培优提分练习(2)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） ●●。培优提分练习(2)●● 1.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题。 【模型呈现】 (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E, 由∠1十∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到 △ABC≌△DAE,进而得到AC=,BC=。 我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型； A E 图1 图2 【模型应用】 (2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F, DE与直线AF交于点G,求证：点G是DE的中点。 6 数学·培优提分练习 ●…●-● 2.三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型。解决此模型问题的一般方法是利用 三等角关系找全等三角形所需角相等的条件，利用全等三角形解决问题。 B 2 D A Em D A Em 图 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线，CE⊥直线 m,垂足分别为D,E,求证：DE=BD十CE; (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且 有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角，那么结论DE=BD十CE 是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，将(1)中的条件改为：AB=AC,A,E,D三点都在直线m上，且有∠BDF= ∠DEC=∠BAC=B,其中B为任意锐角，那么结论DE=BD+CE是否仍成立？若成 立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。 7 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-●… 3.【理解探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组 边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边相等时，则模型中必定存 在全等三角形。 图1 图2 图3 备用图 (1)【问题解决】 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,过点A作 AD⊥DE于点D,过点B作BE⊥DE于点E,求证：△ADC≌△CEB; (2)【问题探究】 如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,过点A作 AD⊥DE于点D,过点B作BE⊥DE于点E,AD=8cm,BE=3cm,求DE的长； (3)【拓展延伸】 如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,且在平面直角坐标系中，点C 在y轴正半轴上，点A的坐标为(7,3)，点B是第一、三象限的角平分线1上的一个点， 请直接写出点C的坐标。 8 数学·培优提分练习 ●…●-● 4.【模型介绍】 如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E,则 △ABC≌△DAE。我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型。 D 可小龙 图1 图2 备用图 【模型应用】 在平面直角坐标系中，直线y=一2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B。 (1)如图2，将直线y=一2x+4绕点B逆时针旋转45°，得到直线l,求直线1的表达式。下 面是小明的想法，请你帮助完成。 小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题，如图2，过点A作AB的垂线交l于点C, 再过点C作x轴的垂线，垂足为D,可求出点C的坐标为 ,从而求得直线的表 达式为 (2)若将直线y=-2x十4绕点A顺时针旋转45°，求所得直线的表达式； (3)点P是线段OB上的一个动点，点Q是线段AB上一动点，若△APQ是等腰直角三角 形，且∠APQ=90°，则点Q的坐标是 9延长CB到点E,使BE=AM,连接DE,如答图1， ∠A=∠CBD=90°， ∴.∠A=∠EBD=90°， 在△DAM和△DBE中， (AM-BE, ∠A=∠DBE, B AD=BD, D ∴.△DAM≌△DBE(SAS), 答图1 ∴.∠BDE=∠ADM,DM=DE, :∠ACD=∠BCD=30°， ∠ADC=∠BDC=60°. .∠MDN=60°， ∴.∠ADM=∠NDC,∴.∠BDE=∠NDC :∠NDC+∠NDB=∠BDC=60°， ∴.∠BDE+∠NDB=∠NDE=60°， .∠MDN=∠NDE, DM-DE, 在△MDN和△EDN中，∠MDN=∠NDE, DN-DN, ∴.△MDN≌△EDN(SAS),∴.MN=EN, ,EN=BE+BN=AM+BN,∴.AM+BN=MN。 (2)AM+BN=MN。 (3)如答图2，BN-AM=MN。 根据题意得AD=BD,∠ADC=∠BDC。 在CB上截取BE=AM,连接DE,如答图2。 ∠B=∠CAD=90°， ∴.∠B=∠DAM=90°， 在△DAM和△DBE中， (AM=BE, ∠DAM=∠DBE, AD-BD, ,∴.△DAM≌△DBE(SAS), ..∠BDE=∠ADM,DM=DE, D :∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD 答图2 =90°， .∠MDN=∠CDA, ·∠MDN-∠ADN=∠CDA-∠ADN, 即∠MDA=∠CDN,∴.∠BDE=∠CDN, :∠ADC=∠BDC, ∴.∠ADC-∠CDN=∠BDC-∠BDE, 即∠NDA=∠EDC,'.∠NDA+∠MDA=∠EDC+∠CDN, 即∠MDN=∠EDN。 (DM-DE, 在△MDN和△EDN中，∠MDN=∠EDN, DN-DN. ∴.△MDN≌△EDN(SAS),∴.MN=NE, ,NE=BN-BE=BN-AM,∴.BN-AM=MN。 培优提分练习(2) 1.(1)DE AE (2)证明：如答图，作DM⊥AF于点M,EN⊥AF于点N, .BC⊥AF, ∴.∠BFA=∠AMD=90°，，'∠BAD B =90°， .∠1+∠2=∠1+∠B=90°， ∴.∠B=∠2， 在△ABF和△DAM中， I∠BFA=∠AMD, 答图 ∠B=∠2， AB-DA, 51 参考苔案 ∴△ABF≌△DAM(AAS),.AF=DM。 BC⊥AF, ∴∠CFA=∠ANE=90°，：∠CAE=90°， ∴.∠FAC+∠NAE=∠FAC+∠C=90°，.∠C=∠NAE, ∠CFA=∠ANE, 在△ACF和△EAN中，∠C=∠NAE, LAC=EA, .△ACF≌△EAN(AAS),.AF=EN,.DM=EN, ,DM⊥AF,EN⊥AF,'.∠GMD=∠GNE=90°， ∠DMG=∠ENG, 在△DMG和△ENG中，∠DGM=∠EGN, (DM-EN, ∴.△DMG≌△ENG(AAS),∴.DG=EG, .点G是DE的中点。 2.(1)证明：：BDL直线m,CE⊥直线m, ∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°。 ∠BAC=90°，，∠BAD+∠CAE=90°， ∴∠ABD=∠CAE。 (∠BDA=∠AEC, 在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE, （AB=CA, ∴.△ADB≌△CEA(AAS),∴.BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AE+AD=BD+CE。 解：(2)成立。证明如下： .∠BDA=∠BAC=a, ∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-a, ∴∠DBA=∠EAC。 在△ADB和△CEA中， 「∠BDA=∠AEC, ∠DBA=-∠EAC, AB-CA, .△ADB≌△CEA(AAS), ..BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE。 解：(3)不成立。理由如下： ,∠BDF=∠DEC, ∴∠BDA=∠AEC ,∠BDF=∠DBA+∠BAD, ∠BAC=∠EAC+∠BAD,∠BDF-∠BAC, ∴.∠DBA=∠EAC。 (∠DBA=∠EAC, 在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC, AB=CA, ∴.△ADB≌△CEA(AAS). .BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AD-AE=CE-BD。 3.(1)证明：：AD⊥DE,BE⊥DE, .∠D=∠E=90°=∠ACB, ∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD, ∴.∠BCE=∠CAD, ∠CAD=∠BCE, 在△ACD和△CBE中，{∠D=∠E, LAC=BC, ∴△ADC≌△CEB(AAS)。 (2)解：AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC=∠BEC=90°=∠ACB, ∴.∠ACD+∠BCE=9O°=∠ACD+∠CAD, .∠BCE=∠CAD, 数学八年级下册（北师大版） (∠CAD=∠BCE, 在△ACD和△CBE中，{∠ADC=∠BEC, LAC=BC, ∴.△ACD≌△CBE(AAS), .'.AD=CE=8 cm,BE=CD=3 cm, ∴.DE=CE-CD=5cm。 (3)解：如答图1，当点B在第一象限 角平分线上时，过点A作AD⊥y轴于 点D,过点B作BE⊥直线AD于 点E, 同(1)可得△ACD≌△BAE(AAS), 答图1 .AD=BE,CD=AE。 点A的坐标为(7,3)， .AD=7,DO=3, .BE=AD=7,DE=BE+DO=7+3=10=DA+AE, .AE=3=CD,.CO=6,.点C(0,6); 如答图2，当点B在第三象限角平分 线上时，过点A作AD⊥y轴于点D, 过点B作BE⊥直线AD于点E, 同理可得△ACD≌△BAE(AAS), .AD=BE,CD=AE。 点A的坐标为(7,3)， ..AD=7,DO=3,..BE=AD=7, ..DE=BE-DO=4,.AE=11= B CD,.C0=14, 答图2 .点C(0,14)。 综上所述，点C(0,14)或C(0,6)。 1 4.(1)(6,2）y=-3x+4 解：(2)设旋转后的直线为m,过点B作BC⊥AB交直线m 于点C,过点C作CD⊥y轴于点D,如答图， 将直线y=一2x十4绕点A顺时针旋转 y 45°得到直线m,BC⊥AB, m ∴∠CAB=45°，∠ABC=90°， D外 .∠ACB=90°-∠CAB=45°=∠CAB, B BA=BC, 又：∠BOA=90°，BC⊥AB,CD⊥y轴， .△ABO≌△BCD,.OA=DB=2,OB= DC=4, ∴.C(4,6), 设直线m的表达式为y=x十b,:直线 答图 m过点A(2,0),C4,6),.(26,十6=0解得=3， 4k1+b1=6, b1=一6， .直线m的表达式为y=3x一6。 (号，) 培优提分练习(3) 1.(1)①x<-2或x>2②-5<x<5 解：(2)：2|x-2.5|+4<6, .2|x-2.5|<2,即x-2.5|<1, x-2.5|<1的解集可表示为-1<x-2.5<1, 解得1.5<x<3.5, .2x-2.5+4<6的解集为1.5<x<3.5。 (3)x2x-m…①， x-2≤m…②， 解不等式①，得x>m,解不等式②，得x≤m十2， .不等式组的解集为m<x≤m十2， 由于(2)的整数解是2和3， ∴.1≤m<2且3≤m+2<4,.m的取值范围是1≤m<2。 52 2.>-22(号，号）：6,8)<号或>6 解：【问题提出】如题图①，x>一2 Y 73y=2x+3 6 y=x+1 4 -5-4-3110123456x -2P -3 -5 【知识迁移1如题图@，<0 y个 y=x+1 A(m,3) 70 y=ax+b 图④ 【向题解决】如题图⑥，（号，号）：(6,8) y=4-2xy4 y=2x-4 22 01 3 图⑤ 设y=|x-1|+|x-31, 根据题意得： 4-2x(x<1), y=x-1|+|x-3|={2(1≤x<3), 2x-4(x≥3)， 由函数图象得： y=4-2x与y=x十2有交点， 则/y=4-2x y=x+2’ =号 解得 y=3 y=2x一4与y=x十2有交点， 则/y=2x-4 y=x十2， 部得： .y=|x一1|十|x一3|与y=x+2的两个交点坐标分别为 (号，8)(6,8， 放答案为：（号，号）(6,8， 由函数图象可知，当x<子时，y=x一1+x一3的图象在 y=x十2的上方， 当x>6时，y=|x一1|+|x一3引的图象在y=x十2的上方， 故不等式x一1+1x一3>x+2的解集为：<号或>6，