精品解析：湖北省新高考协作体2025-2026年学年高三下学期五月质检数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得，求定义域得，再求集合并集即可. 【详解】，解得， 所以， 函数的定义域为， 所以， 所以 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 3. 若是二项式的展开式中的一项，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】二项展开项的通项为， 当时，，则． 4. 卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：， 焦点到顶点距离为． 5. 设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 6. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当 时，即时，解得， 所以在上递增，， 由， ，故. 8. 正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（ ） A. 若众数仅为5，则 B. 若平均数不变，则 C. 若中位数不变，则 D. 若极差为9，则或 【答案】AB 【解析】 【分析】先求得原始数据的平均数，众数，中位数，极差，再结合选项依次讨论即可得答案. 【详解】原始数据的平均数为， 众数为5和7，中位数为6，极差为， 对于A，原数据众数为5和7，若新众数仅为5，则5的个数须超过7的个数，故增加的，故正确； 对于B，当增加数据后平均数不变，则增加的，故正确； 对于C，原中位数为6，增加后，新中位数为8个数据中第4、5位的平均数， 要使中位数仍为6，经检验只有满足条件，当增加数据后中位数不变，故，故错误； 对于D，当增加数据后极差为9，故当最小时，得； 当最大时，得，故或，故错误. 10. 已知，，，点在圆上运动，则（ ） A. 点在圆内 B. 直线的方程为 C. 圆为的内切圆 D. 的最大值为88 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据点与圆的位置关系的判定即可判断；对于B，根据点坐标求直线方程即可；对于C，判断出直线与圆的位置关系，结合圆心在内部即可判断；对于D，设，进而可得化为，结合即可判断． 【详解】对于A，，则点在圆外，故A错误； 对于B，直线的方程为， 整理为，故B正确； 对于C，直线的方程为与圆相切， 直线的方程为与圆相切， 直线的方程为， 圆心到直线的距离，则圆与直线相切， 又圆心在内， 所以圆为的内切圆，故C正确； 对于D，设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取得最大值88，故D正确． 11. 对于正整数，欧拉函数的函数值是所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，，则（ ） A. B. 对任意正整数，恒有 C. 记，则的前项和 D. 从集合中随机取两个不同的数，，记事件：“”，则其概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题设函数定义求解判断即可；对于B，取，进而验证判断即可；对于C，分析可得，进而结合等比数列的求和公式求解判断即可；对于D，由，得互质，进而列举出满足条件的情况，进而求解判断即可. 【详解】对于A，不超过9的正整数中与9不互质的数为3的倍数，即3，6，9， 则，故A正确； 对于B，取，由于不超过25的正整数中与25不互质的数为5的倍数，即5，10，15，20，25， 则，而，则，故B错误； 对于C，因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， 所以，则，故C正确； 对于D，由，得互质， 则满足条件的有，共11种， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线，即，其中，， 所以，所以. 13. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【解析】 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 14. 平面直角坐标系中，若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知直线与的图象至多只有一个交点，令，求导，分情况讨论单调性求解即可. 【详解】由题意可知直线与的图象至多只有一个交点， 令，则， 令，则， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在时有最小值，即， 当时，，当时，， 由题可得，或恒成立， ①当恒成立时，即对恒成立， 当时，时，，则，不满足题意； 当时， 恒成立，符合题意； 当时，要使恒成立，则恒成立， 即，解得； ②当恒成立时，即 对恒成立， 当时，时，， ，不满足题意； 当时， 恒成立，不符合题意； 当时，时，，则，不满足题意； 综上，当 时，恒成立， 此时函数单调递减，至多只有一个解， 满足直线与的图象至多只有一个交点， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合勾股定理可得，，可得平面，即可证面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 因为，，则， 即，且，， 且四边形是菱形，，则，， 又因为，则，即， 且平面，平面，， 可得平面，且平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16. 内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论. （2）求出为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到，此时最大，利用平方关系得到．利用三角形的面积公式求出的值． 【小问1详解】 由，可得． 由正弦定理可得． 故． 由余弦定理可得． 化简得． 【小问2详解】 因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角， 则， 当且仅当即时取等号． 此时最大，且． 所以． 解得． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【小问1详解】 ． 当时，恒成立，故函数在单调递增； 当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； 【小问2详解】 令，，， ，， ． 令 ，， 而 在恒成立，即在单调递增， 故当 ，即时， ，在单调递增， 在恒成立； 当 ，即时，当时， ， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾； 综上，实数的取值范围是． 18. 近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击． （1）若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率； （2）求小明第次在场景A下射击的概率； （3）求小明在次射击后总得分的期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据条件概率公式求解； (2)由全概率公式求解出与的关系式，再由递推式的关系结合数列知识求出； (3) 利用期望可加性求解. 【小问1详解】 设事件“小明在前次射击中得到分”， 事件“这分均在场景B下获得”， 则，． 所以． 【小问2详解】 设第次在场景下射击为事件， 则 ，，， 由全概率公式可得， 即， 则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； 【小问3详解】 设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过的直线交椭圆于，两点（在轴上方），的周长为8，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若线段的中点为，求点到直线的距离的最小值； （3）若线段的中点为，的重心为，和面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件，根据焦点三角形的特点，离心率的定义及的关系列方程，解方程求可得椭圆方程； （2）设直线的方程为：，联立直线和椭圆的方程，消可得，设，，由根与系数关系可求，进而表示出点到直线的距离为，令， 可得，进而求解即可； （3）设，可得，由此可得，解不等式可求的取值范围，再求出，由此可得，由函数的单调性可求的取值范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 由已知可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由已知直线的斜率不为，故设直线的方程为， 联立，消可得， ， 设，，其中，， 由已知，， 故，则． 所以直线 ，其中． 点到直线的距离为， 令， 所以， 当时，取最小值． 【小问3详解】 由（2）知，，， 设，则，所以，即， 则， 因为，所以，， 所以，所以，所以， 因为点为线段的中点，所以， 因为点为的重心，所以， 所以 ， 因为点为的重心，所以， 所以， 所以，． 因为函数在上单调递减，所以， 即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若是二项式的展开式中的一项，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 6. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（ ） A. 若众数仅为5，则 B. 若平均数不变，则 C. 若中位数不变，则 D. 若极差为9，则或 10. 已知，，，点在圆上运动，则（ ） A. 点在圆内 B. 直线的方程为 C. 圆为的内切圆 D. 的最大值为88 11. 对于正整数，欧拉函数的函数值是所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，，则（ ） A. B. 对任意正整数，恒有 C. 记，则的前项和 D. 从集合中随机取两个不同的数，，记事件：“”，则其概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的离心率为_________． 13. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 14. 平面直角坐标系中，若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 18. 近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击． （1）若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率； （2）求小明第次在场景A下射击的概率； （3）求小明在次射击后总得分的期望． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，过的直线交椭圆于，两点（在轴上方），的周长为8，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若线段的中点为，求点到直线的距离的最小值； （3）若线段的中点为，的重心为，和面积分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $