培优提分练习(3)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 。●·培优提分练习(3)。 1.阅读下面材料： 小明在进行数学课外小组活动时遇到这样一个问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝 对值不等式。求绝对值不等式x>3的解集。 小明同学的思路如下： 43-2101254 先根据绝对值的定义，求出|x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A,B,如图所示。 观察数轴发现，以点A,B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大 于3；点A,B之间的点（不包括点A,B)表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数 的绝对值大于3. 因此，小明得出结论：绝对值不等式x>3的解集为x<一3或x>3. 参照小明的思路，解决下列问题： (1)请你写出下列绝对值不等式的解集： ①x>2的解集是 ②x<5解集是 (2)求绝对值不等式2x一2.5十4<6的解集； (3)如果(2)中的绝对值不等式的整数解都是关于x的不等式组 <2x一m的解，求m的 1x-2≤m 取值范围。 10 数学·培优提分练习 2.【问题提出】如何解不等式|x一1|+x一3>x+2? 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型 和函数的图象，可以解决一系列问题。 图①中给出了函数y=x+1和y=2x十3的图象，观察图象，我们可以得到： 当x>一2时，函数y=2x十3的图象在y=x十1图象上方，由此可知：不等式2x十3>x十1 的解集为 预备知识2：函数y=x= x(x≥0) ,称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝 -x(x<0) 对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值 段”化简，即可去掉绝对值符号。比如化简x一1十x一3|时，可令x一1=0和x一3=0，分 别求得x=1,x=3(称1,3分别是|x一1和x一3的零点值)，这样可以就x<1,1≤x<3,x≥ 3三种情况进行讨论： (1)当x<1时，|x-1|+|x-3|=-(x-1)-(x-3) (2)当1≤x<3时，|x-1|+|x-3=(x-1)-(x-3)=2; (3)当x≥3时，|x-1|+|x-3|=(x-1)+(x-3)=2x-4 4-2x(x<1) 所以|x一1+|x-3|就可以化简为2(1≤x<3) 2x-4(x≥3) 预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示。 【知识迁移】 如图④，直线y=x+1与直线y=ax十b相交于点A(m,3),则关于x的不等式x十1≤ax十b 的解集是 【问题解决】 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x一1|十x一3|>x+2。在平面直角坐标 系内作出函数y=|x一1|十x一3|的图象，如图⑤。在同一平面直角坐标系内再作出直线 y=x十2的图象，如图⑥，可以发现函数y=|x一1|十|x一3|与y=x十2的图象有两个交 点，这两个交点坐标分别是 通过观察图象，便可得到不等式x一1十|x一3>x+2的解集。这个不等式的解集为 11 数学·八年级下册（北师大版） Y y=2x+3 6 y=x+1 y=- 65 y=x 4 3 y个 2 b y=b -5-4-3 123456x -5-4-3-2-9 123456元 2 2 -3 4 -5 -5引 图① 图② 图③ y y=4-2x y个 y=2x-4 y=4-2x y=2x-4y=x+2 ,y=x+1 A(m,3) \y=2 2 =2 0 3 0 1 y=ax+b 图④ 图⑤ 图⑥ 12 数学·培优提分练习 …●-…●-● 3.为了比较两个实数的大小，常用的方法是判断这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比 较法”。要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小。 如果要证明A>B,只需要证明A一B>0;同样的，要证明A<B,只需要证明A一B<0。 例如： 小明对于命题：任意的实数a和b,总有a2十b≥2ab,当a=b并且只有a=b时，等号成立， 给出了如下证明： 证明：.a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， ∴.a2十b2≥2ab,当a=b并且只有a=b时，等号成立。 (1)请仿照小明的证明方法，证明如下命题： 若a,b,x,y均不小于0，且a≥x,则(a-x)2十(b-y)2≤(a十b-x)2+y2; (2)若a1≥a2≥…≥an≥0，b1≥b2≥…≥bm≥0，且a1十a2+…+an=b1十b2+…十bn=1, 求(a1-b1)2+(a2一b2)2+…+(an一bn)2的最大值。 13数学八年级下册（北师大版） (∠CAD=∠BCE, 在△ACD和△CBE中，{∠ADC=∠BEC, LAC=BC, ∴.△ACD≌△CBE(AAS), .'.AD=CE=8 cm,BE=CD=3 cm, ∴.DE=CE-CD=5cm。 (3)解：如答图1，当点B在第一象限 角平分线上时，过点A作AD⊥y轴于 点D,过点B作BE⊥直线AD于 点E, 同(1)可得△ACD≌△BAE(AAS), 答图1 .AD=BE,CD=AE。 点A的坐标为(7,3)， .AD=7,DO=3, .BE=AD=7,DE=BE+DO=7+3=10=DA+AE, .AE=3=CD,.CO=6,.点C(0,6); 如答图2，当点B在第三象限角平分 线上时，过点A作AD⊥y轴于点D, 过点B作BE⊥直线AD于点E, 同理可得△ACD≌△BAE(AAS), .AD=BE,CD=AE。 点A的坐标为(7,3)， ..AD=7,DO=3,..BE=AD=7, ..DE=BE-DO=4,.AE=11= B CD,.C0=14, 答图2 .点C(0,14)。 综上所述，点C(0,14)或C(0,6)。 1 4.(1)(6,2）y=-3x+4 解：(2)设旋转后的直线为m,过点B作BC⊥AB交直线m 于点C,过点C作CD⊥y轴于点D,如答图， 将直线y=一2x十4绕点A顺时针旋转 y 45°得到直线m,BC⊥AB, m ∴∠CAB=45°，∠ABC=90°， D外 .∠ACB=90°-∠CAB=45°=∠CAB, B BA=BC, 又：∠BOA=90°，BC⊥AB,CD⊥y轴， .△ABO≌△BCD,.OA=DB=2,OB= DC=4, ∴.C(4,6), 设直线m的表达式为y=x十b,:直线 答图 m过点A(2,0),C4,6),.(26,十6=0解得=3， 4k1+b1=6, b1=一6， .直线m的表达式为y=3x一6。 (号，) 培优提分练习(3) 1.(1)①x<-2或x>2②-5<x<5 解：(2)：2|x-2.5|+4<6, .2|x-2.5|<2,即x-2.5|<1, x-2.5|<1的解集可表示为-1<x-2.5<1, 解得1.5<x<3.5, .2x-2.5+4<6的解集为1.5<x<3.5。 (3)x2x-m…①， x-2≤m…②， 解不等式①，得x>m,解不等式②，得x≤m十2， .不等式组的解集为m<x≤m十2， 由于(2)的整数解是2和3， ∴.1≤m<2且3≤m+2<4,.m的取值范围是1≤m<2。 52 2.>-22(号，号）：6,8)<号或>6 解：【问题提出】如题图①，x>一2 Y 73y=2x+3 6 y=x+1 4 -5-4-3110123456x -2P -3 -5 【知识迁移1如题图@，<0 y个 y=x+1 A(m,3) 70 y=ax+b 图④ 【向题解决】如题图⑥，（号，号）：(6,8) y=4-2xy4 y=2x-4 22 01 3 图⑤ 设y=|x-1|+|x-31, 根据题意得： 4-2x(x<1), y=x-1|+|x-3|={2(1≤x<3), 2x-4(x≥3)， 由函数图象得： y=4-2x与y=x十2有交点， 则/y=4-2x y=x+2’ =号 解得 y=3 y=2x一4与y=x十2有交点， 则/y=2x-4 y=x十2， 部得： .y=|x一1|十|x一3|与y=x+2的两个交点坐标分别为 (号，8)(6,8， 放答案为：（号，号）(6,8， 由函数图象可知，当x<子时，y=x一1+x一3的图象在 y=x十2的上方， 当x>6时，y=|x一1|+|x一3引的图象在y=x十2的上方， 故不等式x一1+1x一3>x+2的解集为：<号或>6， 故答案为：<号度>6 3.(1)证明：：(a-x)2+(b-y)2-(a十b-x)2-y =a2-2a.x+x2+-2by+y-(a2+b+x2+2ab-2ax- 2bx)-y2 =-2by-2ab+2bx =2b(x-y-a)。 a≥x,∴x-a≤0， y≥0，.-y≤0， .x-y-a≤0， b≥0，.2b(x-y-a)≤0， ∴.(a-x)2+(b-y)2-[(a+b-x)2+y2]≤0 ∴.(a-x)2+(b-y)2≤(a十b-x)2+y2。 解：(2)设a1≥b, b1≥b2≥…≥bn≥0，b+b2+…+bn=1, 6≥，所+候+号+…十优<所+66十6么十…十66= b1(b1+b2+…+bn)=b1, ∴b(a1十a2+…+an)=ab+b(a2+a+…+an)≤a1b十 a1(a2+ag+…十ae) ≤a1b十a2b2+…+anbn十a1a2十a2ag+…+a-iam, ∴ab+a2b2+…anbn≥b(a1+a2+…+an)-(a1a+a2as 十…十am-1an), ∴.(a1-b1)2+(a2-b2)2+…+(an-bn)2 =(a+a+…+a)-2(a十a2b+…十a,bn)+(G+份+… +)≤(a+a吃+…+a)-2b(a1+a+…+a)+2(a1a2十 a2a3+…+a.-1an)+b1 =(a1十a2+…+an)2-2b1十b =1-2b1+b1 =1-6≤1-1=n-1 n n (a-6)2+(a-b)2+…+(a,-b.)的最大值为”二1。 n 培优提分练习(4) 1.1 2.解：(1)K(1,2)=7,K(-2,3)=0,K(x,y)=ax+by, /a+26=7…0, -2a+3b=0…②， 解方程组得公 (2)-5≤4x-y≤40 8K,=3+,k(名）=4-3，商82 2计得 y=4-6x, =19x-9 .W=x-3y十4z =x-3(4-6)+4×19z-9 2 =x-12+18x+38.x-18 =57x-30, x,y,之都为非负数， 6≥0，解得品≤≤号· x≥0， 2 119x-9≥0， 2 当x=号时，We=57×号-30=27-30=-3， 当x=号时，W=57×号-30=38-30=8· 3.(1)证明：AG⊥AH, 6 参考苔案 .∠HAG=90°， ∠BAC=90°， .∠BAH=∠CAG, .'AB-AC,AH=AG '.△AHB≌△AGC(SAS)。 (2)①证明：在等腰直角三角形ABC中， ∠BAC=90°， ./ABC=/ACB=45°， 点E,F分别为AB,AC的中点， ∴.EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC,AE=2AB,AF-号AC, .AE=AF,∠AEF=∠ABC=45°， ∠AFE=∠ACB=45°， 由(1)知∠EAH=∠FAG又AH=AG, ∴.△AEH≌△AFG(SAS), ∴.∠AEH=∠AFG=45°， ∴.∠HFG=45°+45°=90°，即在点H运动的过程中，总有 ∠HFG=90°。 ②解：分两种情况： i)如答图1，AQ=QG时， AQ=QG, .∠QAG=∠AGQ, ,AG⊥AH且AG=AH, .∠AHG=∠AGH=45°， B .∠AHG=∠AGH=∠HAQ 答图1 =∠QAG=45°， .∠EAH=∠FAH=45°， AE=AF, .AH⊥EF .∠AHE=∠AHF=90°： i)如答图2，当AG=QG时， ∠GAQ=∠AQG, 同上可得∠AEH=∠AGQ =45°， ∴.∠GAQ=∠AQG= 180°-45°=67.5， 2 :∠EAQ=∠HAG=90°， 答图2 ∴.∠EAH=∠GAQ=67.5°， .∠AHE=∠AQG=67.5°。 H为线段EF上一动点（不与点E,F重合）， .不存在AG=AQ的情况。 综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5 或90°。 4.解：(1)设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款 盲盒销售的单价为y元， 由短意得，公十)的 解得x=10 y=8 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价 销售单价为8元； (2)依题意，若在甲商店购买，共需要35十0.8×10m十0.8× 8×(40-m)=1.6m+291(元)， 若在乙商店购买，共需要0.9×10m十0.9×8×(40-m)=1. 8m+288(元)， 故答案为：(1.6m+291);(1.8m+288)。 (3)当1.6m+291<1.8m+288, 解得m>15,∴.15<m<40;