精品解析：湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高三下学期第二次模拟测试数学试题

2026届高三下学期第二次模拟测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合 ，再根据并集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先，再根据复数的模和除法运算即可求解. 【详解】由条件可知， 所以 的虚部为1. 故选：C 3. 设函数 ，则（ ） A. 8 B. 9 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求得，结合，代入计算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以. 故选：B. 4. 若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】将5个数从小到大排序为： 0，1，5，5，8. 因为，要使第百分位数为5，进行如下讨论： 如果为整数，则需取数据中第个和第个的数的平均数，只可能，即. 如果为非整数，则需取数据中将整数部分加1所在位置的数， 所以得到或解得， 综上可得. 故选：C. 5. “……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前 项和，若取 中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当 趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】集合A中有1个奇数和4个偶数，因此每次选择奇数的概率为，选择偶数的概率为，利用马尔科夫链可以建立起的递推公式，即可得到答案. 【详解】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ，  的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当 时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 6. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据 附近的函数值即可排除BC；根据的符号即可排除D. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 当 且时，，故排除BC； 又，故排除D. 故选：A. 7. 已知 是椭圆的左焦点，直线交椭圆 于两点.若，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【详解】设是椭圆 的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为，则， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得，所以椭圆 的离心率为.   故选：A. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和. 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有 个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（　　） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先明确充要条件的定义：若 是 的充要条件，则（ 能推出 ， 也能推出 ）；再由已知的含义是且，逐一分析选项即可. 【详解】选项A：若且，则，，是其中较大的数， 一定大于这个较大的数，充分性成立； 若，说明和都不为0（若其中一个为0，比如， 则，不满足不等式），即且，必要性成立； 因此A是充要条件； 选项B：若且，则，，故，充分性成立； 若，则且，即且，必要性成立； 因此B是充要条件； 选项C：若且，则，分式有意义且分子， 故分式≠0，充分性成立； 若，则（分母不为0）且， 因此且，必要性成立； 因此C是充要条件； 选项D：存在反例：取，，此时， 满足，但， 故，不满足“”， 所以充分性不成立， 因此D不是“”的充要条件. 综上，符合条件的选项是ABC. 故选：ABC. 10. 设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望与方差公式可判定A，利用随机变量的期望与方差公式可判定B、C，由正态分布的对称性可判定D. 【详解】依据二项分布相关公式，． 依据正态分布定义，． 故而由期望可加性，A选项正确． 由随机变量数学期望和方差的相关性质，， ，因此B选项正确，C选项错误． 由正态分布的相关性质，有， 而，所以，D选项正确． 故选：ABD 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过 的右支上的两点反射后，分别经过点 和 ，其中共线，则（ ） A. 若直线 的斜率 存在，则 的取值范围为 B. 当点 的坐标为时，光线由经过点 到达点 所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点 到达点 所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得 ，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作 的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在 的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点 到达点 所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得 或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可. 【详解】由，则展开式通项为且， 当，则，故. 故答案为： 13. 将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两直线的位置关系求的关系式，再根据古典概型概率公式求和，最后根据点与圆的位置关系，列不等式，即可求解. 【详解】若，则，即，且， 则满足条件的为，所以； 若两直线重合，则，则，所以不成立， 所以两直线相交的概率, 则，得. 故答案为： 14. 实数 ， 满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，由，由，求得，得到，转化为图象上的点到直线上一点的距离，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 因为，可得， 所以， 又由，可得，所以在上单调递增， 又因为，则， 则， 表示函数图象上的点到直线上一点的距离， 则其最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离， 设切点为，其中，由，可得， 令，解得，可得，即切点为， 可得切点为到直线距离为， 即的最小值是. 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中， ， 为 上的点，且. （1）证明：平面； （2）若底面 是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面 ，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接交于点 ，连接 ， 因为是平行四边形，故 为的中点， 又，故 为的中位线，所以. 因为 平面，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线证明，再通过线面平行的判定定理即可证明； （2）先证平面 ，再建立空间直角坐标系求出平面的法向量和平面的法向量，最后求解二面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 的中点为 ，因为底面 是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面 ，连接，，则， 又，且平面平面，平面，故平面 . 以 为坐标原点，的方向为 轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系. 设 ，则由几何关系可知，，，， 故，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为，则有及 不妨取，，则，. 故. 故二面角的正弦值为. 16. 已知和为双曲线上两点. （1）求 的离心率； （2）在 上是否存在点 ，使得的面积为？若存在，求所有满足要求的点 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）2 （2）存在，，，，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，结合离心率的计算公式，即可求解； （2）方法1：假设存在满足条件的点 ，当 垂直于 轴时，求得，满足题意；当 不垂直于 轴时，设直线 的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式和点到直线的距离公式，列出方程求得 的值，进而得到点 的坐标； 方法2：求得，且 的方程为，根据题意，得到点 到直线 的距离，利用点到直线的距离公式，求得或，联立方程组，进而求得点 的坐标. 【小问1详解】 解：由点和为双曲线上两点， 可得，解得，此时双曲线 的方程为， 所以双曲线 的离心率. 【小问2详解】 解：方法1：假设存在满足条件的点 ，且设 为直线， 当 垂直于 轴时，，此时，满足题意； 当 不垂直于 轴时，设直线 的方程为， 联立方程组，整理得， 则且，可得且， 设，可得，所以， 则， 又因为 到 的距离为，所以的面积为， 令，可得或， 解得或或， 因为，故当时，， 又因为，可得，故； 同理可得，当时，；当时，， 综上，所有满足要求的点 的坐标为，，，. 方法2：因为点和，可得， 且直线 的方程为， 假设存在满足条件的点 ，设点 到直线 的距离为 ， 若的面积为3，则，解得， 设过 且平行于直线 的直线为，则， 解得或， 当时，可得，联立方程组，解得，， 代入 的方程，可得或； 当时，可得，联立方程组，解得，， 代入 的方程，可得或， 综上可得，所有满足要求的点 的坐标为，，，. 17. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）证明：当 时，； （3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：. 【答案】（1）在单调递增 （2） 设，则， 设，则， 当 时，，单调递增， 故， 故单调递增， 故当 时，，即. （3） 因为点关于直线的对称点为，且在上，故. 由（1）可知在单调递增，且由（2）可知， 故. 由可知，等价于. 设， 则. 设， 则当 时，， 故当 时，单调递增，， 所以当 时，，单调递增. 又由（1）及（2）可知，，所以，即. 综上，. 【解析】 【分析】（1）利用函数导数判断函数的单调性； （2）设，结合导数判断函数的单调性证得不等式； （3）根据对称性结合函数的导数证得函数的不等关系； 【小问1详解】 根据题意有. 当 时，； 当时，，，故， 所以在单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． （1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． （3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 【答案】（1）0.7 （2） 买方乙要在该厂购买400箱这种零件， 若乙选择方案一，则成交的金额为万元 若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则， 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为万元 因为，所以方案二更优惠； （3） 设丙用方案一购买箱， 则丙用方案一需要支付的金额为元， 方案二需要支付的金额的期望为元， 所以丙购买的金额的期望为万元 因为为减函数，所以 越大，越小， 故应该选择箱使用方案一， 箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠. 【解析】 【分析】（1）分别计算买方甲以每箱优惠，，的价格成交的金额，再与万元比较即可求解； （2）先计算乙选择方案一的成交金额，再计算乙选择方案二的成交金额的数学期望，比较大小即可判断； （3）设丙用方案一购买箱，表示出丙购买的金额的期望为万元，利用为减函数即可做出决策. 【小问1详解】 买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二， 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元 故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求 的值. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当 时，在，上单调递增，在上单调递减， 当 时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分 、 、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当 时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若，则时单调递减，时单调递增； 若 ，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若 ，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 综上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当 时，在，上单调递增，在上单调递减， 当 时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期第二次模拟测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设函数 ，则（ ） A. 8 B. 9 C. 5 D. 4 4. 若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. “……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前 项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当 趋近于无穷大时，的近似值为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 是椭圆的左焦点，直线交椭圆 于两点.若，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若,分别表示中的较大者和较小者，则下列选项中，是命题“”的充要条件的有（　　） A. B. C. D. 10. 设，且．若随机变量满足，则（已知若随机变量，则）（　　） A. B. C. D. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点 和 ，其中共线，则（ ） A. 若直线 的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点 的坐标为时，光线由经过点到达点 所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则______. 13. 将一颗质地均匀的骰子投掷两次；第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条直线：，：平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数m的取值范围是__________. 14. 实数 ， 满足，则的最小值是______． 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中， ，为 上的点，且. （1）证明：平面； （2）若底面 是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面 ，求二面角的正弦值. 16. 已知和为双曲线上两点. （1）求 的离心率； （2）在 上是否存在点 ，使得的面积为 ？若存在，求所有满足要求的点 的坐标；若不存在，说明理由. 17. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）证明：当 时，； （3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：. 18. 某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． （1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． （3）买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求 的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $