培优提分练习(4)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

故答案为：<号度>6 3.(1)证明：：(a-x)2+(b-y)2-(a十b-x)2-y =a2-2a.x+x2+-2by+y-(a2+b+x2+2ab-2ax- 2bx)-y2 =-2by-2ab+2bx =2b(x-y-a)。 a≥x,∴x-a≤0， y≥0，.-y≤0， .x-y-a≤0， b≥0，.2b(x-y-a)≤0， ∴.(a-x)2+(b-y)2-[(a+b-x)2+y2]≤0 ∴.(a-x)2+(b-y)2≤(a十b-x)2+y2。 解：(2)设a1≥b, b1≥b2≥…≥bn≥0，b+b2+…+bn=1, 6≥，所+候+号+…十优<所+66十6么十…十66= b1(b1+b2+…+bn)=b1, ∴b(a1十a2+…+an)=ab+b(a2+a+…+an)≤a1b十 a1(a2+ag+…十ae) ≤a1b十a2b2+…+anbn十a1a2十a2ag+…+a-iam, ∴ab+a2b2+…anbn≥b(a1+a2+…+an)-(a1a+a2as 十…十am-1an), ∴.(a1-b1)2+(a2-b2)2+…+(an-bn)2 =(a+a+…+a)-2(a十a2b+…十a,bn)+(G+份+… +)≤(a+a吃+…+a)-2b(a1+a+…+a)+2(a1a2十 a2a3+…+a.-1an)+b1 =(a1十a2+…+an)2-2b1十b =1-2b1+b1 =1-6≤1-1=n-1 n n (a-6)2+(a-b)2+…+(a,-b.)的最大值为”二1。 n 培优提分练习(4) 1.1 2.解：(1)K(1,2)=7,K(-2,3)=0,K(x,y)=ax+by, /a+26=7…0, -2a+3b=0…②， 解方程组得公 (2)-5≤4x-y≤40 8K,=3+,k(名）=4-3，商82 2计得 y=4-6x, =19x-9 .W=x-3y十4z =x-3(4-6)+4×19z-9 2 =x-12+18x+38.x-18 =57x-30, x,y,之都为非负数， 6≥0，解得品≤≤号· x≥0， 2 119x-9≥0， 2 当x=号时，We=57×号-30=27-30=-3， 当x=号时，W=57×号-30=38-30=8· 3.(1)证明：AG⊥AH, 6 参考苔案 .∠HAG=90°， ∠BAC=90°， .∠BAH=∠CAG, .'AB-AC,AH=AG '.△AHB≌△AGC(SAS)。 (2)①证明：在等腰直角三角形ABC中， ∠BAC=90°， ./ABC=/ACB=45°， 点E,F分别为AB,AC的中点， ∴.EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC,AE=2AB,AF-号AC, .AE=AF,∠AEF=∠ABC=45°， ∠AFE=∠ACB=45°， 由(1)知∠EAH=∠FAG又AH=AG, ∴.△AEH≌△AFG(SAS), ∴.∠AEH=∠AFG=45°， ∴.∠HFG=45°+45°=90°，即在点H运动的过程中，总有 ∠HFG=90°。 ②解：分两种情况： i)如答图1，AQ=QG时， AQ=QG, .∠QAG=∠AGQ, ,AG⊥AH且AG=AH, .∠AHG=∠AGH=45°， B .∠AHG=∠AGH=∠HAQ 答图1 =∠QAG=45°， .∠EAH=∠FAH=45°， AE=AF, .AH⊥EF .∠AHE=∠AHF=90°： i)如答图2，当AG=QG时， ∠GAQ=∠AQG, 同上可得∠AEH=∠AGQ =45°， ∴.∠GAQ=∠AQG= 180°-45°=67.5， 2 :∠EAQ=∠HAG=90°， 答图2 ∴.∠EAH=∠GAQ=67.5°， .∠AHE=∠AQG=67.5°。 H为线段EF上一动点（不与点E,F重合）， .不存在AG=AQ的情况。 综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5 或90°。 4.解：(1)设在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款 盲盒销售的单价为y元， 由短意得，公十)的 解得x=10 y=8 答：在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价 销售单价为8元； (2)依题意，若在甲商店购买，共需要35十0.8×10m十0.8× 8×(40-m)=1.6m+291(元)， 若在乙商店购买，共需要0.9×10m十0.9×8×(40-m)=1. 8m+288(元)， 故答案为：(1.6m+291);(1.8m+288)。 (3)当1.6m+291<1.8m+288, 解得m>15,∴.15<m<40; 数学八年级下册（北师大版） 答：购买A款运动盲盒的数量在15<m<40范围内时，去甲 商店更合算。 培优提分练习(5) 1.(1)①x=-1②x+1 解：②设另一个因式为x2十ax十b, (x+1)(.x2+ax+b)=x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+(a+ 1)x2+(a+b)x+b, .a=-1,b=3, .多项式的另一因式为x2一x十3。 .x3+2x十3=(x+1)(x2-x+3)。 (2)由材料可知，x=1,x=一2是方程x3十mx2十nx十p=0 的解， ÷+,0心 ∴.②-①，得m-n=3。 ∴.m-n的值为3。 2.解：(1)原式=(x2-y)十(ax十ay) =(x+y)(x-y)十a(x+y) =(x十y)(x-y+a)。 (2)原式=(ax-bx)+(a2-2ab+) =x(a-b)+(a-b) =(a-b)(x十a-b)。 (3)原式=(a+2a22+6)-(2ab+2a3b) =(a2+b)2-2ab(a2+b) =(a2+b)(a2+b-2ab) =(a2+b)(a-b)2, 由题意可得a2+b=9,(a-b)2=1, .原式=9。 3.(1)证明：如答图，AE⊥AD .∠DAE=∠DAC+∠2=90°， .'∠BAC=∠DAC+∠1=90°， .∠1=∠2， AB=AC, 在△ABD和△ACE中， ∠1=∠2， LAD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS). (2)证明：如答图，连接EF, .∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠3=45°， 由(1)已证：△ABD≌△ACE, .∠4=∠B=45°，BD=CE, D .∠FCE=∠3+∠4=45°+45 答图 =90°， ∴.CE+CF2=EF2, :'BD +CF=EF AF平分∠DAE, ∴.∠DAF=∠EAF, (AF-AF. 在△DAF和△EAF中，∠DAF=∠EAF, AD=AE, .△DAF≌△EAF(SAS), ∴.DF=EF,∴.DF2=BD十CF (3)解：如答图，过点A作AG⊥BC于点G, 由(2)知，DF=BD十CF=25, .DF=5(负值已舍)， .BC=BD+DF+CF=12, :AB=AC,AG⊥BC,∠BAC=90°， ·AG=BG=2BC=6, .DG=BG-BD=6-3=3, 5 则在Rt△ADG中，AD=/AG+DG=/62+32=3/5。 4.解：(1)BD=CE 理由是：∠BAE=∠CAD, ·∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, ∴.△EAC≌△BAD, ,BD=CE。 (2)如答图1，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角 三角形BAE,使∠BAE=90°，AE=AB,连接EC。 :∠ACD=∠ADC=45°， ∴.AC=AD,∠CAD=90°， ∴.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， ,AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, .△EAC≌△BAD,.BD=CE。 .AE=AB-5, .BE=/52+5=5/2,∠ABE=∠AEB=45°， 又.，∠ABC=45°， .∠EBC=∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°， ∴.EC=/BE+BC=/(5/2)+32=/59, ∴.BD=CE=59。 E C 答图1 答图2 (3)如答图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A, 交BC的延长线于点E。 .AE⊥AB,.∠BAE=90°， 又∠ABC=45°， ∴∠E=∠ABC=45°， ∴.AE=AB=5,BE=52+52=5/2, 又.∠ACD=∠ADC=45°， ∴.∠BAE=∠DAC=90°， ∴.∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， (AE-AB. ∠EAC=∠BAD,∴.△EAC≌△BAD(SAS), LAC-AD. .BD=CE, BC=3,∴.BD=CE=BE-BC=5/2-3。 培优提分练习(6) 1.解：1)：一次函数与y=专x相交于点B,其中点B的横坐 标为3， g=告×8=4， 则点B(3,4), 将点A(0,6)、B(3,4)的坐标代入一次函数表达式y=kx十b 中海么数学·培优提分练习 …●-…●-● 3.为了比较两个实数的大小，常用的方法是判断这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比 较法”。要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法，因此，可以利用不等式比较大小。 如果要证明A>B,只需要证明A一B>0;同样的，要证明A<B,只需要证明A一B<0。 例如： 小明对于命题：任意的实数a和b,总有a2十b≥2ab,当a=b并且只有a=b时，等号成立， 给出了如下证明： 证明：.a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， ∴.a2十b2≥2ab,当a=b并且只有a=b时，等号成立。 (1)请仿照小明的证明方法，证明如下命题： 若a,b,x,y均不小于0，且a≥x,则(a-x)2十(b-y)2≤(a十b-x)2+y2; (2)若a1≥a2≥…≥an≥0，b1≥b2≥…≥bm≥0，且a1十a2+…+an=b1十b2+…十bn=1, 求(a1-b1)2+(a2一b2)2+…+(an一bn)2的最大值。 13 数学·八年级下册（北师大版） ●●. ●·培优提分练习(4)● 1.如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，点B的坐标 是(0,2)，将该三角形沿x轴向右平移得Rt△OA'B′'，此时，点B'的坐标为 (2,2),则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 。 2.【阅读材料】 材料一：对于实数x,y,定义一种新运算K,规定：K(x,y)=ax十by(其中a,b均为非零常 数)，等式右边是通常的四则运算。比如：K(1,2)=a十2b,K(一2,3)=一2a十3b。 已知：K(1,2)=7,K(-2,3)=0。 材料二：“已知x,y均为非负数，且满足x十y=8,求2x十3y的范围。”有如下解法： x+y=8,.x=8-y, .x,y是非负数，x≥0，y≥0，∴.8-y≥0， .0≤y≤8， .2x+3y=2(8-y)+3y=16+y, .16≤16+y≤24，.16≤2x+3y≤24。 【回答问题】 (1)求出a,b的值； (2)已知x,y均为非负数，x十2y=10,则4x一y的取值范围是 (3)已知x,y,2都为非负数，K(y,)=3十，K(,2y)=4一3z,求W=x-3y十4z的最大 值和最小值。 14 数学·培优提分练习 …●…●-● 3.如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E,F分别为AB,AC的中 点，H为线段EF上一动点（不与点E,F重合），过点A作AG⊥AH且AG=AH,连接 GC,HB。 (1)求证：△AHB≌△AGC; (2)如图2，连接GF,HG,HG交AF于点Q。 ①证明：在点H运动的过程中，总有∠HFG=90°； ②当△AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数。 图1 图2 15 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-● 4.【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A,B两种款式的运动盲盒作为奖品。 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若 买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B 款运动盲盒，共需450元。 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格 的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；乙商店：购买商店内任何商品，一律按 商品价格的9折出售。 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A,B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个(0<m< 40),若小明在甲商店成为会员购买，共需要 元；若在乙商店购买，共需要 元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在(2)的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去 甲商店更合算？ 16