刻度尺结合 已知数轴上三点A，B，C，其中点A，B表示的数分别为1，-2.某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的零刻度线对齐数轴上的点A，发现点 B 对齐刻度2.4cm，点C 对齐刻度6cm.点 C 表示的数是 ( ) A. - 6.4 B. - 6.5 C.-6.8 D. - 7 10.如图，公园里A，B，C，D 四个亭子(看作点)在⊙O上，且点 B在点A 的南偏西70°方向上，点C在点 B 的正南方，点D 在点C 的南偏东80°方向上.计划在CD的延长线上再修建一个亭子E，使∠AED=46°.下列说法正确的是 ( ) A.∠ABC=105° B.点 D在点A的南偏东14°方向上 C.点 E 在点 A 的南偏东46°方向上 D.设AE 与AD交于点 F,连接CF,则∠DCF=24° 11.如图，点A，D在反比例函数 的图象上，点B，C在反比例函数 的图象上,且AB∥CD,AB=4,直线AB，CD 之间的距离是5，则点 C 的坐标是 ( ) A.( - 1,-3) B. C. D. 12.如图,在矩形ABCD中,AD=9,AB=6,点P为AD边上一动点,连接CP,以CP为一边在CP 左侧作等边三角形CPE,连接BE,当BE 最短时,DP 的长为 ( ) A.4 B. D. C.5 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分) 新课标 开放性试题 若 在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的整数x的值： .13. 14.若m,n是方程 的两个实数根，则 的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 15. 新课标 跨学科试题 我们知道通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后会经过焦点.数学兴趣小组的同学们尝试用数学的知识来研究凸透镜成像的规律.如图，通过测量得焦距(OF=3cm,物镜距离 AO=BC=4cm,蜡烛AB=2cm,则蜡烛所成的像的高度 PQ为 cm. 16.在平面直角坐标系xOy中，点 在抛物线 上.已知抛物线的对称轴为直线x=t,若 则t的取值范围是 . 三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分7分) 新考法 过程性纠错 下面是嘉嘉解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解:方程两边乘x-2,得x-3+1 = -3. 第一步 解得x= -1. 第二步 所以原分式方程的解为x=-1. 第三步 任务一： ①以上解题过程中，第一步的依据是 ； ②以上解题过程中有哪些错误，请指出来. 任务二： 请写出正确的解分式方程的过程. 18.(本小题满分8分) 理解与尝试 在计算 时有两种方法： 方法1：直接计算. 方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成.设a=-8，则原式 (1)请你用上述两种方法完成计算. 应用 (2)请你按照方法2计算： 学科网（北京）股份有限公司 19.(本小题满分8分) 某校为了解本校学生的体育训练情况，进行了一次体育模拟考试，然后从全校400名女生和500名男生中各随机抽取了20名学生的成绩(单位：分.满分70分，成绩均为整数)，对数据进行整理分析，部分信息如下. ①20名女生的成绩如下： 55,57,58,59,60,61,61,62,63,63, 63,64,64,64,64,66,67,69,70,70. ②20名男生的成绩的扇形统计图(不完整)如图所示，其中成绩在“61~65分”这一组的是：61，62，62,63,63,64,65,65. ③所抽取的女生和男生的成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 女生 63 63 a 男生 63 b 66 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中,a= ,b= . (2)结合上表中的统计量，判断男生成绩较好，还是女生成绩较好，并说明理由. (3)若规定体育成绩在65分以上(不含65分)为优秀，则估计本次模拟考试中，全校有多少名学生的成绩达到优秀. 20.(本小题满分8分) 如图，公园内有一个垂直于地面的电线杆AB，其旁边有一个斜坡CE，斜坡的坡度 当太阳光与水平地面的夹角为53°时，小华测得AB在地面上的影长 BC 为5.4m，在斜坡上的影长CD为2.4m. (1)求坡角α的度数. (2)求电线杆AB的高度(结果精确到0.1m.参考数据： 学科网（北京）股份有限公司 21.(本小题满分9分) ☆新考法方案选择某校的饮水机有温水、开水两个按钮(如图所示)，温水和开水共用一个出水 口.温水的温度为30℃，流速为20mL/s；开水的温度为100℃，流速为15 mL/s.整个接水的过程不计热量损失. 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”. (1)甲同学先接温水，再接开水，得到一杯480mL的水，如果接水的时间是 27s，求甲同学接温水和开水分别用了几秒. (2)乙同学要接一杯温水和开水混合的水共700 mL，现有两种方案可供选择： 方案一：先接 xs的温水，再接开水； 方案二：先接 xs的开水，再接温水. 请你帮乙同学分析一下，按哪种方案接水，会使最终杯中水的温度更高. 22.(本小题满分9分) 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过A,C两点的⊙O交AB于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点 E.连接OC. (1)求证:OC∥DE. (2)若AC=6,tan∠BDE=3. ①求 的长； ②直接写出AD的长. 学科网（北京）股份有限公司 23.(本小题满分11分) 新考法 结合图象的变换 如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y= 经过点A，B，且与x轴交于另一点 C.已知抛物线的顶点为 D. (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标. (2)已知直线y=t在点 D下方，将抛物线在直线y=t上方的部分沿直线y=t翻折，点D落在点 E处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案. ①连接BC，当点 E 落在△ABC内部(含边界)时，求t的取值范围. ②当t=0时，将直线AB向下平移n个单位长度，得到直线l，当直线l与“M”形图案恰有3个公共点时，请直接写出n的值. 24.(本小题满分12分) 新考法 融入尺规作图 已知等边三角形ABC的边长为6，点D在CB的延长线上，且BD= BC，E为AB的中点，P为线段CD上一动点，连接PE，以PE为一边在其右侧作等边三角形 PEF. (1)当点B关于PE的对称点恰好落在线段CD上时，请在图(1)中利用尺规画出△PEF(保留作图痕迹，不写作法)，点 F 到 CD的距离为 . (2)嘉嘉发现，当点P在CD上运动时，点F到AB的距离与BP的长无关，请就图(2)所示的情形给出证明. (3)设直线 PF与直线AC交于点 M. ①当点 M在DC上方,且CM=2时,求BP 的长. ②当∠BEF 是锐角时，请直接写出 FM 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 2026 年河北省中考命题信息原创卷(四) 选择题答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C D C B C B D B D A B 1 C 2 C 3 D 4 C 由题意知∠A=90°-∠C=60°.当DE∥AC,且直尺旋转的角度小于 180°时,如图,∠ABD=∠A =60°,∴直尺旋转的角度至少为( 5 6 C 7 B 如图,延长AB.∵∠ABH=80°,∴∠1 =180°-∠ABH=100°.易知∠HBC=120°,∴∠2=120°-100°=20°,∴n= 点拨：多边形的外角和为360°). 8 D 根据题意，画树状图如图所示. 从主馆出来的出口 从副馆出来的出口 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中从中间出口(e，f)结束游览的结果有4种，故所求概率 9 B 在数轴上,AB=1-(-2)=3.∵点A 对齐零刻度线,点B 对齐刻度 2. 4 cm,. ∴1个单位长度是 0.8cm ，∴ 数轴上的原点对齐刻度0.8cm,∴点 C 表示的数是 10 D 如图,由题意知AM∥BC,∴∠B=180°-70°=110°,故 学科网（北京）股份有限公司 A 错误.连接AD，易知 180°-100°=80°,∴∠MAD=80°-70°=10°,∴点 D 在点A的南偏东10°方向上,故 B 错误.易知∠MAE =360°-∠BAM-∠B-∠BCD-∠E=34°(依据:四边形的内角和为360°),∴点 E 在点A 的南偏东34°方向上,故 C 错误.易知∠DCF=∠DAF=34°-10°=24°,故 D 正确. 11 A 如图,设AB,CD分别与y轴交于点M,N,则OM·BM=3,OM·AM =5,∴OM(AM +BM)=OM·AB =3 +5 =8.又∵AB=4,∴OM =2,∴ ON = MN-OM =5-2 =3.对于 当y=-3时,x= - 1,∴C( - 1,-3). 12 B 如图(1),将DC绕点 D 顺时针旋转60°,得到 DF,连接FC,FE(提示:点F 的位置是固定的),则△DFC 是等边三角形,∴CD=CF,∠FCD=60°.∵△PCE 是等边三角形,∴CE=CP,∠PCE =60°,∴ ∠PCD =∠ECF,∴△PCD≌△ECF,∴∠EFC=∠PDC=90°.延长FE交BC于点H,则∠FCH=30°(提示：点H的位置是固定的)，∴随着点 P的运动，点E 在射线 FH上运动(关键点：确定点E 的运动路径).当.BE⊥FH时,如图(2),BE的值最小(依据: 垂线段最短),此时 13 4(答案不唯一，写出一个大于或等于3的整数即可) 14 2025 【解析】∵m,n是方程 的两个实数根， (m+n)=2026+(-1)=2025. 15 6 【解析】由题意知四边形BAOC 是矩形,∴OC=AB=2cm.易知(OF∥BC,∴△OFQ∽△BCQ,∴BC=OF=3/4,∴CPO= ,∵OC∥PQ,∴△COF∽△QPF,∴OC=CF,即 ∴PQ=6cm. 16 【解析】对于 当x=0时,y=0,∴该抛物线经过原点.∵a>0，∴抛物线开口向上. 点B在x轴下方，点A，C在x轴上方，且点A，C中，点C距抛物线的对称轴较近，如图.∵点C在x轴上方， .∵点A，C中，点 C 距抛物线的对称轴较近，∴ AC 的中点在直线x=t左侧， 17 任务一: ①等式的基本性质 (1分) ②有两处错误：去分母时，不含分母的项“1”没有和“x-2”相乘；求出整式方程的解后没有进行检验. (3分) 任务二： 方程两边乘x-2,得x-3+x-2= -3. 解得x=1. 检验:当x=1时,x-2≠0, 所以x=1是原分式方程的解. (7分) 18(1)方法1: (2分) 方法2：原式 (4分) (2)令b=1.68, 则原式： =b, 故原式=1.68. (8分) 19(1)64 63.5 (4分) (2)男生成绩较好. (5分) 理由：本次抽样调查中，男生和女生成绩的平均数相同，男生成绩的中位数和众数均大于女生成绩，故男生成绩较好. (6分) (名). 答：估计全校有275 名学生的成绩达到优秀. (8分) 20 (1)如图,过点 D 作DH⊥BC,交 BC 的延长线于点 H. 学科网（北京）股份有限公司 由题意可知 (2分) (2)如图,∵∠DCH=30°,∠DHC=90°, (4分) 延长AD 交 BC 的延长线于点 F. 在Rt△DHF 中,∠DHF =90°,∠DFH=53°,tan∠DFH=πM, (6分) ∴BF=BC+CH+HF=5.4+2.08+0.9=8.38. (7分) 在 Rt△ABF中,∠ABF=90°,∠AFB =53°,tan∠AFB=ABF, 答:电线杆AB 的高度约为11.2m. (8分) 21 (1)设甲同学接温水所用时间为 ms，接开水所用时间为ns , 根据题意，得 解得 答：甲同学接温水所用时间为15s，接开水所用时间为12s. (3分) (2)设乙同学按方案一接水杯中水的温度为a℃，按方案二接水杯中水的温度为b℃， 根据题意,得20x(a-30)=(700-20x)(100-a),15x(100-b)=(700-15x)(b-30), ∴a=100-2x,b=1.5x+30. 当100-2x>1.5x+30时,x<20, 当100-2x=1.5x+30时,x=20, 当100-2x<1.5x+30时,x>20. 由题意可知20x<700,∴x<35. 综上可知，当0<x<20时，按方案一接水，会使最终杯中水的温度更高；当x=20时，两种接水方案杯中水的温度相同；当20<x<35时，按方案二接水，会使最终杯中水的温度更高. (9分) 22 (1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=45°. 如图(1),连接OD,则∠COD=2∠A =90°(依据:圆周角定理),即OD⊥OC. (1分) ∵ DE 是⊙O 的切线,∴OD⊥DE, (2分) ∴OC∥DE. (3分) (2)①如图(1),延长CO交AB于点 P,过点 C 作CH⊥AB 于点 H,则 3 ∵OC∥DE, ∴∠CPD=∠BDE, ∴ tan∠CPD = tan∠BDE =3 (点拨：将∠BDE的正切值转化为∠CPD的正切值，将已知条件与待解决问题联系起来)， (5分) 设OP=x. ∴OC=OD=3OP=3x, ∴ CP=OP+OC=4x=2 (7分) ∴CD的长为 (8分) ②AD 的长为 (9分) 解法提示：在图(1)的基础上,过点 O 作 OF⊥AD 于点F,如图(2),则AF = DF(依据：垂径定理). ∵∠CHD = ∠COD = 90°, A∠1=∠2, ∴∠3=∠4, ∴DF=OD·cos∠3=OD· 23 (1)对于y=-x+4,当x=0时,y=4,当y=0时,x=4,∴A(4,0),B(0,4). ∵抛物线 过点 B(0,4),∴c=4. 将A(4,0)代入 得b=1, ∴抛物线的解析式为 (3分) (4分) ). ∴ D(1, (2)①依题意,设点 E 的坐标为(1,yE). ∵点D,E 关于直线y=t对称, 对于y=-x+4,当x=1时,y=3, ∴当点 E 落在AB 上时, 解得 当点 E 落在AC 上时, 解得 ∴ 当点 E 落在△ABC 内部(含边界)时, (9分) ②n的值为6 8. 或 (11分) 解法提示：对于 令y=0,解得 ∴C(-2,0). 当t=0时，易知翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设直线l的解析式为y=-x+d. 当直线l与“M”形图案恰有3个公共点时，分两种情况讨论. a.当直线l过点 C时， 将C(-2,0)代入y= -x+d,得d=-2, ∴n=4-(-2)=6. b.当直线l不经过点C时， 令 整理得 易知该方程有两个相等的实数根， ∴4+d=0,解得d= - 4,∴n=4-(-4)=8. 综上可知，n的值为6或8. 24 (1)△PEF 如图(1)所示. (2分) (3分) (2)证明:如图(2),取BC的中点O,连接OE,OF. ∵O,E分别是BC,AB的中点,△ABC 是等边三角形, ∴△OBE 是等边三角形, ∴OE=BE,∠2+∠3=∠OEB=60°. ∵△PEF 是等边三角形, ∴EF=PE,∠1+∠2=∠PEF=60°, ∴∠3=∠1, ∴△OEF≌△BEP(点拨: “手拉手”模型), ∴∠4=∠5. ∵∠1+∠2=60°,∠1+∠5=∠ABC=60°, ∴∠2=∠5,∴∠4=∠2,∴OF∥AB, ∴点F到AB的距离等于点 O到直线AB的距离， ∴点 F 到AB的距离与BP的长无关. (7分) (3)①如图(3),图(4)所示. ∵∠1+∠2 =180°-∠ABC =120°,∠2 +∠3 =180°-∠EPF=120°,∴∠1=∠3. 又∵∠EBP=∠PCM, ∴△EBP∽△PCM(点拨:“一线三等角”模型), 即 或 (10分) (12分) 解法提示：由(2)知，若取 BC的中点 O，则点 F在过点 O 且与 AB 平行的直线上，且当点 P 从点 D 向点 C 运动时，∠BEF 逐渐增大. 当点 P 与点 D 重合时,如图(5). 易知∠1=∠2=30°,∴CM=CD=3+6=9. 过点 M 作 MH⊥DC 交 DC 的延长线于点 H,则 HM = 设EF与DC交于点 Q,易知EF⊥DC, (关键点1：求出点 P与点D 重合时,FM 的长). 当∠BEF=90°时,如图(6),此时点 P 的位置与图(1)中相同，易得 (关键点2: 求出∠BEF=90°时,FM的长). 当点 P 与点D 重合时,点 F 的位置记为 F₁,当∠BEF=90°时,点 F 的位置记为 F₂,连接FF₂,当点 F 在 F₁₁F₂上运动时，易得 ，画出简图如图(7)，过点F 分别作AC,AB 的垂线,垂足分别为 S,T,则∠SFT= 易证 当点 F 从F₁向 F₂运动时, ∵ TF 是定值,FS,FE 均逐渐变小, ∴FM逐渐变小(关键点3：分析出当点 F 从点 F₁向点F₂运动时，FM 逐渐变小)， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $