10.3实际问题与二元一次方程组（2）—几何、图形问题作业 2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（2） ——工程和几何问题 姓名：_______ 班级：_____ 基础题 知识点1：几何问题 1． 如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化.现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（    ） 第1题图 第2题图 A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4 2．如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是（    ） A．B． 5 4 7 C．D． 3．如图，在的方格内，填写了一些含x，y的式子和数，其中各行各列和对角线上的三个数之和都相等，则__________________． 4．如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为______平方米 5．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，则此长方形的面积为（   ）． A. B． C． D． 第4题图 第5题图 知识点2：工程问题 6．甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做天，乙再开始做，天后两人做的一样多，如果甲先做个，乙再开始做，天后乙反而比甲多做个．设甲每天做个，乙每天做个，则可列出的方程组是（    ） A．B． C．D． 7．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A．B． C．D． 8．某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 中档题 9. A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，经过2小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，，则可列出的方程组 10.《九章算术》的“方程”章是世界最早系统研究一次方程组的文献之一．古人以“算筹布列”的方式表示一次方程组：算筹的纵、横摆放对应未知数的系数与常数项．如算筹图1表示的方程组为，类比图1的方程组，请写出算筹图2所表示的方程组为____________ ． 11.甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 12．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 实际问题与二元一次方程组（2） ——工程和几何问题 姓名：_______ 班级：_____ 基础题 知识点1：几何问题 1．如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化.现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（    ） A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4 【答案】D 【分析】根据两条小路面积相等，改造后绿地面积是小路面积的4倍，列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在生活中的应用，理解题意，结合图形，找出等量关系，是解题的关键． 2．如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，设和的度数分别为，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设和的度数分别为， 由题意可得， 故选：． 3．如图，在的方格内，填写了一些含x，y的式子和数，其中各行各列和对角线上的三个数之和都相等，则__________________． 5 4 7 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系.通过题意列出二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，得.解得. 则 故答案为： 4．如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为___________平方米 【答案】1080 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出方程组是解题的关键．通过设每块小长方形茶室的长和宽，依据茶园的长和宽列出正确方程组，求解出长和宽，进而算出总面积． 【详解】解：设每块小长方形茶室的长为米，宽为米．由题意得 解得 每块小长方形面积为（平方米） 五块总面积为（平方米） 故答案为：． 5．如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，则此长方形的面积为（   ）． A. B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 由图可知：， 解得：， ∴长方形的长为：，宽为：， ∴长方形的面积为：． 故选：A 知识点2：工程问题 6．甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做天，乙再开始做，天后两人做的一样多，如果甲先做个，乙再开始做，天后乙反而比甲多做个．设甲每天做个，乙每天做个，则可列出的方程组是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程． 设甲每天做个，乙每天做个，根据“如果甲先做 1 天，乙再开始做， 5 天后两人做的一样多；如果甲先做 30 个，乙再开始做， 4天后乙反而比甲多做 10 个”，即可列出方程组． 【详解】解：设甲每天做个，乙每天做个， 根据题意可得方程组， 故选：A． 7．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 8．某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？ 【答案】工程队清理了河道，工程队清理了河道 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组． 先设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道，根据题意列出方程组求解，再求，工程队分别清理了的河道长度． 【详解】解：设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道， 则，解得：， ∴工程队清理了（）河道， 工程队清理了（）河道， 答：工程队清理了河道，工程队清理了河道． 中档题 9.A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，经过2小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，则可列出的方程组 【答案】 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时， 根据题意得：， 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 10.《九章算术》的“方程”章是世界最早系统研究一次方程组的文献之一．古人以“算筹布列”的方式表示一次方程组：算筹的纵、横摆放对应未知数的系数与常数项．如算筹图1表示的方程组为，类比图1的方程组，请写出算筹图2所表示的方程组为____________ ． 【答案】 【分析】根据算筹图1所表示的方程组，可找出各算筹表示的数量：第一列表示x的系数，第二列表示y的系数，第三列表示常数项，1个竖线表示1，左侧的1个横线表示10，上方的一个横线表示5，进而可得出算筹图2所表示的方程组 【详解】解：根据题意得：． 11．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 13．阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $