第一章三角函数第二章平面向量测试提升卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

三角函数和平面向量单元检测提升卷（解析） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若角 的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.已知平面向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，，所以，，，.故选D. 3．若四边形是平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，， 所以.故选D. 4.为了得到函数，的图象，可将函数，的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】将的图象向右平移个单位长度得到的图象，故B正确. 5.已知函数，且，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得，所以1是的周期.又易知为奇函数，所以. 6．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】由正弦定理，得，则，得或（舍去）. 由，得（负值舍去），则. 由，知， 所以.故选A. 7．甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周后，两人停止运动，若用 表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知 时，甲、乙两人相遇，排除A，C，甲、乙两人的直线距离大于或等于零，排除D，故选B. 8．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】由平行四边形法则，得，则，，且，反向， 设，则. ， 当时，取得最小值，为.故选D. 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.下列说法正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 若角，则角 为第二象限角 D. 若一扇形的圆心角为 ，半径为，则扇形的面积为 【答案】BC 【解析】对于A选项，，A中说法错误；对于B选项， ，B中说法正确；对于C选项， ， 角 为第二象限角，C中说法正确；对于D选项，， 扇形的面积为，D中说法错误.故选. 10.下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与方向相反 B. 已知，且，则 C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是 D. 若，则为钝角三角形 【答案】AD 【解析】对于A：若两个非零向量，，满足，则，即， 可得，即,，则，，与方向相反，故A正确. 对于B：由，得，则，又， 故或，即或，均满足，故B错误. 对于C：，， 由为锐角，得，解得， 由与不共线，得，即，故C错误. 对于D：由，得， ，， ， ，又 ， ，为钝角三角形，故D正确.故选. 11．在中，在线段上，且，，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为8 C. 的周长为 D. 为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】由，可得，故A中结论错误;设，则，在中，，整理得，解得（负值舍去），即，，所以，故B中结论正确；在和中，，即，解得（负值舍去），故的周长为，故C中结论正确；在中，，则为钝角，故为钝角三角形，故D中结论正确. 故选. 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，，，且，，三点共线，则实数____________. 【答案】或3 【解析】因为，，，且，，三点共线， 所以，，则，解得或， 经验证或均满足题意. 13．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则____________________. 【答案】 【解析】因为函数在上单调递减，所以， ，则， 又因为函数在上的最大值为，所以 ,，即,，所以. 14.已知是边长为2的等边三角形，向量，满足，，则下列结论中正确的是____（写出所有正确结论的序号）. 为单位向量；为单位向量；；；. 【答案】①④⑤ 【解析】，，，， 又是边长为2的等边三角形， ，，①中结论正确，②、③中结论错误； 由，知，④中结论正确； ， ， ，⑤中结论正确． 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知向量，的夹角为 ，且，，. （1） 当时，求实数的值； （2） 当时，求向量和的夹角. 【解析】 （1） 因为，所以，即，所以，（4分）因为，且，所以，解得.（7分） （2） 当时，，所以， ，设向量与的夹角为 ，则，因为 ，所以向量和的夹角为 . 16.从， ， 的终边关于轴对称，并且 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知第四象限角 满足   ，求下列各式的值. （1） ； （2） . 【解析】 若选择条件①，， ，.若选择条件②， 是第四象限角，，，又 ， 的终边关于轴对称， ， ，又 ， ，即. （1） . （2） . 17.已知某地一天从4时到16时的温度（单位：）变化近似满足函数，. （1） 求该地区这一段时间内的温差； （2） 若有一种细菌在到之间可以生存，则在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 【解析】 （1） 易知，当时，函数取得最大值，即最高温度为，（2分）当时，函数取得最小值，即最低温度为.（4分）所以温差为. （2） 令，可得，又，所以，（令，可得，又，所以. 故该细菌的存活时间为小时. 18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1） 求； （2） 若，，是线段的两个三等分点，，，求的值. 【解析】 （1） ， 由正弦定理得，，，又 ，. （2） 由，是线段的两个三等分点，，设，，则，.已知，，在中，由余弦定理得，解得（负值舍去），即，则. 19.在直角梯形中，已知，，，动点，分别在线段和上（包括端点），且，. （1） 当时，求的值； （2） 求向量，的夹角； （3） 求的取值范围. 【解析】 （1） 当时，由题意可知，，，，则，，，，则，因此，又， ，所以. （2） ,，，所以，所以向量，的夹角为 . （3） 由（2）得，，所以，由题意知，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数和平面向量单元检测提升卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若角 的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2.已知平面向量，，则向量（ ） A. B. C. D. 3．若四边形是平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 4.为了得到函数，的图象，可将函数，的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5.已知函数，且，，那么（ ） A. B. C. D. 6．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 3 7．甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周后，两人停止运动，若用 表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.下列说法正确的是（ ） A. 化成弧度是 B. 化成角度是 C. 若角，则角 为第二象限角 D. 若一扇形的圆心角为 ，半径为，则扇形的面积为 10.下列命题中正确的是（ ） A. 两个非零向量，，若，则与方向相反 B. 已知，且，则 C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是 D. 若，则为钝角三角形 11．在中，在线段上，且，，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为8 C. 的周长为 D. 为钝角三角形 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，，，且，，三点共线，则实数____________. 13．若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则____________________. 14.已知是边长为2的等边三角形，向量，满足，，则下列结论中正确的是____（写出所有正确结论的序号）. 为单位向量；为单位向量；；；. 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知向量，的夹角为 ，且，，. （1） 当时，求实数的值； （2） 当时，求向量和的夹角. 16.从， ， 的终边关于轴对称，并且 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 已知第四象限角 满足   ，求下列各式的值. （1） ；（2） . 17.已知某地一天从4时到16时的温度（单位：）变化近似满足函数，. （1） 求该地区这一段时间内的温差； （2） 若有一种细菌在到之间可以生存，则在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 18.在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1） 求； （2） 若，，是线段的两个三等分点，，，求的值. 19.在直角梯形中，已知，，，动点，分别在线段和上（包括端点），且，. （1） 当时，求的值； （2） 求向量，的夹角； （3） 求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $