第五单元数学广角—鸽巢问题解决问题高频常考易错题专项训练-2025-2026学年六年级数学下册人教版

第五单元数学广角—鸽巢问题解决问题高频常考易错题专项训练 一、解答题 1．把37名志愿者最多安排到几个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者？ 2．古时候，某地渔民出海打渔，相互之间用举红、白两种旗子来传递信号，可以举一面旗子，也可以先后举两面旗子，不举旗子不传递信号；一次出海打渔过程中，某船向其他船一共传递了13次信号，至少有几次传递的信号是相同的？如果传递了23次信号呢？ 3．为了发展和培养同学们的能力，学校开设了航模、科技、漫画三个社团，规定每个学生最多可以参加其中的两个社团（也可不参加）。那么，至少有多少名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同？ 4．一副扑克牌，至少要抽出多少张，才能保证其中有2张牌的点数相同？（不考虑大、小王） 5．一把钥匙只能开一把锁，现有8把钥匙和8把相配的锁，最多要试验几次能保证全部的钥匙和锁相匹配？ 6．把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 7．弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣小组，在这些学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选几名学生，才能保证有两名学生年龄相同？ 想：在解决这个问题时，是把（    ）看作抽屉，共有（    ）个抽屉。 我的解答： 8．“七月天孩儿面，说变就变”。某地区7月份出现过的天气情况如下表，该市至少有多少天是同一种天气？ 晴 多云 阴 小雨 多云转晴 晴转多云 多云转阴 小雨转阴 小雨转多云 中雨转小雨 9．某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 10．一个箱子里有形状、大小完全相同的红、黄、蓝、绿色小球各10个，如果要保证一次取出的小球里至少有3个小球颜色相同，那么一次至少要取出多少个小球？ 11．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各5个放在一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 12．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 13．把11支圆珠笔发给5名同学，不管怎么发，总有一名同学至少发到3支圆珠笔。为什么？ 14．“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 15．某次作文竞赛有52名同学参赛，他们分别来自10所学校，至少有1所小学的人数超过5名。为什么？ 16．从如图8张卡片中，任意抽出几张。要使抽出的卡片中一定有2张图案相同的，至少要抽出几张？ 17．某校六年级有320人，这些同学中，至少有多少名同学在同一月过生日？为什么？ 18．六（3）班有学生40人，至少有几名同学是在同一个月过生日的？如果他们要从3个候选人中选出班长，那么得票最多的候选人至少会得到多少票？（每人限投一票，候选人也参与投票） 19．东东在玩掷骰子游戏（骰子为正方体，六个面上标有1～6个点），东东至少掷几次才能保证有两次的点数相同？请说明理由。 20．桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到？ 21．元旦时老师给表现最好的12个小朋友送贺卡，其中收到贺卡最多的小朋友至少收到5张贺卡，那么老师至少要准备多少张贺卡？ 22．圣诞节时圣诞老人给表现最好的10个小朋友送礼物，其中收到最多礼物的小朋友至少收到3件礼物，那么圣诞老人至少要准备多少件礼物？ 23．六年一班有55个学生，每个学生参加篮球、足球、排球中的两项活动，那么至少多少人参加的活动项目相同？ 24．一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚。 ①从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？ ②从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？ ③从中至少摸出几枚，才能保证有7枚颜色相同？ 25．一副扑克牌去掉大王和小王后共有52张，这些扑克牌有四种花色，每种花色有13张。 （1）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证四种花色都有。 （4）一次至少要拿出（ ）张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。（直接写出答案） 参考答案 1．9个 【分析】根据题意可知，如果每个社区都安排4名志愿者，则有，则最多安排9个社区，必有一个社区里安排了5名志愿者，据此解答即可。 【解答】 答：把37名志愿者最多安排到9个社区，才能保证至少有1个社区里安排了5名志愿者。 2．4次；6次 【分析】这个船员可以举1白、1红、先红后白、先白后红，共4种举旗传递信号的方法。 第一问：用传递信号的总次数除以4，可知每种信号一定各有3次，那么剩下的1次无论与哪一种信号相同，都至少有4次传递的信号是相同的。用同样的方法解答第二问即可。 【解答】13÷4＝3（组）……1（次） 3＋1＝4（次） 23÷4＝5（组）……3（次） 5＋1＝6（次） 答：如果传递了13次，至少有4次传递的信号是相同的；如果传递了23次，至少有6次传递的信号相同。 3．204名 【分析】根据题意，学生参加社团的情况有：不参加社团的；只参加其中的一个社团的，有航模、科技、漫画3种；参加其中的两个社团的，有航模和科技、航模和漫画、科技和漫画3种。一共有1＋3＋3＝7种情况。把这7种情况看作7个抽屉，从最不利情况考虑，每个抽屉需要放30－1＝29（名）学生，共需要29×7＝203（名），再增加1个学生不论参加什么社团，总有一个抽屉的学生数量是29＋1＝30（名），所以至少有203＋1＝204（名）学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。 【解答】通过分析可得： 1＋3＋3＝7 （30－1）×7＋1 ＝29×7＋1 ＝203＋1 ＝204（名） 答：至少有204名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。 4．14张 【分析】建立抽屉：一副扑克牌去掉大、小王共52张，有4种花色，每种花色有52÷4＝13张牌，相当于有13个抽屉，利用抽屉原理，考虑最不利的情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出13张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即2张牌点数相同，据此解答。 【解答】13＋1＝14（张） 答：至少要抽出14张。 5．28次 【分析】从最不利的情况考虑，用8把钥匙去试第一把锁，最不利的情况是实验了7次，前6次都没有打开，第7次无论打开与否，都能确定这把锁匹配的钥匙；以此类推，第二把锁最多实验6次，第三把锁最多实验5次，……最后一把锁最多实验1次，据此用加法求出总次数。 【解答】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（次） 答：最多要试验28次能保证全部的钥匙和锁匹配。 6．30人 【分析】要保证一个学生中至少有3本书，那么其他学生必须分满2本，从总数中拿出一本备用（用做最后改2本为3本），则（本数－1）÷（最多拿到的本数－1），所得商为学生数（无论是否有余数），据此解答。 【解答】（61－1）÷（3－1） ＝60÷2 ＝30（人） 答：那么这个班最多有30人。 7．年龄；7；8名 【分析】根据题意可知，在解决这个问题时，是把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。所以至少要挑选（7＋1）名学生，才能保证有两名学生年龄相同。 【解答】根据题意，把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。 7＋1＝8（名） 答：最少从中挑选8名学生。 8．4天 【分析】根据题意可知，七月份有31天，一共出现了10种不同的天气，用31除以10，商为3，余数为1，所以再用3加上1，即可求出答案。 【解答】31÷10＝3（天）……1（天） 3＋1＝4（天） 答：该市至少有4天是同一种天气。 9． 33位 【分析】在160次到175次之间共有16种不同的跳绳次数，把每个跳绳次数看作1个抽屉，共有16个抽屉。最坏的情况是每个抽屉里放2个相同的跳绳次数，就必须选出16×2＝32（位）同学。如果再选一位同学，不管他跳其中哪种次数，放入相应的抽屉中，这个抽屉中便有3个相同的跳绳次数，所以至少要挑出33位同学，才能保证从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 【解答】 （位） 答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 10．9个 【分析】从最差的情况考虑，因为红、黄、蓝、绿色小球各10个，共有4种颜色，至少有3个小球颜色相同，即相同颜色的小球各有2个，共4×2＝8（个），那么再取任何一个小球即可满足要求；据此解答。 【解答】由分析可知： 4×2＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 答：那么一次至少要取出9个小球。 【点睛】本题考查抽屉原理，注意：要从最差的情况考虑。 11．5个 【分析】根据最不利原理，先取4个球，红、黄、蓝、白各1个，则再取1个球无论是什么颜色，都能保证取到两个颜色相同的球。 【解答】4＋1＝5（个） 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【点睛】根据抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键。 12．10只 【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。 【解答】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只） 答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。 【点睛】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。 13．3支；原因见详解 【分析】把五名同学看作5个抽屉，把11支圆珠笔看作11个元素，从最不利情况考虑，要使每名同学的支数最少，只有使每个抽屉的元素数尽量平均即可。 【解答】11÷5＝2（支）……1（支） 2＋1＝3（支） 所以总有一名同学至少发到3支。 【点睛】本题考查利用抽屉原理解决实际问题的灵活运用，关键是从最差情况考虑。 14．44名 【分析】从最不利的情况考虑：只有一名学生拿到了4个小礼物，其他学生每人拿到了3个小礼物，那么小礼物的总个数减1刚好是3的倍数，此时学生的总人数＝（礼物总个数－1）÷3，据此解答。 【解答】（133－1）÷3 ＝132÷3 ＝44（名） 答：李老师班里最多有44名学生。 【点睛】本题主要考查鸽巢原理的应用，从最不利情况考虑问题是解答题目的关键。 15．见详解 【分析】把10所学校看作10个抽屉，把52名同学看作52个元素，那么每个抽屉需要放（名）……2（名），所以每个抽屉需要放5名，剩下的2名不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：5＋1＝6（名），所以，至少有1所小学的人数超过5名；据此解答。 【解答】（名）……2（名） 5＋1＝6（名） 答：至少有1所小学的人数超过5名。 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，根据抽屉原理进行解答即可。 16．5张 【分析】考虑最差情况，抽出的前4张卡片是相同的，那么第5张卡片一定是不同的。据此解题。 【解答】1×4＋1 ＝4＋1 ＝5（张） 答：至少要抽出5张，才能保证抽出的卡片中一定有2张图案相同的。 【点睛】本题考查了抽屉原理，解题关键在于要有一定逻辑推理能力，同时要掌握最差原则的解题方法。 17．至少有27名同学在同一月过生日，因为无论怎么样剩余的同学都会在12个月其中一个月里生日。 【分析】因一年有12个月，320÷12＝26（名）……8（名），最差情况是26名在一个月过生日，还余8名，根据抽屉原理，至少26＋1＝27人在同一个月过生日。 【解答】320÷12＝26（名）……8（名） 剩下的8名同学，无论怎么样都会在12个月其中一个月里生日 26＋1＝27（名） 答：至少有27名同学在同一月过生日。 【点睛】在此抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余的情况下）。 18．4名；14票 【分析】一年有12个月，从最不利的情况考虑，如果每个月都有3名同学过生日，那么剩下的4名同学中的任意1人无论在哪个月过生日，都至少有4名同学在同一个月过生日； 如果每个候选人都先得到了13票，那么剩下的1票无论投给谁，得票最多的候选人至少会得到14票。 【解答】40÷12＝3（名）……4（名） 3＋1＝4（名） 40÷3＝13（票）……1（票） 13＋1＝14（票） 答：至少有4名同学是在同一个月过生日。得票最多的候选人至少会得到14票。 【点睛】熟练掌握抽屉问题的解题方法是解决本题的关键。 19．7次；见详解 【分析】从最有利的情况考虑，掷出2次就可能点数相同。从最不利的情况考虑，如果前6次掷出的点数分别是1、2、3、4、5、6，那么再掷1次无论是几点都能保证有两次的点数相同。 【解答】6＋1＝7（次） 答：东东至少掷7次才能保证有两次的点数相同。因为如果前6次掷出的点数都不相同，那么再掷1次无论是几点都能保证有两次的点数相同。 【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。 20．14个 【分析】此题中求至少取多少个球，即为“最不利原则”问题。解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是先把白球和红球全都取出来了，但黑球还没有取到。此时共取出：7＋6＝13（个）。那么下一次再取出一个球必定保证三种球都能取到。所以总共需取出13＋1＝14（个）球才能保证三种球都取到。 【解答】7＋6＝13（个） 13＋1＝14（个） 答：闭上眼睛取14个球才能保证三种球都取到。 【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。 21．49张 【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。收到最多贺卡的小朋友即“抽屉王”收到5张贺卡，则其他小朋友应收到：5－1＝4（张），根据抽屉原理：4×12＝48（张），再加上“抽屉王”多出的1张贺卡，则至少准备：48＋1＝49（张），所以老师至少准备49张贺卡。 【解答】5－1＝4（张） 4×12＝48（张） 48＋1＝49（张） 答：老师至少要准备49张贺卡。 【点睛】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。 22．21件 【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。最坏的情况就是每个小朋友都先拿2件礼物，此时，只需要再分发1件礼物，就一定会有人分到3件礼物。 【解答】2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（件） 答：那么圣诞老人至少要准备21件礼物。 【点睛】本题考查抽屉原理。 23．19人 【分析】由题意可知，每个学生可以选择参加篮球和足球，篮球和排球，足球和排球，一共3种不同的选择方案，把55个学生看作被分放物体数，3种不同的选择方案看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【解答】分析可知，被分放物体的数量为55，抽屉的数量为3。 55÷3＝18（人）……1（人） 18＋1＝19（人） 答：至少19人参加的活动项目相同。 【点睛】准确找出被分放物体数量和抽屉数量是解答题目的关键。 24．①3枚；②5枚；③13枚 【分析】①把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。 ②把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。 ③把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放6个，共需要12个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。 【解答】①2＋1＝3（枚） 答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同。 ②2×2＋1 ＝4＋1 ＝5（枚） 答：从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同。 ③6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（枚） 答：从中至少摸出13枚，才能保证有7枚颜色相同。 【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“抽屉原理1：把多于n＋1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。” 25．（1）5 （2）13 （3）40 （4）14 【分析】（1）一副牌有4种花色，根据最不利原理，先拿出4张是不同的花色，再拿出1张，无论是什么花色都能保证这种花色有2张是同花色的； （2）从中任意抽牌，最不利情况是把每种花色抽出3张，即4×3＝12张，此时再抽出1张，一定保证有4张牌是同一种花色的； （3）每种花色都有13张，根据最不利原则，先拿出13×3＝39张， 把3种花色都拿出来了，再拿一张一定是第4种花色，由此求解； （4）一副牌有13种不同的数字，根据最不利原则，先拿出13张是不同的数字，再拿出1张，无论是数字几都能保证这种数字有2张。 【解答】（1）4＋1＝5（张） 则一次至少要拿出5张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的。 （2）4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（张） 则一次至少要拿出13张牌，才能保证有4张牌是同一种花色。 （3）13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（张） 则一次至少要拿出40张牌，才能保证四种花色都有。 （4）13＋1＝14（张） 则一次至少要拿出14张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的。 学科网（北京）股份有限公司 $