第五单元三角形的三边关系、分类及内角和解决问题高频常考易错题专项训练-2025-2026学年四年级数学下册人教版

第五单元三角形的三边关系、分类及内角和解决问题 一、解答题 1．如图把一个等腰梯形分成一个平行四边形和一个三角形，这个三角形的周长是多少？（单位：厘米） 2．有一个三角形，它的三条边中有两条边长分别为4厘米、7厘米，它的另一条边长可能是多少厘米？有几种可能？（边长取整数） 3．把一根长15厘米的铁丝剪成三段（取整厘米数），围成一个三角形。可以怎样剪？请写出两种剪法。并选择其中一种，在图上表示出来。 （1）（    ）厘米、（    ）厘米、（    ）厘米； （2）（    ）厘米、（    ）厘米、（    ）厘米。 （3） 4．用三根小棒摆三角形，摆出的形状是唯一的，这说明了三角形具有（    ）性。王爷爷用了十多年的木头椅子有点摇晃，请你利用三角形的这个特性帮助王爷爷加固椅子。（在下边椅子上画出加固方法） 5．建筑工人要做一个三角形的钢架，已经找到两根钢材，第一根长4米，第二根长6米，第三根钢材可能长多少米（长为整米数）？ 6．把一根8厘米长的吸管剪成长度为整厘米数的三段。 （1）如果第一次从3厘米处剪开，第二次可以从（    ）厘米处剪开，也可以从（    ）厘米处剪开，剪成的三小段正好可以围成一个三角形。 （2）如果第一次从4厘米处剪开，剪成的三小段能围成一个三角形吗？ 7．如果一个三角形的两条边分别长4厘米和7厘米，另一条边可能是几厘米？（取整厘米数） 8．小瑜邀请你玩三角形拼组游戏，在规定时间内成功拼出不同规格的三角形，以多者胜。现有2、4、6、8厘米长的小棒各3根，小瑜已成功拼出4种不同的三角形。为了获胜，请你至少写出5种三角形拼组方案。可以用“（a，b，c）”来表示，如三条边长度都2厘米的，可以记作“（2，2，2）”。 9．小熊把“海底世界”的景点示意图弄烂了，已知每相邻两个景点之间的距离如下。 10．小明想把一根12厘米长的小棒剪成能围成三角形的三段（每段长均为整数厘米），一共有几种情况？其中等腰三角形（等边三角形除外）的三条边长分别是几厘米？ 11．将一根64厘米长的铁丝围成一个底是18厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的一条腰长多少厘米？ 12．一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 13．学校准备用篱笆围一块等腰三角形花圃。已知一条腰长8米，篱笆总长22米。这个花圃的底边长是多少米？ 14．乐乐用六一节积分换的扭棒玩具头尾相连围了一个等腰三角形，这个等腰三角形其中两条边分别长6厘米和12厘米。如果乐乐用这扭棒玩具头尾相连围一个等边三角形，那这个等边三角形的边长是多少厘米？ 15．航天小学四（1）班刘慧同学设计了两个周长相等的“阳光健身知识宣传栏”版面，一个等边三角形，一个等腰三角形，用两根同样长的丝带分别为这两个三角形边框做装饰。等边三角形的边长是32分米，等腰三角形的一条边长是26分米，那么另外两条边的长度分别是多少分米？ 16．丰收节很热闹，爸爸找到一个用铁丝围成的边长12厘米的正方形方框，用这根铁丝给天天围成一个等边三角形的风筝。三角形风筝的边长是多少厘米？ 17．下面是一张面积为400平方厘米的长方形折叠后的样子，这张长方形的宽是多少厘米？ 18．五月是育才学校的劳动月，为增强师生热爱生活、热爱劳动的意识，学校举行了“劳动为本，奉献最美”劳动月系列活动。劳动小组为了修整菜园，计划开辟一块等腰三角形菜地，菜地的周长是30米，其中一条边的长是6米，另外两条边分别是多少米？ 19．淘气是个爱动手、爱动脑的孩子。他把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，可以怎么剪？（写出三种不同的答案，可画图说明） 20．一块钢板的形状如下图，量得这块钢板的周长是60厘米，，，求和长多少厘米？ 21．李爷爷家有一块三角形菜地，菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，这块三角形菜地的其它两个角分别是多少度？这是一块什么三角形菜地？ 22．足球是正五边形黑皮与正六边形白皮缝合而成的（如下图），请你用已经学过的三角形、四边形“内角和”知识，通过画一画、算一算的方法，推算出正五边形的内角和。（提示：写出2种正确的推算方法给满分） 23．学校举行风筝比赛，奇思做了一个造型是等腰三角形的风筝（如图）。风筝的顶角是40°，请你计算出∠1和∠2的度数。 24．正六边形花窗是我国传统建筑的代表之一。 （1）用数学眼光观察，这个正六边形花窗的外框共有（    ）条对称轴。 （2）正六边形的内角和是多少度？请你借助图形先画一画，再计算。 25．星期六，小明在家用一根竹条折成了一个等腰三角形的风筝框架。（充分考虑写出所有情况） （1）如果测得其中一个角是48度，另外两个角分别是多少度？ （2）如果量得这根竹条长是60厘米和其中一条边长是18厘米，另外两条边分别是多少厘米？ 参考答案 1．9厘米 【分析】等腰梯形的两条腰相等，平行四边形的两组对边平行且相等，则三角形的两条边相等，长度与等腰梯形腰的长度相同。三角形第三条边的长度是梯形上底与下底长度的差。再将三角形的三条边长度相加求和。 【解答】3＋3＋（7－4） ＝3＋3＋3 ＝9（厘米） 答：这个三角形的周长是9厘米。 【点睛】本题关键是明确等腰梯形和平行四边形的特征，再求出三角形的三条边的长度。 2．4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米或10厘米；7种 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形两边的差一定小于第三边；进行解答即可。 【解答】7－4＝3（厘米） 7＋4＝11（厘米） 所以，3＜另一条边的长度＜11； 答：它的另一条边长可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米或10厘米，有7种可能。 【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形的特性是解题的关键。 3．（1）2；6；5； （2）3；6；6； （3）见详解 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差一定小于第三边；进行解答即可。 【解答】（1）2＋6＋7＝15（厘米） 2＋6＞7 可以剪成2厘米、6厘米和7厘米长的三段。（答案不唯一） （2）3＋6＋6＝15（厘米） 3＋6＞6 可以剪成3厘米、6厘米和6厘米长的三段。（答案不唯一） （3）可以剪成2厘米、6厘米和7厘米长的三段，画图如下： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用。 4．稳定，图见详解 【分析】根据三角形具有稳定性，画出加固方法即可，据此解答。 【解答】用三根小棒摆三角形，摆出的形状是唯一的，这说明了三角形具有（稳定）性。王爷爷用了十多年的木头椅子有点摇晃，在椅子腿加固木条，构造三角形，如图所示： 【点睛】本题考查了三角形的特性，熟练掌握并灵活运用。 5．3米或4米或5米或6米或7米或8米或9米 【分析】三角形三条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此解答即可。 【解答】6－4＝2（米） 6＋4＝10（米） 2米＜第三根的长度＜10米 因此第三根钢材可能长3米、4米、5米、6米、7米、8米、9米。 答：第三根钢材可能长3米、4米、5米、6米、7米、8米、9米。 【点睛】熟练掌握三角形三条边之间的关系是解答本题的关键。 6．（1）5；6 （2）不能 【分析】三角形的三边关系：三角形中任意两边的长度之和大于第三边。根据题意可知，8厘米长的吸管剪成长度为整厘米数的三段，如果较短的两段吸管的长度和大于最长吸管的长度，则三段吸管能围成三角形，否则不能围成三角形，据此解答即可。 【解答】（1）如果第二次从4厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、1厘米、4厘米，1厘米＋3厘米＝4厘米，剪成的三段不能围成三角形； 如果第二次从5厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、2厘米、3厘米，2厘米＋3厘米＞3厘米，剪成的三段能围成三角形； 如果第二次从6厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、3厘米、2厘米，3厘米＋2厘米＞3厘米，剪成的三段能围成三角形； 如果第二次从7厘米处剪开，则三段的长度分别是：3厘米、4厘米、1厘米，1厘米＋3厘米＝4厘米，剪成的三段不能围成三角形； 所以如果第一次从3厘米处剪开，第二次可以从5厘米处剪开，也可以从6厘米处剪开，剪成的三小段正好可以围成一个三角形。 （2）8－4＝4（厘米） 剩余两段的长度之和等于第三边，所以如果第一次从4厘米处剪开，剪成的三小段不能围成一个三角形。 7．4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米 【分析】根据任意三角形的两边之和必须大于第三边，两边之差小于第三边，代入数据，即可解题。 【解答】由分析可知： 4＋7＝11（厘米） 7－4＝3（厘米） 因此另一条边大于3厘米小于11厘米，可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米。 答：另一条边可能是4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米。 8．见详解 【分析】三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边；较短的两根小棒长度和大于最长小棒长度即可。 【解答】4＋4＞4，所以三角形可以是（4，4，4）； 4＋6＞8，所以三角形可以是（4，6，8）； 6＋6＞6，所以三角形可以是（6，6，6）； 8＋8＞8，所以三角形可以是（8，8，8）； 6＋6＞8，所以三角形可以是（6，6，8）； 6＋8＞8，所以三角形可以是（6，8，8）； （答案不唯一） 9．见详解；从景点①直接到景点③最近；见详解 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据每相邻两个景点之间的距离以及三角形三边关系，摆出四个景点的大致位置。根据摆出的四个景点的位置图，从景点①到景点③有3条路，分别是由景点①经过景点④到景点③，由景点①经过景点②到景点③，由景点①直接到景点③；三条线路分别近似围成了两个三角形，再根据三角形中，任意两边之和大于第三边，可知从景点①直接到景点③最近。据此解答。 【解答】根据分析可知： 40m＋70m＝110m 110m＞90m 90m－70m＝20m 20m＜40m 因此按从景点①→景点④→景点③→从景点①的顺序连接近似围成一个三角形。 30m＋70m＝100m 100m＞90m 90m－70m＝20m 20m＜30m 因此按从景点①→景点②→景点③→从景点①的顺序连接近似围成一个三角形。 摆放四个景点的大概位置图如下： 从景点①直接到景点③最近，也就是中间加粗线段表示的那条路比较近；理由是：三角形中，任意两边之和大于第三边，所以中间加粗线段表示的那条路比较近。 10．有3种情况，等腰三角形（等边三角形除外）的三条边长分别是2厘米、5厘米、5厘米。 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，结合小棒总长12厘米且每段为整厘米数，可确定最长边取值只能为4厘米和5厘米。可以列举法列出所有的情况，再根据等腰三角形的两条腰相等，得到等腰三角形（等边三角形除外）的三条边长。据此作答。 【解答】最长边为5厘米时有两种情况：三条边长分别是2厘米、5厘米、5厘米，2＋5＋5＝12（厘米）或三条边长分别是3厘米、4厘米、5厘米，3＋4＋5＝12（厘米） 最长边为4厘米时有一种情况：三条边长分别是4厘米、4厘米、4厘米，4＋4＋4＝12（厘米） 据此得出等腰三角形（等边三角形除外）的三条边长分别是2厘米、5厘米、5厘米。 答：一共有3种情况，其中等腰三角形（等边三角形除外）的三条边长分别是2厘米、5厘米、5厘米。 11． 23 厘米 【分析】铁丝的长度即为围成的三角形的周长，根据等腰三角形的特征，两条腰的长度相等，用周长减去底边的长度，求出两条腰的长度和，再除以2求出一条腰的长度。 【解答】 答：这个等腰三角形的一条腰长23厘米。 12．18分米 【分析】首先要知道，同一根铁丝围成不同图形，铁丝长度不变，也就是三角形的周长相等。先算等腰三角形的周长：等腰三角形两条腰相等，所以用两条腰的长度加底边长度。 如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的周长等于铁丝的长度，等边三角形三条边一样长，用周长除以3，就能得到每条边的长度。 【解答】（15＋15＋24）÷3 ＝54÷3 ＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 13．6米 【分析】由题意可知：等腰三角形的两条腰相等，篱笆总长也就是等腰三角形的周长，用等腰三角形的周长－腰长×2，即可求出底边长是多少米。 【解答】22－8×2 ＝22－16 ＝6（米） 答：这个花圃的底边长是6米。 14．10厘米 【分析】在三角形中，任意两边之和必须大于第三边。如果等腰三角形的腰长是6厘米，那么两腰之和为6＋6＝12（厘米），这与另一条边的长度相等，不满足三角形三边关系。所以等腰三角形的腰长只能是12厘米。等腰三角形的三条边分别为12厘米、12厘米、6厘米，所以扭棒的总长度为12＋12＋6＝30（厘米）。因为等边三角形的三条边长度相等，所以用扭棒的总长度除以3，即可得到等边三角形的边长是多少厘米。 【解答】当腰长是6厘米时， 6＋6＝12（厘米） 不满足三角形三边关系。 当腰长是12厘米时， （12×2＋6）÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 答：这个等边三角形的边长是10厘米。 15．35分米和35分米或26分米和44分米 【分析】等边三角形的三条边都相等，等腰三角形的两条边相等；先把等边三角形的三条边长相加，求出等边三角形的周长，也就是丝带的长度；等腰三角形两条腰相等，其中一条边是26分米，则腰可能是26分米；如果腰是26分米，则用丝带的长度减去两条腰的长度，即可求出第三条边的长度；再根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断是否满足要求；如果腰不是26分米，则用丝带的长度减去26，然后除以2即可求出腰的长度，再根据三角形三边关系，判断是否满足要求。 【解答】丝带的长度：（分米） 如果腰是26分米，底边的长度是： （分米） 此时三条边分别是26分米、26分米和44分米，26＋26＞44，所以满足三角形三边关系； 如果底边是26分米，腰的长度是： （分米） 此时三条边分别是26分米、35分米和35分米，26＋35＞35，所以满足三角形三边关系； 答：如果腰是26分米，则另外两条边分别是26分米和44分米；如果底边是26分米，则另外两条边分别是35分米和35分米。 16．16厘米 【分析】由题意得，爸爸找到一个用铁丝围成的边长12厘米的正方形方框，那么正方形的周长就等于铁丝的长度。正方形的周长＝边长×4，直接将数据代入即可算出这根铁丝的长度。用这根铁丝给天天围成一个等边三角形的风筝，等边三角形的三条边长度相等，那么直接用铁丝的长度除以3即可算出三角形风筝的边长。 【解答】12×4＝48（厘米） 48÷3＝16（厘米） 答：三角形风筝的边长是16厘米。 17．10厘米 【分析】观察图形，长方形纸折叠后形成的夹角是60°，展开后可以发现折叠部分形成的三角形是等边三角形（因为等边三角形的三个角都是60°）。从图中能看到，长方形纸的长是由8个等边三角形的边长组成，而图中标注的20厘米是4个等边三角形的边长。那么长方形的长是20厘米的2倍，所以长方形的长为：20×2＝40（厘米）。已知长方形纸的面积是400平方厘米，根据长方形的面积＝长×宽，现在知道面积是400平方厘米，长是40厘米，要求宽，就用面积除以长。 【解答】400÷（20×2） ＝400÷40 ＝10（厘米） 答：这张长方形纸的宽是10厘米。 18．12米、12米 【分析】等腰三角形有两条边长度相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。 三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 若底为6米：（等腰三角形周长一底）÷2＝腰； 若腰为6米：等腰三角形周长一腰×2＝底，再根据三角形两边之和一定大于第三边，去掉不可能的情况，得出另外两条边分别是多少米。 【解答】若底为6米，则腰为： （30－6）÷ 2 ＝24÷2 ＝ 12（米） 若腰为6米，则底为： 30－6×2 ＝30－12 ＝ 18（米） 6＋6＝12＜18，根据三角形两边之和一定大于第三边可知，三角形的腰不可能是6米。 所以底为6米，其他两边长都是12米。 答：另外两条边分别是12米、12米。 19．见详解 【分析】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。由题意得，淘气要把一根20厘米长的吸管剪成3段（每段长是整厘米数），再用这三段吸管围成一个等腰三角形，那么这三段应该有两段的长度应该相等且满足构成三角形的条件。据此解答。 【解答】6＋6＋8＝12＋8＝20（厘米），6＝6，6＋6＝12＞8，即淘气可以将吸管剪成6厘米，6厘米，8厘米的小段。 7＋7＋6＝14＋6＝20（厘米），7＝7，6＋7＝13＞7，即淘气可以将吸管剪成7厘米，7厘米，6厘米的小段。 8＋8＋4＝16＋4＝20（厘米），8＝8，8＋4＝12＞8，即淘气可以将吸管剪成8厘米，8厘米，4厘米的小段。 答：淘气可以将吸管剪成6厘米，6厘米，8厘米的小段，也可以将吸管剪成7厘米，7厘米，6厘米的小段，还可以将吸管剪成8厘米，8厘米，4厘米的小段。（答案不唯一） 20．23厘米 【分析】根据题意，因为∠1＝∠2，所以这是一个等腰三角形，三角形的周长和底边已知，因为等腰三角形的两条腰相等，所以利用三角形的周长减去底边长然后除以2，以此解答即可。 【解答】根据分析可知： 因为∠1＝∠2，所以三角形为等腰三角形，AB＝AC。 （60－14）÷2 ＝46÷2 ＝23（厘米） 答：AB和AC长23厘米。 21．26度、24度 钝角三角形 【分析】菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，用130度除以5可以计算出另一个角的度数。再根据三角形的内角和是180度，利用减法求出第三个角的度数。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此判断。 【解答】（度），（度） 180度130度90度，130度的角是钝角，所以这块菜地是钝角三角形。 答：这块三角形菜地的其它两个角分别是26度、24度。这是一块钝角三角形菜地。 22．正五边形的内角和是540°；方法见详解 【分析】方法一： ①分割图形：从五边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，可以把五边形分割成多个三角形。对于五边形，从一个顶点出发可以连5－3＝2条对角线，把五边形分割成5－2＝3个三角形。 ②计算内角和：因为每个三角形的内角和是180°，那么3个三角形的内角和就是五边形的内角和，即180°×3＝540°。 方法二： ①分割图形：在五边形内部任取一点，连接这点与五边形的各个顶点，可以把五边形分割成5个三角形。 ②计算内角和：这5个三角形的内角和是180°×5＝900°，但这5个三角形的内角和比五边形的内角和多了一个周角（360°），所以五边形的内角和是900°－360°＝540°。 【解答】方法一： 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 方法二： 180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° 所以正五边形的内角和是540°。 （方法不唯一） 23．∠1的度数为70°，∠2的度数是110° 【分析】已知这个风筝是等腰三角形的，等腰三角形的特点是两条腰相等，并且所对应的两个底角也相等；三个内角和是180°，顶角是40°，180°减40°得140°，两个底角和是140°，两个底角和除以2，即可求出∠1的度数，由图可知，∠1、∠2和另外两个直角是在一个四边形中，四边形的内角和是360°，用四边形的内角和依次减去两个90°，再减去∠1的度数，即可求出∠2的度数，据此解答即可。 【解答】∠1的度数： ∠2的度数： 答：∠1的度数为70°，∠2的度数是110°。 24．（1）6 （2）720度 【分析】（1）这个六边形窗户的外框是轴对称图形，可分别过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点和过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，画出它的对称轴即可； （2）一个三角形的内角和为180°，正六边形可被分成4个三角形，用180°×4，即可得到这个正六边形的内角和是多少度，据此借助图形先画一画，再计算。 【解答】（1）过这个六边形窗户的外框的两个相对的顶点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条；过这个六边形窗户的外框的两个相对的边的中点，可画出它的对称轴，这样的对称轴有3条。因此这个六边形窗户的外框共有6条对称轴。 （2） 把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 答：正六边形的内角和是720度。 25．（1）48度和84度或66度和66度 （2）18厘米和24厘米或21厘米和21厘米 【分析】（1）等腰三角形的两个底角相等，而且等腰三角形的三个角的和是180度。如果48度是等腰三角形的底角，则用三角形的内角和减去2个底角的度数就是顶角的度数；如果48度是等腰三角形的顶角，则用三角形的内角和减去48度，再除以2，即可求出等腰三角形的底角； （2）等腰三角形两条腰相等，其中一条边是18厘米，则腰可能是18厘米；如果腰是18厘米，则用60减去两条腰的长度，即可求出第三条边的长度；再根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断是否满足要求；如果腰不是18厘米，则用60减去18，然后除以2即可求出腰的长度，再根据三角形三边关系，判断是否满足要求。 【解答】（1）如果48°是等腰三角形的底角，顶角是： （度） 如果48度是等腰三角形的顶角，底角是： （度） 答：如果48度是等腰三角形的底角，则另外两个角分别是48度和84度；如果48度是等腰三角形的顶角，则另外两个角分别是66度和66度； （2）如果腰是18厘米，底边的长度是： （厘米） 此时三条边分别是18厘米、18厘米和24厘米，18＋18＞24，所以满足三角形三边关系； 如果底边是18厘米，腰的长度是： （厘米） 此时三条边分别是18厘米、21厘米和2厘1米，18＋21＞21，所以满足三角形三边关系； 答：如果腰是18厘米，则另外两条边分别是18厘米和24厘米；如果底边是18厘米，则另外两条边分别是21厘米和21厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $