培优提分练习(6)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·培优提分练习 …●-● 。●·培优提分练习(6) ●0 1.如图一次函数y=x十b的图象经过点A(0,6),并与直线y=专x相交于点B,与x轴相交 于点C,其中点B的横坐标为3。 (1)求一次函数y=kx+b的表达式； (2)点Q为直线y=x十b上一动点，当点Q运动到何位置时，△OBQ的面积等于号？请求 出点Q的坐标； (3)在y轴上是否存在点P,使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标：若 不存在，请说明理由. 21 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-● 2.阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法。对于x2十3x十2，它不是完全平 方式，所以无法用公式法进行因式分解。现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范 围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，x2十3x十2最高含有x的二次项，所以看作由（αx十 b)(cx+d)得到； 第二步，去括号，(ax十b)(cx十d)=acx2+(ad十bc)x十bd,和x2+3x十2对比发现， 二次项系数为1，二次项由ax和cx相乘得出，所以a=c=1(为了计算简便，往往取整数)； 第三步，继续把x2+(b+d)x十bd和x2+3x十2对比，发现b,d两数之积为2，和为3，就不 难凑出b=1,d=2,检验一下：(x十1)(x+2)=x2十3x十2，换个方向写就是因式分解了. 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①x2-5x+6; ②2y2+y-36; (2)对关于x的多项式因式分解：mx2一(3m一1)x+2m一1。 22 数学·培优提分练习 3.△ABC,△DPC都是等边三角形。 D 图1 图2 (1)如图1，求证：AP=BD; (2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连接PM,PA,PB,BD,若PA⊥PM,且 PB=2PM。 ①求证：BP⊥BD; ②判断PC与PA的数量关系并证明。 23 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-●… 4.实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系 展开探究： B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，已知等边三角形ABC边CB的延长线上一点P,且满足∠APB=30°，求线段 PA,PB,PC的数量关系，马超同学一眼看出结果为，PA2+PB=PC2,你是否同意？ 请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似 “鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深人探究：如图2，△ABC为等 边三角形，∠APB=30°，(1)中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先以线段 AP为边朝外作等边三角形APD,连接BD·,请沿着小孙同学的思路尝试着走下去 看看结论是否符合(1)中的结论； (3)如图3，“鸡爪”图形PACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，请 直接写出线段PA,PB,PC的数量关系； (4)如图4，“鸡爪”图形PBAC中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，若 PB=1,PC=2,直接写出PA的长为 24数学八年级下册（北师大版） 答：购买A款运动盲盒的数量在15<m<40范围内时，去甲 商店更合算。 培优提分练习(5) 1.(1)①x=-1②x+1 解：②设另一个因式为x2十ax十b, (x+1)(.x2+ax+b)=x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+(a+ 1)x2+(a+b)x+b, .a=-1,b=3, .多项式的另一因式为x2一x十3。 .x3+2x十3=(x+1)(x2-x+3)。 (2)由材料可知，x=1,x=一2是方程x3十mx2十nx十p=0 的解， ÷+,0心 ∴.②-①，得m-n=3。 ∴.m-n的值为3。 2.解：(1)原式=(x2-y)十(ax十ay) =(x+y)(x-y)十a(x+y) =(x十y)(x-y+a)。 (2)原式=(ax-bx)+(a2-2ab+) =x(a-b)+(a-b) =(a-b)(x十a-b)。 (3)原式=(a+2a22+6)-(2ab+2a3b) =(a2+b)2-2ab(a2+b) =(a2+b)(a2+b-2ab) =(a2+b)(a-b)2, 由题意可得a2+b=9,(a-b)2=1, .原式=9。 3.(1)证明：如答图，AE⊥AD .∠DAE=∠DAC+∠2=90°， .'∠BAC=∠DAC+∠1=90°， .∠1=∠2， AB=AC, 在△ABD和△ACE中， ∠1=∠2， LAD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS). (2)证明：如答图，连接EF, .∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠3=45°， 由(1)已证：△ABD≌△ACE, .∠4=∠B=45°，BD=CE, D .∠FCE=∠3+∠4=45°+45 答图 =90°， ∴.CE+CF2=EF2, :'BD +CF=EF AF平分∠DAE, ∴.∠DAF=∠EAF, (AF-AF. 在△DAF和△EAF中，∠DAF=∠EAF, AD=AE, .△DAF≌△EAF(SAS), ∴.DF=EF,∴.DF2=BD十CF (3)解：如答图，过点A作AG⊥BC于点G, 由(2)知，DF=BD十CF=25, .DF=5(负值已舍)， .BC=BD+DF+CF=12, :AB=AC,AG⊥BC,∠BAC=90°， ·AG=BG=2BC=6, .DG=BG-BD=6-3=3, 5 则在Rt△ADG中，AD=/AG+DG=/62+32=3/5。 4.解：(1)BD=CE 理由是：∠BAE=∠CAD, ·∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, ∴.△EAC≌△BAD, ,BD=CE。 (2)如答图1，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角 三角形BAE,使∠BAE=90°，AE=AB,连接EC。 :∠ACD=∠ADC=45°， ∴.AC=AD,∠CAD=90°， ∴.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， ,AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, .△EAC≌△BAD,.BD=CE。 .AE=AB-5, .BE=/52+5=5/2,∠ABE=∠AEB=45°， 又.，∠ABC=45°， .∠EBC=∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°， ∴.EC=/BE+BC=/(5/2)+32=/59, ∴.BD=CE=59。 E C 答图1 答图2 (3)如答图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A, 交BC的延长线于点E。 .AE⊥AB,.∠BAE=90°， 又∠ABC=45°， ∴∠E=∠ABC=45°， ∴.AE=AB=5,BE=52+52=5/2, 又.∠ACD=∠ADC=45°， ∴.∠BAE=∠DAC=90°， ∴.∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， (AE-AB. ∠EAC=∠BAD,∴.△EAC≌△BAD(SAS), LAC-AD. .BD=CE, BC=3,∴.BD=CE=BE-BC=5/2-3。 培优提分练习(6) 1.解：1)：一次函数与y=专x相交于点B,其中点B的横坐 标为3， g=告×8=4， 则点B(3,4), 将点A(0,6)、B(3,4)的坐标代入一次函数表达式y=kx十b 中海么 解得k=一号b=6 2 所以一次函数的表达式为y=一号十6： (2)设点Q(m,-号m+6),侧△OBQ的面积=号×OA× 1。-=2×6x1m-3=号， 解得：m=4.5或1.5， 故点Q(4.5,3)或(5,5)； (3)设点P(0,m),而点A、B的坐标分别为：(0,6)，(3,4)， 则AB2=13,AP2=(m-6)2,BP2=9+(m-4)2, 当AB=AP时，13=(m-6)2,解得：m=/13+6或-/13 +6; 当AB=BP时，同理可得：m=6(舍去)或2； 当BP=AP时，同理可得：m=兴， 综上点P的坐标为：(0,13+6)或(0，一/13+6)或(0,2) 或(o,). 2.解：(1)①由题意得a=c=1,b+d=一5，bd=6, 所以可凑数b=-2,d=-3, 故x2-5x十6=(x-2)(x-3)。 ②由题意得ac=2,ad+bc=1,bd=-36, 所以可凑数a=1,c=2, 则d+2b=1,bd=-36, 又可凑数b=一4，d=9, 故2y2+y-36=(y-4)(2y+9)。 (2)设(ax+b)(cx+d)=mx2-(3m-1)x+2m-1, acx?+(ad+bc)x+bd=mx2-(3m-1)x+2m-1, 凑数a=1,c=m, .∴.mx2+(d+mb)x+bd=m.x2-(3m-1)x+2m-1, ∴.d+mb=-(3m-1),bd=2m-1, 分四种情况讨论： 当b=1,d=2m-1时，代入d+mb=-(3m-1),不成立， 舍去； 当b=2m-1,d=1时，代入d+mb=一(3m一1)，不成立， 舍去； 当b=-1,d=1-2m时，代入d+mb=-(3m-1),成立，符 合题意； 当b=1一2m,d=-1时，代入d+mb=一(3m-1),不成立， 舍去， 所以只有b=-1,d=1-2m, 故mx2-(3m-1)x+2m-1=(x-1)(mx+1-2m)。 3.(1)证明：.△ABC,△CDP都是等边三角形， .CB=CA,CD=CP,∠ACB=∠DCP=60°， .∠BCD=∠ACP, 在△BCD和△ACP中， (CB=CA, ∠BCD=∠ACP, CD=CP, ,.△BCD≌△ACP(SAS), .BD=AP。 (2)①证明：如答图，延长PM到点K, 使得MK=PM,连接CK。 .AP⊥PM, .∠APM=90, :M为AC的中点， ∴.MA=MC。 在△AMP和△CMK中， D 答图 5 参考苔案 MA=MC, ∠AMP=∠CMK, MP=MK, ∴.△AMP≌△CMK(SAS), .MP=MK,AP=CK,∠APM=∠K=90°， 同(1)可证△BCD≌△ACP, .BD=PA=CK, .PB=2PM, ∴.PB=PK, .PD=PC, ∴.△PDB≌△PCK(SSS), ∴.∠PBD=∠K=90°， ∴.PB⊥BD ②结论：PC=2PA。 证明：△PDB≌△PCK, .∠DPB=∠CPK, 设∠DPB=∠CPK=x,则∠BDP=90°一x, '∠APC=∠CDB, .90°+x=60°+90°-x, .x=30°， ∴.∠DPB=30°， :∠PBD=90°， ∴.PD=2BD, .PC=PD,BD=PA, .PC=2PA。 4.解：(1)同意。理由如下：在等边三角形ABC中，.∠ABC =∠BAC=∠C=60°，AB=BC=AC,.∠APB=30°， ∴.∠PAB=∠ABC-∠APB=60°-30°=30°，∴.PB=AB= AC,∠PAC=∠PAB+∠BAC=90°， ∴.PA2+AC=PC,.PA2+PB2=PC。 (2)如答图1，以线段AP为边朝外作等边 三角形APD,连接BD, 在等边三角形APD、等边三角形ABC 中，AD=AP=PD,AB=AC,∠DAP= ∠BAC=∠DPA=60°， ∴.∠DAB=∠PAC,∴.△DAB≌△PAC (SAS), 答图1 ∴.BD=PC,.∠APB=30°，∴.∠DPB=∠APB+∠APD= 30°+60°=90°， ∴.PD+PB2=BD,∴.PA2+PB2=PC. (3)如答图2，以线段AP为直角边朝外作等腰直角三角形 APD,其中∠DAP=90°，连接 D DB,DC, 在等腰直角三角形APD、等腰直 角三角形ABC中，PD=2AD= EAP,AB=AC=号BC, ∠DAP=∠BAC=90°， ∠DAB=∠PAC,∠DPA=45°，P ∴.△DAB≌△PAC(SAS),.BD B =PC, 答图2 ∠APB=45°， ∴.∠DPB=∠APB+∠APD=45°+45°=90°， ∴.PD+PB2=BD, ∴.(2PA)+PB=PC,即2PA2+PB2=PC。 w号 培优提分练习(7) 1.解：(1)选方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,如答