培优提分练习(7)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·培优提分练习 ●·培优提分练习(7) ●● 1.(1)【阅读理解】问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A十∠C= 180°。求证：DA=DC。 思考：“角平分线十对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题。 方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题。 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明。 (2)【问题解决】如图2，在(1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60°时，探究线段AB,BC,BD 之间的数量关系，并说明理由； (3)【问题拓展】如图3，在四边形ABCD中，∠A十∠C=180°，DA=DC,过点D作DE⊥ BC,垂足为E,请写出线段AB,CE,BC之间的数量关系。 B 图1 图2 图3 25 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-●… 2.如图，在等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE,AF。 点G是线段BE的中点，BN∥AC,BN与AG的延长线交于点N。 (1)若∠BAN=15°，求∠N的度数： (2)若AE=CF,求证：AF=2AG。 26 数学·培优提分练习 ●…●- 3.【实践探究】 小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块进行 实践探究： ① ② ③ ④ 图1 图2 图3 (1)现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数 恒等式： 【问题解决】 (2)若要用这四种长方体拼成一个棱长为x十2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体 各需要多少个？试通过计算说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表 示方法，直接写出y3一x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别 是两个大小不同的正方体的棱长，且a3一8n3=(a一2n)(4一4an),当a一2n为整数时， 求an的值。 27 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-●… 4.阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有 效。将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如，，2+3-22_2，+2-红-1+名1这样，分式就拆分成了一个分 x一1 x-1 x一1 式，2与一个整式x一-1的和的形式。根据以上阅读材料，解容问愿。 (1)将下列分式化为一个整式与一个分式（此分式的分子为整数）和的形式： @x+5 x十4 ;@2x2-4z+1 x-2 (②)利用分离常数法，求分式的最大值： 3尼知：P+2Q千2设y=号品若xy均为非军能数，求y的值。 28解得k=一号b=6 2 所以一次函数的表达式为y=一号十6： (2)设点Q(m,-号m+6),侧△OBQ的面积=号×OA× 1。-=2×6x1m-3=号， 解得：m=4.5或1.5， 故点Q(4.5,3)或(5,5)； (3)设点P(0,m),而点A、B的坐标分别为：(0,6)，(3,4)， 则AB2=13,AP2=(m-6)2,BP2=9+(m-4)2, 当AB=AP时，13=(m-6)2,解得：m=/13+6或-/13 +6; 当AB=BP时，同理可得：m=6(舍去)或2； 当BP=AP时，同理可得：m=兴， 综上点P的坐标为：(0,13+6)或(0，一/13+6)或(0,2) 或(o,). 2.解：(1)①由题意得a=c=1,b+d=一5，bd=6, 所以可凑数b=-2,d=-3, 故x2-5x十6=(x-2)(x-3)。 ②由题意得ac=2,ad+bc=1,bd=-36, 所以可凑数a=1,c=2, 则d+2b=1,bd=-36, 又可凑数b=一4，d=9, 故2y2+y-36=(y-4)(2y+9)。 (2)设(ax+b)(cx+d)=mx2-(3m-1)x+2m-1, acx?+(ad+bc)x+bd=mx2-(3m-1)x+2m-1, 凑数a=1,c=m, .∴.mx2+(d+mb)x+bd=m.x2-(3m-1)x+2m-1, ∴.d+mb=-(3m-1),bd=2m-1, 分四种情况讨论： 当b=1,d=2m-1时，代入d+mb=-(3m-1),不成立， 舍去； 当b=2m-1,d=1时，代入d+mb=一(3m一1)，不成立， 舍去； 当b=-1,d=1-2m时，代入d+mb=-(3m-1),成立，符 合题意； 当b=1一2m,d=-1时，代入d+mb=一(3m-1),不成立， 舍去， 所以只有b=-1,d=1-2m, 故mx2-(3m-1)x+2m-1=(x-1)(mx+1-2m)。 3.(1)证明：.△ABC,△CDP都是等边三角形， .CB=CA,CD=CP,∠ACB=∠DCP=60°， .∠BCD=∠ACP, 在△BCD和△ACP中， (CB=CA, ∠BCD=∠ACP, CD=CP, ,.△BCD≌△ACP(SAS), .BD=AP。 (2)①证明：如答图，延长PM到点K, 使得MK=PM,连接CK。 .AP⊥PM, .∠APM=90, :M为AC的中点， ∴.MA=MC。 在△AMP和△CMK中， D 答图 5 参考苔案 MA=MC, ∠AMP=∠CMK, MP=MK, ∴.△AMP≌△CMK(SAS), .MP=MK,AP=CK,∠APM=∠K=90°， 同(1)可证△BCD≌△ACP, .BD=PA=CK, .PB=2PM, ∴.PB=PK, .PD=PC, ∴.△PDB≌△PCK(SSS), ∴.∠PBD=∠K=90°， ∴.PB⊥BD ②结论：PC=2PA。 证明：△PDB≌△PCK, .∠DPB=∠CPK, 设∠DPB=∠CPK=x,则∠BDP=90°一x, '∠APC=∠CDB, .90°+x=60°+90°-x, .x=30°， ∴.∠DPB=30°， :∠PBD=90°， ∴.PD=2BD, .PC=PD,BD=PA, .PC=2PA。 4.解：(1)同意。理由如下：在等边三角形ABC中，.∠ABC =∠BAC=∠C=60°，AB=BC=AC,.∠APB=30°， ∴.∠PAB=∠ABC-∠APB=60°-30°=30°，∴.PB=AB= AC,∠PAC=∠PAB+∠BAC=90°， ∴.PA2+AC=PC,.PA2+PB2=PC。 (2)如答图1，以线段AP为边朝外作等边 三角形APD,连接BD, 在等边三角形APD、等边三角形ABC 中，AD=AP=PD,AB=AC,∠DAP= ∠BAC=∠DPA=60°， ∴.∠DAB=∠PAC,∴.△DAB≌△PAC (SAS), 答图1 ∴.BD=PC,.∠APB=30°，∴.∠DPB=∠APB+∠APD= 30°+60°=90°， ∴.PD+PB2=BD,∴.PA2+PB2=PC. (3)如答图2，以线段AP为直角边朝外作等腰直角三角形 APD,其中∠DAP=90°，连接 D DB,DC, 在等腰直角三角形APD、等腰直 角三角形ABC中，PD=2AD= EAP,AB=AC=号BC, ∠DAP=∠BAC=90°， ∠DAB=∠PAC,∠DPA=45°，P ∴.△DAB≌△PAC(SAS),.BD B =PC, 答图2 ∠APB=45°， ∴.∠DPB=∠APB+∠APD=45°+45°=90°， ∴.PD+PB2=BD, ∴.(2PA)+PB=PC,即2PA2+PB2=PC。 w号 培优提分练习(7) 1.解：(1)选方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,如答 数学八年级下册（北师大版） 图1， ,BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△MBD中， (BD=BD, ∠ABD=∠MBD, BA=BM, 答图1 '.△ABD≌△MBD(SAS), ∴.∠A=∠BMD,AD=MD, .∠BMD+∠CMD=180°，∠C+∠A=180°， ∴.∠C=∠CMD,∴，DM=DC,.DA=DC 选方法2：延长AB到点N,使BN=BC,连接DN,如答图2， ,BD平分∠ABC, R ∴.∠NBD=∠CBD, 在△NBD和△CBD中， (BD-BD, ∠NBD=∠CBD, BN=BC, ∴.△NBD≌△CBD(SAS),∴.∠BND 答图2 =∠C,ND=CD, :∠NAD+∠BAD=180°，∠C+∠BAD=180°， ∴∠BND=∠NAD,∴DN=DA,.DA=DC。 (2)AB,BC,BD之间的数量关系为AB +BC-BD 理由如下： 如答图3，在BD上截取BF=AB,连 接AF, .∠BAD+∠BCD=180°， ∴.∠ABC+∠ADC=180°，，∠DAC= D 60°，又由(1)知 答图3 DA=DC,.△ADC为等边三角形，.∠ADC=60°，AD=AC, ∴.∠ABC=120°，.BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC=60, .△ABF为等边三角形， ∴.AB=AF=BF,∠BAF=60°， :∠DAC=60°， ∴.∠DAF=∠BAC, 又AD=AC, ∴.△AFD≌△ABC(SAS), ∴.DF=BC, ∴.BD=BF+DF=AB+BC (3)线段AB,CE,BC之间的数量关系为BC一AB=2CE。如 答图4， 连接BD,过点D作DF⊥AB于点F, :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+ ∠FAD=180°，.∠FAD=∠C, 在△DFA和△DEC中， ∠DFA=∠DEC, ∠FAD=∠C, 答图4 DA=DC, ∴.△DFA≌△DEC(AAS),.DF=DE,AF=CE, (BD=BD. 在R△BDF和Rt△BDE中，DF=DE, ∴.Rt△BDF≌Rt△BDE(HL),∴.BF=BE, .BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE, ∴.BC-AB=2CE。 2.(1)解：△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， .AC∥BN, .∠NBC=∠ACB=60°， .∠ABN=∠ABC+∠NBC=120°， 56 ∴在△ABN中， ∠N=180°-∠ABN-∠BAN=180°-120°-15°=45°。 (2)证明：：AC∥BN, ∴.∠N=∠GAE,∠NBG=∠AEG, 又点G是线段BE的中点， .BG=EG, .△NBG≌△AEG(AAS), ∴.AG=NG,AE=BN, .AE=CF, .BN=CF, ∠ACB=60°， ∴.∠ACF=180°-∠ACB=120°， ∴.∠ABN=∠ACF, 又，在等边三角形ABC中，AB=AC, ∴.△ABN≌△ACF(SAS), ..AN=AF, AG-NG-AN, .AF=2AG。 3.(1)(x+y)·y·y=xy2+y2 解：(2)②号长方体需要6个，③号长方体需要12个。理由 如下： (x+2y)3=x3+3x2·2y+3x·(2y)2+(2y)3=x3+6x2y+ 12xy2+8y,∴.需要②号长方体6个，③号长方体12个。 (3)由题意得y3-x3=（y-x)(y2+xy十x2), 由上可知：a3-8n3=a3-(2n)3=(a-2n)[a2+2an十(2n)2] =(a-2n)(a2+2an+4n2)=(a-2n)(4-4an), ∴(a-2n)(a2+2an十4n2-4+4an)=0,整理得(a-2n)(a +6an+4n2-4)=0, ,a与2n是两个大小不同的正方体的棱长， .a-2n≠0， ∴.a2+6an十4n2-4=0,则(a-2n)2=4一10an, :a一2n为整数，.4-10an为完全平方数， ∴.4-10an=1, .an=0.3。 4.101+4@2x+ 解：2-25-2》+ 5 x2+1 x2+1 x2+1 5 -2+x2+1' “≥0，当x=0时，分式2十3中分母不为零，有意义， x2+1 且分式值最大， 当x>0时，分母的值越大，分式的值越小， “当x-0时，特-2计-2计品-2+5 =3, 即当：=0时，分式乡告有最大值，最大值为3。 3y-音是P=+2.Q-02 y=-是= 4 4 8x 12-2x x+2-12c+2②=3x+= =2216=-号+392 16 3(x+2) :x,y均为非零整数， .当x=-3时，y=-6,此时xy=18, 当x=-6时，y=-2,此时xy=12, 当x=一18时，y=-1,此时xy=18, 综上所述，xy的值为18或12。