培优提分练习(1)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学八年级下册（北师大版） 基础突破第29天 1.C2.B3.B4.655.346.5 7.证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥CE,AD=BC。 又点E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD的中点， .AF=CE。 ∴.四边形AECF为平行四边形。 .AE=CF。 8.解：BD是△ABC的AC边上的中线，.AD=CD, DE=BD,.四边形ABCE是平行四边形。 基础突破第30天 1.C2.B3.C4.(5,3)5.AD∥BC6.稳定性 7.证明：∠1=∠2，.AB∥CD. ∠3=∠4，.AD∥BC. ∴.四边形ABCD是平行四边形。 8.解：在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，E,F 分别是AB,CD的中点， ∴.PF,PE分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PF=2BC,PE=2AD, AD=BC,.PF=PE,.∠PFE=∠PEF, ,∠PEF=30°，∴.∠PFE=30°。 培优答案 3 培优提分练习(1) 1.(1)DA=DC+DB 解：(2)2DA=(DC十DB),理由如下： 如答图，延长DC到点E,使CE= . BD,连接AE, .∠BAC=90°，∠BDC=90°， .∠ABD+∠ACD=360°-∠BACB -∠BDC=180°， ,∠ACE+∠ACD=180°， ∴.∠ABD=∠ACE, 答图 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠ABD=∠ACE,∴.△ABD≌△ACE(SAS), BD=CE, ∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∠DAE=∠BAC=90°， ∴.DA2+AE=DE,∴.2DA=(DC+DB)2, (3)7E+76 2 2.(1)2 解：(2)延长MN到点K,使NK=GH,连接FK,FH,FM, 如答图所示， .FG=FN=HM=GH+MN=2cm,∠G=∠FNM=90°， ∠FNK=∠FGH=90°， ∴.△FGH≌△FNK(SAS), ∴.FH=FK, .HM-MN+GH-MN+NK-MK- 2 cm, ,S五边形FGHMN=S△GH十S△HPM十S△MEN= 2Sam=2X合MK·FN=4em. 答图 3.(1)∠EAF=∠BAE+∠FAD 解：(2)结论仍然成立。理由：如答图1，延长FD到点G,使DG =BE,连接AG, :∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， 50 ∴.∠B=∠ADG, G 在△ABE和△ADG中， (BE=DG, ∠B=∠ADG, AB-AD, .△ABE≌△ADG(SAS), B E .AE=AG,∠BAE=∠DAG, 答图1 ,EF=BE十FD,GF=DG十FD=BE+FD, ..GF=EF, (AE-AG, 在△AEF和△AGF中，EF=GF, AF-AF, ∴.△AEF≌△AGF(SSS),∴.∠EAF=∠GAF, '∠GAF=∠DAG+∠FAD=∠BAE+∠FAD, ∴.∠EAF=∠BAE+∠FAD. 故结论仍然成立。 C (3)如答图2，延长DC到点G,使 D B DG=BE。连接AG。 A ∠ABC+∠ADC=180°， F ∠ABC+∠ABE=180° 答图2 ∴.∠ABE=∠ADG, 在△ABE和△ADG中， (BE=DG, ∠ABE=∠ADG, (AB-AD, .△ABE≌△ADG(SAS),∴·AE=AG,∠BAE=∠DAG, .EF-BE+FD,FG=DG+FD-BE+FD, ..GF=EF, (AE=AG, 在△AEF和△AGF中，{EF=GF, LAF-AF, .△AEF≌△AGF(SSS),.∠EAF=∠GAF, ∠EAF+∠DAB+∠BAE+∠FAD=360°， .∠EAF+∠DAB=360°-（∠BAE+∠FAD), ∴.∠EAF+∠DAB=360°-（∠DAG+∠FAD), ∴.∠EAF+∠DAB=360°-∠GAF, .∠EAF+∠DAB=360°-∠EAF, .2∠EAF+∠DAB=360°， ÷∠BAF=180-∠DAB. 4.CE ABD AED DE EDC C 解：【变式应用】BE+EF=FC。理由如下： 在CF上截取CG=BE,连接AG,如答图， AB=AC,∠BAC=70°， ∴∠ABC=∠ACB=合(180-70)=5， 'BD=DC,∠BDC=110°， 1 ÷∠DBC=∠DCB=2(180°-110) 答图 =35°， ∴.∠ABD=∠ACD=90°， ∴∠ABE=90°， ∴.△ABE≌△ACG(SAS), ∴·∠EAB=∠GAC,AE=AG, .∠EAB+∠BAF=35°=∠GAC+∠BAF, ∴.∠FAG=∠BAC-(∠GAC+∠BAF)=35°， .∠FAG=∠FAE, ∴.△FAG≌△FAE(SAS),∴.EF=FG, .GF+GC=CF,..BE+EF=FC. 5.解：(1)根据题意得AD=BD,∠ACD=∠BCD=30°. 延长CB到点E,使BE=AM,连接DE,如答图1， ∠A=∠CBD=90°， ∴.∠A=∠EBD=90°， 在△DAM和△DBE中， (AM-BE, ∠A=∠DBE, B AD=BD, D ∴.△DAM≌△DBE(SAS), 答图1 ∴.∠BDE=∠ADM,DM=DE, :∠ACD=∠BCD=30°， ∠ADC=∠BDC=60°. .∠MDN=60°， ∴.∠ADM=∠NDC,∴.∠BDE=∠NDC :∠NDC+∠NDB=∠BDC=60°， ∴.∠BDE+∠NDB=∠NDE=60°， .∠MDN=∠NDE, DM-DE, 在△MDN和△EDN中，∠MDN=∠NDE, DN-DN, ∴.△MDN≌△EDN(SAS),∴.MN=EN, ,EN=BE+BN=AM+BN,∴.AM+BN=MN。 (2)AM+BN=MN。 (3)如答图2，BN-AM=MN。 根据题意得AD=BD,∠ADC=∠BDC。 在CB上截取BE=AM,连接DE,如答图2。 ∠B=∠CAD=90°， ∴.∠B=∠DAM=90°， 在△DAM和△DBE中， (AM=BE, ∠DAM=∠DBE, AD-BD, ,∴.△DAM≌△DBE(SAS), ..∠BDE=∠ADM,DM=DE, D :∠CDA+∠ACD=90°，∠MDN+∠ACD 答图2 =90°， .∠MDN=∠CDA, ·∠MDN-∠ADN=∠CDA-∠ADN, 即∠MDA=∠CDN,∴.∠BDE=∠CDN, :∠ADC=∠BDC, ∴.∠ADC-∠CDN=∠BDC-∠BDE, 即∠NDA=∠EDC,'.∠NDA+∠MDA=∠EDC+∠CDN, 即∠MDN=∠EDN。 (DM-DE, 在△MDN和△EDN中，∠MDN=∠EDN, DN-DN. ∴.△MDN≌△EDN(SAS),∴.MN=NE, ,NE=BN-BE=BN-AM,∴.BN-AM=MN。 培优提分练习(2) 1.(1)DE AE (2)证明：如答图，作DM⊥AF于点M,EN⊥AF于点N, .BC⊥AF, ∴.∠BFA=∠AMD=90°，，'∠BAD B =90°， .∠1+∠2=∠1+∠B=90°， ∴.∠B=∠2， 在△ABF和△DAM中， I∠BFA=∠AMD, 答图 ∠B=∠2， AB-DA, 51 参考苔案 ∴△ABF≌△DAM(AAS),.AF=DM。 BC⊥AF, ∴∠CFA=∠ANE=90°，：∠CAE=90°， ∴.∠FAC+∠NAE=∠FAC+∠C=90°，.∠C=∠NAE, ∠CFA=∠ANE, 在△ACF和△EAN中，∠C=∠NAE, LAC=EA, .△ACF≌△EAN(AAS),.AF=EN,.DM=EN, ,DM⊥AF,EN⊥AF,'.∠GMD=∠GNE=90°， ∠DMG=∠ENG, 在△DMG和△ENG中，∠DGM=∠EGN, (DM-EN, ∴.△DMG≌△ENG(AAS),∴.DG=EG, .点G是DE的中点。 2.(1)证明：：BDL直线m,CE⊥直线m, ∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°。 ∠BAC=90°，，∠BAD+∠CAE=90°， ∴∠ABD=∠CAE。 (∠BDA=∠AEC, 在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE, （AB=CA, ∴.△ADB≌△CEA(AAS),∴.BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AE+AD=BD+CE。 解：(2)成立。证明如下： .∠BDA=∠BAC=a, ∴.∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-a, ∴∠DBA=∠EAC。 在△ADB和△CEA中， 「∠BDA=∠AEC, ∠DBA=-∠EAC, AB-CA, .△ADB≌△CEA(AAS), ..BD=AE,AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE。 解：(3)不成立。理由如下： ,∠BDF=∠DEC, ∴∠BDA=∠AEC ,∠BDF=∠DBA+∠BAD, ∠BAC=∠EAC+∠BAD,∠BDF-∠BAC, ∴.∠DBA=∠EAC。 (∠DBA=∠EAC, 在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC, AB=CA, ∴.△ADB≌△CEA(AAS). .BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AD-AE=CE-BD。 3.(1)证明：：AD⊥DE,BE⊥DE, .∠D=∠E=90°=∠ACB, ∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD, ∴.∠BCE=∠CAD, ∠CAD=∠BCE, 在△ACD和△CBE中，{∠D=∠E, LAC=BC, ∴△ADC≌△CEB(AAS)。 (2)解：AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC=∠BEC=90°=∠ACB, ∴.∠ACD+∠BCE=9O°=∠ACD+∠CAD, .∠BCE=∠CAD,数学·培优提分练习 。●·培优提分练习(1) 1.【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法。截长就是在较长线段上截取一 条线段等于一条较短线段，补短是延长一条较短线段使其等于另一条较短或较长线段，从 而解决问题。 图1 图2 图3 (1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA,DB, DC之间的数量关系。 解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,根据∠BAC十∠BDC=180°，可证 ∠ABD=∠ACE,证得△ABD≌△ACE,得出△ADE是等边三角形，所以AD=DE, 从而探寻线段DA,DB,DC之间的数量关系。 根据上述解题思路，请直接写出DA,DB,DC之间的数量关系是 【拓展延伸】 (2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。若点D是边BC下方一点，∠BDC= 90°，探索线段DA,DB,DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 (3)如图3，两块斜边长都为14cm的三角尺，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角 顶点之间的距离PQ的长为 cm. 1 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-●… 2.阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题。请看 这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,若 B AC=2cm,求四边形ABCD的面积。 图1 思路如下：如图1，延长线段CB到点E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE≌△DAC, 根据全等三角形的性质得AE=AC=2cm,∠EAB=∠CAD, 则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°， 得Sg边#ABCD=S△ABC十S△ADC=S△ABC十S△ABE=S△AEC, 这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形AEC的面积。 (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm; (2)请你用上面学到的方法完成下面的习题。 如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的 面积。 H 图2 2 数学·培优提分练习 3.【问题初探】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的 点，且EF=BE十FD,探究图中∠EAF,∠BAE,∠FAD之间的数量关系。甲同学探究 此问题的方法：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG(SAS), 再证△AEF≌△AGF(SSS),请你根据甲同学的解题思路直接写出∠EAF,∠BAE, ∠FAD之间的数量关系 B 图1 图2 图3 【类比分析】 像(1)中一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方 法一截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段 的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度。请你用这种方法解答(2)。 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B十∠ADF=180°，E,F分别是BC,CD上 的点，且EF一BE十FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°。若点E在CB的延长 线上，点F在CD的延长线上，且EF=BE十FD,请直接写出∠EAF与∠DAB之间的 数量关系。 3 数学·八年级下册（北师大版） ●-●-● 4.阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠B= 2∠C。求证：AB十BD=AC”。 李老师给出了如下简要分析：要证AB十BD=AC就是要证线段的和差问题，李老师采用 了“截长法”，如图2，在AC上截取AE=AB,连接DE,只要证BD= 即可，这就将证 明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出△ ≌△ ,得出∠B= ∠AED及BD= ,再证出∠=∠，进而得出ED=EC,则结论得证。 D 0 图1 图2 图3 请仿照上面的方法解决以下问题： 【变式应用】如图3，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=DC,∠BAC=70°， ∠BDC=110°，以A为顶点作一个35°角，角的两边分别交边DB,CD延长线于点E,F,连接 EF,则BE,EF,FC之间存在什么样的关系？并说明理由。 数学·培优提分练习 …●…●-● 5.【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形得线段的数量关系。 截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等。补短法：延长 较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等。 【应用】如图1，把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD=∠CBD=90°，组成一个四 边形ACBD,以D为顶点作∠MDN,交边AC,BC于点M,N。 D 图1 图2 图3 (1)如图2，若∠ACD=30°，∠MDN=60°，证明：AM+BN=MN。经过思考，小红得到了 这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E,使BE=AM,连接DE,先证明 △DAM≌△DBE,再证明△MDN≌△EDN,即可求得结论。按照小红的思路，请写出 完整的证明过程； (2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM,MN,BN三条线段之间有何数量关系（直接写出你 的结论，不用证明)？ (3)如图3，在(2)的条件下，若将点M,N改在CA,BC的延长线上，完成图3，其余条件不 变，则AM,MN,BN之间有何数量关系？不需要证明。 5