4.1数列的概念（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.1 数列的概念(第1课时) 01 情境导入 情境导入 古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”.如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列.那么什么叫数列呢? 02 数列 探究1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75、87、96、103、110、116、120、128、138、145、153、158、160、162、163、165、168. 记王芳第i岁时的身高为hi，那么h175，h287，…，h17168. hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置. 问题： h5，h10能否交换位置?具有确定的顺序吗? 新知讲解 探究2：在两河流域发掘的一块泥版(编号K90，约产生于公元前7世纪) 上有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5、10、20、40、80、96、112、128、144、160、176、192、208、224、240. 记第i天月亮可见部分的数为si.那么s15，s210，…，s15240. 问题：它们具有确定的顺序吗? 注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示. 新知讲解 上述两组数的共同特征是什么? (1)75、87、96、103、110、116、120、128、138、 145、153、158、160、162、163、165、168. (2)5、10、20、40、80、96、112、128、144、160、 176、192、208、224、240. 一列数 确定顺序 新知讲解 数列 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，也称首项，常用符号a1表示. 第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示…… 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 项数：组成数列的数的个数称为数列的项数. 数列的一般形式是 ，简记为. 新知讲解 思考1：{an}与an的意思一样吗? {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 思考2：数列的项与项数有什么不同? 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数； 项数是指这个数列共有多少项. 思考3：数列的项有哪些特性? 有序性、可重复性、确定性. 新知讲解 思考4：数列{an}中的各项ak与各项序号k (k＝1，2，3，···，n，···) 之间的对应关系是什么关系? 序号 项 数列{an}是函数yf(x)当自变量从1开始，按照从小到大的顺序 依次从正整数集N+(或它的有限子集{1，2，3，…，n})取值时，函 数值anf(n)的排列.其自变量是序号n，对应函数值是数列的第n项an， 记为anf(n). 数列是特殊的函数 新知讲解 列表法： 图象法： 解析法： n 1 2 3 4 5 an 3 6 9 12 15 an3n，n{1，2，3，4，5}. 数列的表示法 数列与其他函数一样，也可以用解析式、表格和图象来表示. 例如：分别用表格、图形和解析式表示数列：3，6，9，12，15. 新知讲解 数列的分类 1. 以项数多少来分类：(1)有穷数列：项数有限的数列； (2)无穷数列：项数无限的数列. 2. 以各项的大小关系来分类： (1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. (2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. (3)常 数 列：各项都相等的数列； (4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项， 有些项小于它的前一项的数列. 新知讲解 【例1】下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列? 哪些是递减数列?哪些是常数列? (1)，，，，； (2)，，，，，； (3)，，，， ； (4) ，，，，； (5)，，，，，，，，，. 例题剖析 【练习】判断下列结论是否正确.(正确的打√，错误的打×) (1)数列 ， ， ， 是无穷数列． ( ) (2)数列 ， ， ， 和数列 ， ， ， 是同一个数列．( ) (3)常数列中的项不能为0． ( ) (4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列． ( ) 举一反三 03 数列的通项公式 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 注意：(1)通项公式的主要作用是“知序号求其项”， 也可判断某数是否是数列中的项. (2)一些数列的通项公式不是唯一的. (3)不是每一个数列都能写出它的通项公式. 新知讲解 【例2】根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)1，，，， (2)2，0，2，0， 例题剖析 常见数列的通项公式 数列 通项公式 1，2，3，4，… 1，3，5，7，… 2，4，6，8，… 1，4，9，16，… 1，2，4，8，… 1，1，1，1，… 9，99，999，9999，… 规律方法 【练习】根据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式： (1)1，，13，19， (2)0.7，0.77，0.777，0.7777， (3)，，，，， 举一反三 【例3】如果数列{}的通项公式为，那么120是不是 这个数列的项?如果是，是第几项? 例题剖析 【练习】已知数列{}的通项公式为. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)49是否是该数列中的一项?如果是，应是哪一项? 68是否是该数列中的一项?如果是，应是哪一项? 举一反三 例题剖析 【例4】已知数列{}的通项公式(kR). (1)当时，判断数列{}的单调性； (2)若数列{}是递减数列，求实数的取值范围. 作差法：利用与0的大小关系进行比较. 作商法：利用与1的大小关系进行比较. 【练习】已知函数f(x)，设数列{an}的通项公式为anf(n)， 其中nN*. (1)求证：0an1； (2)判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 举一反三 例题剖析 【例5】已知数列{}的通项公式. 当为何值时，有最小值?并求出最小值. 求最小项： 求最大项： 【练习】已知数列{}的通项公式. 求数列{}的最大值. 举一反三 04 课堂小结 课堂小结 数列的概念 $