培优提分练习(5)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学八年级下册（北师大版） 答：购买A款运动盲盒的数量在15<m<40范围内时，去甲 商店更合算。 培优提分练习(5) 1.(1)①x=-1②x+1 解：②设另一个因式为x2十ax十b, (x+1)(.x2+ax+b)=x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+(a+ 1)x2+(a+b)x+b, .a=-1,b=3, .多项式的另一因式为x2一x十3。 .x3+2x十3=(x+1)(x2-x+3)。 (2)由材料可知，x=1,x=一2是方程x3十mx2十nx十p=0 的解， ÷+,0心 ∴.②-①，得m-n=3。 ∴.m-n的值为3。 2.解：(1)原式=(x2-y)十(ax十ay) =(x+y)(x-y)十a(x+y) =(x十y)(x-y+a)。 (2)原式=(ax-bx)+(a2-2ab+) =x(a-b)+(a-b) =(a-b)(x十a-b)。 (3)原式=(a+2a22+6)-(2ab+2a3b) =(a2+b)2-2ab(a2+b) =(a2+b)(a2+b-2ab) =(a2+b)(a-b)2, 由题意可得a2+b=9,(a-b)2=1, .原式=9。 3.(1)证明：如答图，AE⊥AD .∠DAE=∠DAC+∠2=90°， .'∠BAC=∠DAC+∠1=90°， .∠1=∠2， AB=AC, 在△ABD和△ACE中， ∠1=∠2， LAD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS). (2)证明：如答图，连接EF, .∠BAC=90°，AB=AC, .∠B=∠3=45°， 由(1)已证：△ABD≌△ACE, .∠4=∠B=45°，BD=CE, D .∠FCE=∠3+∠4=45°+45 答图 =90°， ∴.CE+CF2=EF2, :'BD +CF=EF AF平分∠DAE, ∴.∠DAF=∠EAF, (AF-AF. 在△DAF和△EAF中，∠DAF=∠EAF, AD=AE, .△DAF≌△EAF(SAS), ∴.DF=EF,∴.DF2=BD十CF (3)解：如答图，过点A作AG⊥BC于点G, 由(2)知，DF=BD十CF=25, .DF=5(负值已舍)， .BC=BD+DF+CF=12, :AB=AC,AG⊥BC,∠BAC=90°， ·AG=BG=2BC=6, .DG=BG-BD=6-3=3, 5 则在Rt△ADG中，AD=/AG+DG=/62+32=3/5。 4.解：(1)BD=CE 理由是：∠BAE=∠CAD, ·∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, ∴.△EAC≌△BAD, ,BD=CE。 (2)如答图1，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角 三角形BAE,使∠BAE=90°，AE=AB,连接EC。 :∠ACD=∠ADC=45°， ∴.AC=AD,∠CAD=90°， ∴.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， ,AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD, .△EAC≌△BAD,.BD=CE。 .AE=AB-5, .BE=/52+5=5/2,∠ABE=∠AEB=45°， 又.，∠ABC=45°， .∠EBC=∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°， ∴.EC=/BE+BC=/(5/2)+32=/59, ∴.BD=CE=59。 E C 答图1 答图2 (3)如答图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A, 交BC的延长线于点E。 .AE⊥AB,.∠BAE=90°， 又∠ABC=45°， ∴∠E=∠ABC=45°， ∴.AE=AB=5,BE=52+52=5/2, 又.∠ACD=∠ADC=45°， ∴.∠BAE=∠DAC=90°， ∴.∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， (AE-AB. ∠EAC=∠BAD,∴.△EAC≌△BAD(SAS), LAC-AD. .BD=CE, BC=3,∴.BD=CE=BE-BC=5/2-3。 培优提分练习(6) 1.解：1)：一次函数与y=专x相交于点B,其中点B的横坐 标为3， g=告×8=4， 则点B(3,4), 将点A(0,6)、B(3,4)的坐标代入一次函数表达式y=kx十b 中海么数学·培优提分练习 ●·培优提分练习(5)● 1.阅读下列材料： 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程 求解，并最早给出因式分解定理。 他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“x=a是该多项式值为0时的一个解”与 “这个多项式一定可以分解为x一α与另一个整式的乘积”可互相推导成立。 例如：分解因式x3+2x2一3。 .x=1是x3+2x2-3=0的一个解， .x3十2x2一3可以分解为x-1与另一个整式的乘积。 设x3+2x2-3=(x-1)(ax2+bx十c), a=1, a=1, b-a=2, 而(x-1)(ax2+bx+c)=ax3+(b-a)x2+(c-b)x-c,则有 得b=3, c-b=0, c=3, -c=-3, 从而x3+2x2-3=(x-1)(x2+3x+3)。 运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)①运用上述方法分解因式x3+2x十3时，猜想出x3+2x十3=0的一个解为 (只填写一个即可)，则x3十2x十3可以分解为与另一个整式的乘积； ②分解因式：x3+2x+3; (2)若x-1与x+2都是多项式x3+mx2+nx十p的因式，求m一n的值。 17 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-●… 2.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a-3ab-4+6b因式分解。 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b) =a(2-3b)-2(2-3b) =(2-3b)(a-2)。 解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b) =2(a-2)-3b(a-2) =(a-2)(2-3b)。 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再 利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法。分组分解 法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用（温馨提示：因式分解一定 要分解到不能再分解为止)。 【类比】(1)请用分组分解法将x2十ax-y2十ay因式分解； 【挑战】(2)请用分组分解法将a2-2ab十b2十ax-bx因式分解； 【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理。如图，“赵爽 弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形。已知直角 三角形的两条直角边长分别是a和b(a>b),斜边长是3，小正方形的面积是1。根据以上 信息，先将a4-2a3b+2ab-2ab3+b4因式分解，再求值。 ☒ 18 数学·培优提分练习 …●…●-● 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC上一动点，连接AD,过点A作 AE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE。 (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AF平分∠DAE交BC于点F,求证：DF=BD十CF2; (3)在(2)的条件下，若BD=3,CF=4,求AD的长。 19 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-●… 4.【问题探究】 (1)如图1，在锐角三角形ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三 角形ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的 大小关系，并说明理由； 【深入探究】 (2)如图2，四边形ABCD中，AB=5,BC=3,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD 的长； (3)如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，请直接写出BD的长。 图1 图2 图3 20