第一章 三角函数+第二章 平面向量及其应用 检测卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

三角函数和平面向量检测卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知sina=5 5, c0sa=-12 ，则角。的终边与单位圆的交点坐标是( ) A点号 八品 【答案】D 2.下列关于向量的概念叙述正确的是() A.方向相同或相反的向量是共线向量 B.若aIb,b/1c,则a11c C.若a和b都是单位向量，则a=b D.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 【答案】A 3.已知cs-a-手则sna+号=(） A昌 B. 4 c昌 D 【答案】B 【解析】 因为co1-a=手所以-csa=台，所以sa号 所以 sna+号=asa=号故选B. 4.已知a=5,b=4,且ab=-12,则向量a在向量b上的投影向量为 () A. B. C.- D.6 【答案】C 【解析】向量知在向量6上的投影向量为合号冬，放选 C. 5.函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)=x-1,则不等 式对x)>0在[-1,3]上的解集为() A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)U(1,3)D. (-1,0)U(0,1 【答案】C 【解析】若x∈[-2,0]，则-x∈[0,2]， :f(x)是偶函数，.f(-x)=-x-1=f(x), 即当x∈[-2,0]时，f(x)=-x-1 若x∈[2,4]，则x-4∈[-2,0]， :f(x)的周期为4，∴.f(x)=f(x-4)=-(x-4)-1=-x+3 作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示， 则当x[-1,3时，不等式xf(x>0等价于0，或x<0,即1<x<3或 fx)>0f(x<0, -1<x<0,故不等式的解集为(-1,0)U(1,3),故选C. 6.在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE=号EC, AE与BD交于点O,则AO=() A.号恋+4cB.子丽+}A花C.恋+2D.丽+2就 【答案】A 【解析】如图， 设A0=1A正（入>0）， 又恋=丽+号0-号B+号C, 0=号+宁A花=号丽+号办， 又B,0,D三点共线，“号+号A=1, -,0恋+ 7.电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数 1=Asin+pA>0,a>0,0<p<受)的图象如图所示，则当t=0s时， 电流强度是() 5 s 5 300 -10H A.-5A B.5A C.53A D.10A 【答案】A 【解析】由题图知A=10,子嘉。动 、T_1,0==100π， T .I=10sin(100πt+p 又点30010在函数图象上， 100x×2+p=+2k元，k∈Z. 300 叉0<0<受p君 6 1=10sin100t+g: 当=0s时，I=-5A,故选A 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.已知 a-b=ccos B-ccosA,则△ABC是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】将cosA=6+c2-a2 2bc cos B=a'+c2-b2 2ac 代入a-b=ccosB-ccosA中， a-b=a'tci-b2_b2+c2-d 2a 2b 等式两边同乘2ab得2ab-2ab2=a2b+c2b-b3-ab2-ac2+a, 移项、合并同类项得a2b-ab+(-c2b+ac2)-(a3-b)=0,整理得 ab(a-b)+c2(a-b)-(a-b)a2+ab+b2)=0, 即(a-b)(c2-a2-b)=0, 可得a=b或a2+b2=c2, 则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D. 二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分). 9.如图是函数y=si(@x+p的部分图象，则sin(ox+p)=() A.sin(x+亚 B.sin(-2x) C.cos(2x+)D.cos(5z-2x) 6 【答案】BC 【解析】由题图可知， 专号君受1=，由1哥可如， 2r=t,a=2,不妨取o=2,则f(x)=sin(2x+p,又：图象过 〔0，“sin号+p)=0,又：晋是fx)的下降零点，“号+p=π+2km, k∈乙，∴p号+2k,k∈乙，不妨取0=号， 3 则fx-sin2x+号1=sn2x+若+1=cos2x+名， fx=sn2x+=sm-(号-2xI=sin受-2x,故选Bc. 10.已知向量e=(-1,2),e2=(2,1,若向量a=1e+2e2,则可使12<0 成立的向量的坐标可能是() A.(1,0 B.(0,1) C.（-1,0) D.(0,-1 【答案】(AC 【解析】 a=入1e1+入2e2=(-11,2入)+(22，A2=(-11+22,211+入2).若a=(1,0,则 220解得1=青-号入入0：满足题意若a=0,1则 2入1+入2=0， +21,0,解得，=名，，=，，>0：不满足题意：因为向量(-1,0) 2入1+入2=1， 与向量1,0共线，所以向量-1,0)也满足题意.同理，向量0，-1)不 满足题意.故选AC, 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,则下列命题正 确的有() A.若S=csA,则△ABC为直角三角形 B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.若b+c2<a2,则△ABC为钝角三角形 D.若b=ac,则0<B≤号 【答案】ACD 【解折】对于，山余弦定理可得后。， 化简得c2+a2=b2,所 以△ABC为直角三角形，A正确： 对于B,因为sin2A=sin2B,所以2A+2B=2kπ+π，k∈Z或 2A-2B=2k'n,k'∈Z,又A∈(0，π，B∈(0，π，A+B∈(0，π)，所以 A+B=匹或A=B,所以△ABC为直角三角形或等腰三角形，B错误； 对于C,因为6+c<d,所以由余弦定理得osAb+a<0,又 2bc A∈(0，π，所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形，C正确； 对于D,由余弦定理可得cosB-十C-b≥2ac-6-2c,当日 2ac 2ac 仅当a=c时等号成立，又B∈(0，π，所以0<B≤行，D正确. 三.填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，） 12..已知向量a=(2,3),b=(15,x),若a1b,则x= 【答案】-10 13.己知一个扇形的面积为1cm,周长为4cm,则圆心角的弧度数为 【答案】2 【解析】设扇形的半径为Rcm,弧长为lcm,圆心角为a,则2R+l=4 根据扇形的面积公式SR,得1R, 2R+1=4: 暖立R1解得R=12所以只子-2故圆心角的弧度数为 2 14.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC=6,且AD=λBC, 而A丽=多则实数入的值为 若M,N是线 段BC上的动点，且MI=1,则DM·D的最小值为 【答案】司： ；2 【解析】AD=入BC,.AD1/BC, .∠BAD=180°-∠B=120°， ∴.AB:Ad=AB:ABC=c0s120=A×6×3×(-号)=-9=-3， 解 得名 以点B为坐标原点，BC所在直线为轴，过点B作垂直于BC的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， O(B BC=6,∴.C(6,0), ·AB到=3，∠ABC=60,A(3,33) 2’2, 又，则D。 设M(x,0),则N(x+1,0)(其中0≤x≤5)， mx2, 成=x3-3距。 2/, 成m=x号号影4--4+马x-2温 2 :当x=2时，DM·D取得最小值，为 13 四.解答题：（本题共5小题，共77分.其中15题13分，16、17 题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 15..求下列各式的值 (1) sin(-1395)cos1110°+cos(-1020)sin750°； (2) sin(- 11)+co 6 12亚.sim6π· 5 (3) tan315°+tan570° tan(-60).tan 675' 【解析】 1 ) 原 式 =sin(-4×360°+45)cos(3×360°+30)+cos(-3×360°+60)sin(2×360°+30°)=sin45°·cos30°+c （2)原式=nf-2+看+os2r+2-sn16x+0)=n吾+cos20=分 (3) 原式=tan(360°-45)+an(3×180+30】 tan(-60°)tan(2×360°-45)） =-tan45°+tan30 1+3 31-3 -tan60°(-tan45)-3×(-1)3 16. (1)设0是坐标原点，0A=(k,12),OB=(4,5,0元=(10，k),当k 为何值时，A,B,C三点共线？ (2)已知a=2b=2,e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b 上的投影向量为-e. ①求a与b的夹角6； ②若向量入a+b与向量a-3b的夹角为钝角，求入的取值范围. 【解析】(1)0A=(k,12),OB=(4,5,O元=(10，k), ∴.AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12), 又A,B,C三点共线，.由两向量平行的充要条件，得 (4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11, 即当k=-2或k=11时，A,B,C三点共线. (2)①由向量a在向量b上的投影向量为a1cs0:点-e,得os日=-号 1b1 , 故0= ②由向量Aa+b与向量a-3b的夹角为钝角，得（入a+b)(a-3b)<0,且 1a+b与 a-3b不 共 线 即 (aa+bj-(a-3b]=d2+1-3a-b-362=4A-1-3-3<0,且9f-3,得 A×号，且A号故x的取值范国是-0，u(~号号 17.已知函数(x)=-3cos(2x+妥+1 (1)求函数f(x)的图象的对称中心： (2) 求函数f(x的单调递减区间； (3) 若xe学1，求函数Fx的值域 【解析】 (1) 由-受+2kπs2x+≤+2kπ，keZ,解得-号+k≤x≤君+kn, 62 6 k∈Z,. 函数fx的单调递增区间为[-号+kn,+k,k∈乙.由 子2k≤2x+后+2k,keZ,解得后+km≤×s+kT，keZ, 6≤2 3 函数x的单调递减区间为哈+kx,号+k,ke乙。 (2)0x受小晋2x+晋g方m2x+看1，fx的最 6 大值为2+a+1=4,∴.a=1 (3) 当fx)取最大值时，2x+匹=+2kπ，k∈Z,x=+kπ， 62 6 ke乙，.当f(x)取最大值时，x的取值集合是{xx=石+kπ，k∈Z. 18.如图，在O处有一港口，两艘海轮B,C同时从港口O出发向正北 方向匀速航行，海轮B的航行速度为20海里/时，海轮C的航行速度 大于海轮B的航行速度.在港口O北偏东60°方向上的A处有一观测站， 1小时后在A处测得与海轮B的距离为30海里，且A处对两艘海轮B, C的视线夹角为30.(sin2A+cos2A=1) (1)求观测站A到港口O的距离； (2)求海轮C的航行速度. 【解析】 (1)由题意知OB=20海里.因为AB=30海里，∠AOB=60°，所以在 △AOB中，由余弦定理得AB'=0A2+OB2-2×OA×OB×cos∠AOB, 即 302=0A2+202-2×0A×20×c0560°，即0A2-20:0A-500=0,解得 0A=10+106海里（负值舍去）·所以观测站A到港口o的距离为 (10+106)海里. 20 (2) 在△AOB中，由正弦定理得sin∠OAB 30 sin60', 解得 sin∠OAB=3 在△ABC中，∠BAC=30，∠ABC=60+∠OAB,所以 ∠ACB=90°-∠OAB, 所以sin∠ACB=sin(90'-∠OAB)=cos∠OAB BC-30 --m2oG-5在△Ac巾，由正弦定理得起， 解得 3 BC=156海里，所以oC=0B+BC=-(20+156,海里，所以海轮c的航 2 行速度为20+155海里/时. 19..在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且 sin2A=sinB+sinC-sin Bsin C. (1)求A: (2) 若a=27,b=4,求△ABC的面积； (3) 若a=2 bcos B,a=3,求BC边上的中线长. 【解析】 (1)因为sin2A=sinB+sin2C-sin BsinC,所以由正弦定理得 &b+cbc,由余弦定理可得osA-Qc因为 2bc A∈(0，，所以A= (2)因为a=2V7,b=4且a2=b2+c2-bc,所以28=16+c2-4c,解得c=6 或c=-2(舍去)，所以5 cbe sin A×4×6x 3=63. 2 (3)因为a=2 bcos B,所以由正弦定理可得sinA=2 sin Bcos B,即 2B-盟，因为A-景所以e0,2,则2Be0,,所以2B=受 或2B=子，即B=或B=石，当B时，△ABC为等边三角形，所以BC 边上的中线长为3n号，当8号时，C1A-8子所以△AC 为直角三角形，由正弦定理品A品Bc得h-3,c-295,所 以c边上的中线长为3号-空 2 三角函数和平面向量检测卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知，，则角 的终边与单位圆的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 2．下列关于向量的概念叙述正确的是（ ） A. 方向相同或相反的向量是共线向量 B. 若，，则 C. 若和都是单位向量，则 D. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数是周期为4的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 7.电流强度（单位：A）随时间（单位：）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是（ ） A. B. C. D. 8.在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.如图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D 10.已知向量，，若向量，则可使成立的向量的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.．已知向量，，若，则________. 13.已知一个扇形的面积为，周长为，则圆心角的弧度数为______. 14.如图，在四边形中， ，，，且，，则实数 的值为_____若，是线段上的动点，且，则的最小值为___________ 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.．求下列各式的值. （1） ； （2） . （3） 16．（1）设是坐标原点，，，，当为何值时，，，三点共线? （2）已知，是与方向相同的单位向量，且向量在向量上的投影向量为. ①求与的夹角 ； ② 若向量与向量的夹角为钝角，求 的取值范围. 17.．已知函数. （1） 求函数的图象的对称中心； （2） 求函数的单调递减区间； （3） 若，求函数的值域. 18．如图，在处有一港口，两艘海轮，同时从港口出发向正北方向匀速航行，海轮的航行速度为20海里/时，海轮的航行速度大于海轮的航行速度.在港口北偏东 方向上的处有一观测站，1小时后在处测得与海轮的距离为30海里，且处对两艘海轮，的视线夹角为 （1） 求观测站到港口的距离；（2） 求海轮的航行速度. 19.．在中，，，分别为内角，，的对边，且.（1） 求； （2） 若，，求的面积； （3） 若，，求边上的中线长. 学科网（北京）股份有限公司 $