精品解析：湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2026年5月高三模拟测试数学试题

鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2026年5月模拟考 高三年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若为奇函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 5. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 6. 若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，且，则 C. 已知事件互斥，，则 D. 已知事件相互独立，，则 10. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且方程有实数根，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上位于第一象限内任意一点，记（其中均不为），的面积为，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. C. 为定值 D. 为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________. 13. 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 14. 已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，为边上一点，且，，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 16. 如图，在中，．平面外的动点在以为直径的半圆上，且满足平面平面． （1）证明：平面； （2）若线段上的点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）试比较与的大小并说明理由．（为自然对数的底数，） 18. 已知抛物线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为． （1）求的值； （2）若抛物线上存在，两点，使得，求点的横坐标的取值范围； （3）将抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线是抛物线与轴的交点，过点作直线与抛物线交于两点，与轴交于点，其中点均在轴左侧，直线与交于点．问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 某互联网大数据实验室为研究短视频平台智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型： 科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下： ①第一天（冷启动推荐阶段）：系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立. ②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播. 已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：. （1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率； （3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2026年5月模拟考 高三年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或（舍）， 时，，满足题意， 故. 故选：D 2. 已知实数a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，当时，无论，为何值，成立，此时无法判断，的大小，则充分条件不成立， 若，两边同乘以大于等于零的数，根据不等式的性质可知，则必要性成立， 故选：. 3. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】， 则. 4. 若为奇函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 5. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后45百分位数不变. 【详解】对A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误； 对B，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据， 从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，， 所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据． 对C，去掉一个最高分一个最低分，平均数可能变化，故C错误； 对D，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D错误. 故选：B. 6. 若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列性质5个数均为正数以及等差数列通项公式，列出关于的不等式组求解. 【详解】设正数成等差数列，所以，解得：， 由各项均为正数，则. 7. 已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，使得点为的最高点或最低点，再利用正弦型函数性质计算即可得. 【详解】当时，， 若的图象在点处的切线与轴平行， 则点为的最高点或最低点， 由，要使得最小，则或， 分别解得或，由，故的最小值是. 8. 已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的中点为，则是以为圆心，以2为半径的圆面，建立平面直角坐标系，化简，利用圆的几何性质数形结合求得结果. 【详解】设的中点为，连接，易得， 则，则. 是以为圆心，以2为半径的圆面（位于正方形内）. 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系如图所示，则， 设的坐标为，则，， . 则 设点的坐标为，则， 根据圆的性质知，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，则 B. 若，且，则 C. 已知事件互斥，，则 D. 已知事件相互独立，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助二项分布方差公式与方差性质计算可得A；借助正态曲线的对称性计算可得B；借助互斥事件概率公式计算可得C；借助相互独立事件概率公式与对立事件概率公式计算可得D. 【详解】对A：由，则， 故，故A正确； 对B：由，则，故B错误； 对C：由事件互斥，则，故C正确； 对D：由事件相互独立，则， 则，故D正确. 10. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且方程有实数根，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的单调性得到，解得；由得，令，解得或，结合函数单调性得到，解得；从而；由方程的根得到，整理后，对照系数得到，，从而得到，从而求出． 【详解】，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 故为的极大值点，所以，所以，故A正确； 此时，则， 依题意可得，即，故， 令，解得或， 所以，解得，故B正确； ，故C错误； 因为，，是方程的三个实数根， 所以， 所以， 所以，所以， 所以 ， ，，， ， ，即，故D正确. 11. 已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上位于第一象限内任意一点，记（其中均不为），的面积为，则（ ） A. 的值随着的增大而减小 B. C. 为定值 D. 为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理结合正弦函数单调性可判断A；借助倾斜角与斜率的关系计算可得B；借助面积公式、三角形内角和关系、诱导公式与倾斜角与斜率的关系计算可得C；借助三角形内角和关系、诱导公式与两角和与差的余弦函数公式计算可得D. 【详解】对A：，当增大时，增大，且，故增大， 增大，且，故减小，故减小，即的值随着的增大而减小，故A正确； 对B：、，由，满足， 则，， 则， 由为双曲线渐近线方程，则，即， 故，故B错误； 对C：，， 且 ， 则，故为定值，故C正确； ， 故为定值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，由乘法原理可得． 【详解】由题意4人中选2人出来，他们的两编号一致，剩下2人编号不一致，只有一种坐法，方法数为． 故答案为：6. 13. 已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助点差法及三角形重心性质计算即可得. 【详解】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 14. 已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，判断出数列为严格递减数列，进而确定集合的所有非空子集中的最小元素及其个数，从而利用等差乘以等比数列求和的方法，求出，最后求出实数的取值范围. 【详解】解：因为，所以数列为递减数列， 则对集合，其非空子集的最小元素为该子集最大下标对应的元素， 所以元素作为最小元素的子集个数为（含元素，其余选择比大的个元素的任意子集）， 因此，又，所以. 因为①， 所以②， ①②错位相减得， 化简得，所以， 易知当时，，则，所以， 所以，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，为边上一点，且，，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解； （2）由已知可得，由结合面积公式求出，设，分别在，中，用余弦定理表示，，根据，互补得到的方程即可求解. 【小问1详解】 在中，设，则， 由余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以的长为或. 【小问2详解】 由，得，所以， 因为，，所以，设，则， 由余弦定理得，， 即①，②， 因为，所以， 所以由①②可得，解得，所以. 16. 如图，在中，．平面外的动点在以为直径的半圆上，且满足平面平面． （1）证明：平面； （2）若线段上的点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定定理即可得证； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 过点作于，由平面平面， 平面平面，平面，则平面， 又平面，故，又为直径，故， 且，、平面，所以平面， 又平面，故，又，， 、平面，故平面； 【小问2详解】 由（1）知，， 当且仅当时，取得最大值， 过点作于，建立以为原点，为轴，为轴， 过点垂直于平面的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以， 因为平面的法向量为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）试比较与的大小并说明理由．（为自然对数的底数，） 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）把代入，求出的导数，再令解出即可得； （2）利用导数得到单调性后可求出函数的最小值，建立不等式并求解即可； （3）在（2）中取可得，再赋值并作近似计算推理即得. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，解得或， 又定义域为，故函数的单调递增区间是； 【小问2详解】 ，， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ， 由恒成立，得恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 ，理由如下： 由（2）知，当时，，即， 令，有， 又， 即，故. 18. 已知抛物线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为． （1）求的值； （2）若抛物线上存在，两点，使得，求点的横坐标的取值范围； （3）将抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线是抛物线与轴的交点，过点作直线与抛物线交于两点，与轴交于点，其中点均在轴左侧，直线与交于点．问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线与轴的交点，切线与轴的交点，利用三角形面积公式求出切线与坐标轴围成的三角形的面积，从而得到的方程，解出. （2）设，，利用斜率公式求出，由得到，从而得到关于的方程，由题意得到此方程有解，则，从而得到的不等式，计算出的范围就是点的横坐标的取值范围. （3）求出的方程，求出的坐标，由题意可知直线存在斜率，设直线的方程为，求出的坐标，联立直线与抛物线， 设， 利用韦达定理得到，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立直线和直线，得到的坐标，假设存在定点，利用向量的数量积公式求出，利用为定值得到的值，从而得到点的坐标. 【小问1详解】 ，，，在点处， 切线斜率，切线方程为，即， 设，则有，此切线与轴的交点为， 设，则有，此切线与轴的交点为， 此切线与坐标轴围成的三角形的面积为，. 【小问2详解】 ，，， 设，是不同的三点，， ， ，， 将整理为关于的方程为， 抛物线上存在，两点，使得， 关于的方程有解， ，即， 解得或，故点的横坐标的取值范围为. 【小问3详解】 抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线， 则的方程为，即， 当时，，又在轴左侧，则， 过点的直线，就是过点作直线， 因为直线与抛物线交于两点，则直线存在斜率， 设直线的方程为， 因为直线与轴交于点，且点在轴左侧，所以， 当时，，解得，则， 联立直线与抛物线，即，消去， 得到关于的一元二次方程，即， 设，因为在轴左侧，所以， 则有， ，，， 直线的方程为， ，，， 直线的方程为， 联立直线和直线，即， 消去，得到，解得， ，，， 将代入，解得， 则， 假设存在定点，又， ，， ，，， ， ①， 要使为定值，则①中的的系数，即， 此时， 要使为定值，则有 ， 由解得，解得，即， 此时， 故在平面内存在一定点，使得为定值，此时点的坐标为. 19. 某互联网大数据实验室为研究短视频平台智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型： 科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下： ①第一天（冷启动推荐阶段）：系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立. ②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播. 已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：. （1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率； （3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象． 【答案】（1） （2） （3）；随着被成功激活的人数增加，每天尝试对未激活用户进行推荐触达的人数增大，使得非激活用户被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，导致流量暴涨． 【解析】 【分析】（1）第一天被成功激活人数服从二项分布，利用二项分布期望公式计算即可得； （2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解； （3）按“甲第一天是否被推送”及“第一天被激活用户人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率. 【小问1详解】 设表示第一天结束时， 被成功激活的用户人数，则， 由二项分布的期望公式得 ； 【小问2详解】 由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 两式相加，， 当为偶数时， ；当为奇数时，. 则两式相加后，奇数项和为，只剩偶数项两倍， 设第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率为， 所以，故； 【小问3详解】 情形一： 甲被推送的概率是，两天后用户甲是激活用户有两种情形： ①第一天被成功激活，概率为； ②第一天未被成功激活，概率为，且第二天被成功激活， 若甲第二天被成功激活，则第一天另一位初始被推送者乙一定被成功激活， 乙作为激活用户尝试激活用户甲， 甲被成功激活的概率为 ， 故甲在第一天未被成功激活，第二天被成功激活的概率为 ， 因此，在甲是初始被推送的两人之一的条件下， 两天后用户甲是激活用户的概率为：； 情形二：若甲不是初始被推送的两人，其概率为， 两天后用户甲是激活用户有两种情形： ①第一天有1人被成功激活，再由此人成功激活甲， 概率为： ； ②第一天有2人被成功激活，甲在第二天被成功激活， 概率为： ， 因此，在甲不是初始被推送的两人的条件下，两天后用户甲是激活用户的概率为： ； 综上，两天后用户甲是激活用户的概率为： . 爆发式流量暴涨的原因：随着被成功激活的人数增加， 每天尝试对未激活用户进行推荐触达的人数增大， 使得非激活用户被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，导致流量暴涨． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $