精品解析：天津市南开区田家炳中学2025-2026学年第二学期阶段性质量检测（一）高二年级数学试题

2025～2026学年度第二学期阶段性质量检测（一） 高二年级数学学科 学校：________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 下列导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 2. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数的个数为（ ） A. 180 B. 216 C. 162 D. 150 3. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为 4. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ） 0 1 2 A. B. C. 1 D. 5. 函数，则在其图像上的点处的切线的斜率为 A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 7. 已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 240 D. 360 9. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）. 12. 的展开式中的系数是______． 13. 已知函数的导函数为，且，则______． 14. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 15. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为______；记小明抽到的龙王盲盒个数为X，则E（X）＝______． 16. 已知函数为奇函数，为偶函数，对于任意均有，若对任意都成立，则实数的取值范围是______. 三、解答题（本题共5道题，共52分） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：. 18. （1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 19. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）求小明以获得比赛胜利的概率； （2）在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； （3）记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 21. 已知函数. （1）当时，求的单调增区间； （2）已知有两个零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期阶段性质量检测（一） 高二年级数学学科 学校：________ 姓名：________ 班级：________ 考号：________ 一、单选题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 下列导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】选项A，因为是常数，所以，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误， 2. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数的个数为（ ） A. 180 B. 216 C. 162 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】因为要组成无重复数字的四位数，所以需分两大步骤：第一步是选取数字，第二步是排列数字；选取数字时，需分两类情况：一类是从0，2，4中选取的2个数字包含0，另一类是不包含0；如果选取的数字包含0，那么排列时首位不能为0，需先排首位，再排剩余三位；如果选取的数字不包含0，那么四个数字可直接全排列，最后根据分类加法计数原理将两类情况的结果相加即可. 【详解】从0，2，4中任取2个数字，若取出的数字含0，还需从2、4中选1个，共种选法；从1、3、5中选2个，共种选法，总选择方式为种； 由于千位不能为0，故千位有3种选择，剩余3个位置全排列，共种排法； 故此种情况可以组成没有重复数字的四位数的个数为：； 从0，2，4中任取2个数字，若取出的数字不含0， 则从2、4全选，共1种选法；从1、3、5中选2个，共种选法，总选择方式为种， 由于四个数字都不为0，直接全排列，共种排法， 故本情况可以组成没有重复数字的四位数的个数为：， 故一共可以组成没有重复数字的四位数的个数为. 3. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据二项式系数之和为运算求解；对于B：令即可得各项系数之和；对于C：根据二项式系数的性质结合二项展开式的通项公式分析求解；对于D：根据，令运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，所以二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：令，可得各项系数之和为，故B正确； 因为的展开式为， 对于选项C：因为，可知二项式系数最大的项为第4项，故C错误； 对于选项D：令，解得， 所以常数项为，故D正确； 故选：C. 4. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ） 0 1 2 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【详解】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 5. 函数，则在其图像上的点处的切线的斜率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知求a的值，再利用导数的几何意义求切线的斜率. 【详解】把点的坐标（1，-2）代入函数的解析式得-2=1+2a-3,所以a=0,所以f(x)=， 所以，所以切线的斜率为-2. 故答案为D 【点睛】(1)本题主要考查函数求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 6. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.故ABC错误，D正确. 故选：D 7. 已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解. 【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为， 则， 记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为， 而两两互斥，其和为， 所以， 记第二次抽到黄球的事件为B， 则， 故选:D． 8. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，若有4种颜色可供选择，则不同的染色方案种数为（ ） A. 72 B. 96 C. 240 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和． 【详解】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类：仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色， 则相当于从四种颜色中取三种颜色染三个区域有种染法； 第二类：用四种颜色染色，即，，中有一组不同色， 则有3种方案不同色或不同色或不同色）， 先从四种颜色中取两种染同色的两组区域有种染法， 剩余两种染在不同色区有种染法，共有种染法． 所以，由分类加法原理得总的染色种数为种． 故选：B． 9. 已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 10. 已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，应用分段函数时，， 时 ，， 分别构造函数应用导数得出单调性进而得出最值，最后确定零点即可求出参数. 【详解】令，当时，， 令，则，令，则；令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以当时， 方程无实数根； 当时，方程有1个根； 当时，方程有2个根； 当时，方程 有1个 根 . 当 时 ，， 令 且， 则 ， 由 ， 知在和上单调递减，当时，，当时，， 所以当时，方程无实数根， 当或时，方程有1个根， 综上可知，当和时，方程有1个根. 当时，方程有3个根， 当，及时，方程有2个根， 所以当时，函数有3个零点. 故选：D. 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）. 【答案】65 【解析】 【分析】根据题意，可得为三类：恰好一名女生、恰好两名女生和恰好三名女生，结合组合数公式和分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可得为三类： 第一类：恰好一名女生时，共有种不同的选法； 第二类：恰好两名女生时，共有种不同的选法； 第三类：恰好三名女生时，共有种不同的选法， 由分类计数原理可得，共有种不同的选法. 故答案为：. 12. 的展开式中的系数是______． 【答案】-40. 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为-1求得值，则答案可求． 【详解】的展开式的通项为． 令，可得． 的展开式中的系数是． 故答案为-40． 【点睛】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 13. 已知函数的导函数为，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知函数， 求导可得， 代入，可得，即. 14. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【详解】由函数在上单调递减， 得，， 而当时，， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 15. 哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共8个人物手办，小明随机购买3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为______；记小明抽到的龙王盲盒个数为X，则E（X）＝______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先求出从8个人物手办中，随机购买3个盲盒的买法和包含哪吒和至少一位龙王的买法，再利用古典概率公式求出各事件的概率，再依据条件概率公式，求出结果. 【详解】空1：事件：随机购买3个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，， 事件：随机购买3个盲盒，恰有四个龙王中的一个： 包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为： 空2：每个盲盒抽到龙王的概率为：,每个盲盒未抽到龙王的概率为：， 则抽到与未抽到龙王服从二项分布： 故答案为：①；② 16. 已知函数为奇函数，为偶函数，对于任意均有，若对任意都成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意结合函数的奇偶性求出的解析式，再代入不等式中，分类参数，构造函数将问题转化为函数的最值问题来解得. 【详解】由已知得……①， 所以，又因为为奇函数，为偶函数， 所以……②， ①②联立解得，， 将代入不等式得，对任意都成立， 即，对任意都成立， 设，则， 令，解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的最大值为，即， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了函数奇偶性性质的应用，以及不等式恒成立问题，利用构造函数，利用函数最值问题来解的常规想法，属于中档题. 三、解答题（本题共5道题，共52分） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：. 【答案】（1）；（2）330；（3）. 【解析】 【分析】(1)利用组合数的性质化简，再利用组合数、排列数公式计算即得； (2)利用组合数的性质依次化简计算即得； (3)利用排列数计算公式变形解方程即可得解. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原方程可化为 ， 化简得，解得或（舍去）， 故方程的解是. 18. （1）求 的展开式中常数项； （2）求的展开式中，二项式系数最大的项; （3）已知，求的值. 【答案】（1）240；（2）第3项；（3） 【解析】 【分析】（1）求出的展开式的通项公式可得答案； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时只有中间一项的二项式系数最大，利用展开式的通项可得答案； （3）分别令、可得答案. 【详解】（1）的展开式的通项为， 令，得. 故常数项为； . （2）根据二项式系数的性质，当为偶数时，只有中间一项的二项式系数最大， 故的展开式中，二项式系数最大的项为第3项，； （3）在中， 令，得; 令，得， 所以. 19. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）求小明以获得比赛胜利的概率； （2）在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； （3）记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）令事件表示“小明以获得比赛胜利”，利用独立事件的乘法公式和互斥事件概率公式即可求解； （2）令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”，求，利用条件概率公式即可求解； （3）先求的可能取值，再求对应的概率即可求解. 【小问1详解】 令事件表示“小明以获得比赛胜利”， 所以； 【小问2详解】 令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”， 所以， 所以； 【小问3详解】 由题意有的可能取值为， 所以， ， ， 所以的分布列为： 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 21. 已知函数. （1）当时，求的单调增区间； （2）已知有两个零点，. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数可求的单调增区间； （2）①，令得，令，转化为与的图象有两个交点求实数a的取值范围，结合图象可得答案； ②由得，将原不等式等价转化为证明，再设新函数，利用二次求导即可证明. 【小问1详解】 当时，， ， 因为，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，的单调增区间为； 【小问2详解】 ①因为函数， 即有两个零点，求实数a的取值范围， 令，得，令， 转化为与的图象有两个交点求实数a的取值范围， ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且，当时，，， 可得的图象如下， 所以实数a的取值范围为； ②由，得，两式相加变形得：， 由，得，由，得， 不等式 ， 令函数，则，函数在上单调递增， 因此原不等式等价于， 由，得，即，则， 而在上单调递减，因此， ， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 则在上单调递增， 则，即，则函数在上单调递减， 因此，所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $