第6章 微专题12 平行四边形中的等腰三角形模型-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 微专题12平行四边形中的等腰三角形模型 类型1平行四边形与角平分线结合 方法模型总结：平行四边形十角平分线→等腰三角形，常见解题模型如下： A 图① 图② 图③ 例1如图，在□ABCD中，∠ABC和∠BCD的平【举一反三】如图，已知□ABCD,DE是∠ADC的 分线BE与CE相交于点E,且点E恰好落在平分线，交BC于点E. AD上. (1)求证：CD=CE; (1)求证：∠BEC=90°； (2)若点E是BC的中点，∠C=108°，求∠DAE (2)若AB=2,求平行四边形ABCD的周长. 的度数. ●>136。 第六章平行四边形 类型2平行四边形中的折叠问题 0 方法模型总结：模型“平行四边形十折叠→等腰三角形”，解题模型如图. D B 例2如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边的中【举一反三】如图，将平行四边形纸片ABCD按 点，将△ABE沿AE进行折叠点B落在点F处， 如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点 (1)求证：CF∥AE; 记为点D',折痕为EF,连接CF (2)若AE=AB=9,BC=12, (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； B--- 求CF的长 (2)若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=6/2,求线段DF 的长。 ●>137。数学八年级下册（北师大版） AD∥BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形). 6.(I)证明：：AG∥BC,∴∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD, D为AC的中点，.AD=CD,在△ADE和△CDF中， ∠EAD=∠FCD, ∠AED=∠CFD, LAD-CD, ∴.△ADE≌△CDF(AAS) (2)2s或6s 第52课时平行四边形的判定(2) 新课学习 互相平分 AO=CO,BO=DO四边形ABCD是平行四边形 核心讲练 例1证明：在△ABC中，D是BC边的中点， .'BD=CD. ",'CF∥BE,∴∠CFD=∠BED.在△CFD和△BED中， .'∠CFD=∠BED,∠FDC=∠EDB, CD=BD,.△CFD≌△BED,∴.DF=DE, 又BD=CD,.四边形BFCE是平行四边形 变1证明：如答图，连接对角线AC交对角线BD于点O. .四边形ABCD是平行四边形， ·巨，是期角缓D上的两 点，且BE=DF, ∴.OB-BE=OD-DF, 即OE=OF, 答图 .四边形AECF是平行四边形. 例2C变2B 课堂过关 1.C2.B 3.(1)证明：，EF∥AD .∠FEC=∠ADC, ∠FEC=∠ADC, 在△FCE和△ACD中，CE=CD, N∠FCE=∠ACD, ∴.△FCE≌△ACD(ASA), ..EF=AD, ∴.四边形ADFE是平行四边形 (2)解：由(1)可知，四边形ADFE是平行四边形， ..DF=AE=5, AB=AC,AD⊥BC, ..CD=BD=2,..CE=CD=2, .DE=2CD=4, EF∥AD,.EF⊥BC, .∠DEF=90°， ∴.EF=DF-DE=52-42=3, ∴.CF=/CE2+EF=/22+32=13 4./13 第53课时平行线间的距离 核心讲练 例1C变1C例28变26 课堂过关 1.B2.D3.A4.C5.126.(1)12(2)120 7.解：AG∥BC, ∴A到BC的距离等于C到AG的距离， .当AE=CF时，S△ACE=S△Ac, 分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，AE=CF, 则2(t+1)=6-3.5t, 解得4=， ②当点F在点C的右侧时，AE=CF, 则2(t+1)=3.5t-6, 解得1一只 故：为：品或9 第54课时三角形的中位线 新课学习 2.平行 一半DE∥BC,DE=号BC 3.中点四边形平行四边形 核心讲练 例1C变1B 例2证明：如答图所示，连接AC, E,F,G,H分别是凸四边形 ABCD的四边的中点， D .EH是△DAC的中位线， ∴EH/AC,EH=号AC, 同理可得，GF∥AC,GF= 合AC, 答图 ∴.EH∥GF,EH=GF, .四边形EFGH是平行四边形 课堂过关 1.B2.B3.D4.A 5.解：(1)如答图，取BD的中点P,连 接PE,PF, P,E,F分别是边BD,AD,BC的 中点，AB=16,CD=30, ∴PE∥AB,PE=合AB=8,PF∥ 答图 CD.PF-CD-15, ,∠ABD=30°，∠BDC=120°， ∠EPD=∠ABD=30°，∠DPF=180°-∠BDC=60,∠EPF =90°， 在Rt△PEF中，EF=PE+PF2=/82+152=17,∴.EF =17； (2)4EF=AB2+CD2,理由如下， 如答图，取BD的中点P,连接PE,PF, P,E,F分别是边BD,AD,BC的中点， .PE/AB,PE-AB,PF/CD,PF-CD. ∠BDC=90°+∠ABD, ∴∠EPD=∠ABD,∠DPF=180°-∠BDC=90°-∠ABD, .∠EPF=∠EPD+∠DPF=9O°， 在Rt△PEF中，EF=PE+PF,即EF=子AB十 CD, ..4EF=AB2+CD2 微专题12平行四边形中的等腰三角形模型 例1(1)证明：：BE,CE分别平分∠ABC和∠BCD, ÷∠EBC-=2∠ABC, ∠ECB=G∠BCD, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD ∴.∠ABC+∠BCD=180°， ·∠EBC+∠ECB=Z∠ABC+∠BCD=9O, ∠BEC=90. (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,CD=AB=2, ∴.∠EBC=∠AEB, BE平分∠ABC,∠EBC=∠ABE, ∴.∠AEB=∠ABE,∴.AB=AE=2, 同理可证DE=DC=2, ∴.AD=DE+AE=4, .CABCD=2X(4+2)=12. 【举一反三】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,.∠ADE=∠DEC, 又，DE平分∠ADC, .∠ADE=∠EDC, .∠DEC=∠EDC,.CD=CE. (2)解：.四边形ABCD是平行四边形，∠C=108° .AD∥BC,AB=CD,∠BAD=∠C=108°， .∠B+∠C=180°， ∠B=180°-108°=72°， .BE=CE,CE=CD,AB=CD, ..AB=BE, ∠BAE=∠BEA=号X(180°-72)=54， ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=108°-54°=54° 例2(1)证明：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF,BE =EF, E是BC边的中点，BE=CE, .EF=CE,∴.∠EFC=∠ECF, :∠AEB+∠AEF+∠CEF=18O°， ∠EFC+∠ECF+∠CEF=180°， .2∠AEF=2∠EFC,∴.∠AEF=∠EFC, .CF∥AE. (2)解：由题意可知，AE为对称轴，点B,F为对应点， 如答图，连接BF交AE于点G, 由折叠的性质可知，AE垂直 平分BF, ·∠BGA=∠BGE,点G为 BF的中点， E是BC边的中点， H 答图 EG为△BCF的中位线， EG-CF, 设EG=x,则CF=2x, ,AE=AB=9,BC=12, AG-AE-EG-9-x,BE-BC-6, 在Rt△AGB中，BG=AB2-AG, 在Rt△EGB中，BG=BE-EG, .92一(9一x)2=62一x,解得x=2, .CF=4. 【举一反三】(1)证明：点C与点A重合，折痕为EF, ∴.∠AEF=∠CEF,AE=EC, :四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,.∠AFE=∠CEF ∠AEF=∠AFE,.AE=AF,∴AF=EC, 又.AF∥EC, 23 参考苔 四边形AFCE是平行四边形， (2)解：如答图，作AG⊥ BE于点G, 则∠AGB = ∠AGE =90°， D 点D的落点为点D,折 痕为EF, GE ..D'F=DF, 答图 ,四边形ABCD为平行四边形，AD=BC, 又，AF=EC,∴.AD-AF=BC-EC,即DF=BE, :在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB= 6/2, ..AG=GB=6, ,四边形AFCE为平行四边形，.AE∥FC, .∠AEB=∠FCE=60°， :在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEB=60°， GE-AG-2/3,BE-BG+GE-6+2/, .D'F=6+2/3. 微专题13平行四边形中的最值问题 例1210 例234 例3解：如答图，取BC的中点G,连接AG. :AB=BG=2,∠ABG=∠D=60°， ∴△ABG是等边三角形， .AG=GC=2,∠AGB= ∠BAG=60°， ∴.∠GAC=∠GCA=30°， ∴∠BAC=90°，作点B关 D 于AC的对称点F,连接 CF,作FE⊥BC于点E, P ,CF=CB,∠CBF=60°， B GEQ ∴.△BCF是等边三角形， 答图 .PB=PF,..PB+PQ=FP+PQ>FE, 则EF的长即为PB十PQ的最小值（垂线段最短）， EF=x4=2g, BP+PQ的最小值为2/3. 例4 例56/2 例6解：如答图，在BC的下方作∠CBT=30°，截取BT,使得 BT=AD,连接ET,AT 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC=4,∠ABC =60°， ∴.∠ADC=∠ABC=60°，∠ADF= 2∠ADC=30, .AD=BT,∠ADF= ∠TBE=30°，DF=BE, D ∴.△ADF≌△TBE (SAS),.'.AF=ET, :∠ABT=∠ABC+ ∠CBT=60°+30°=BE 90°，AB=AD=BT=4, ∴AT=AB+BT= 答图 /4+4=42,∴.AE+ AF=AE+ET, :AE+ET≥AT,.AE+AF≥4/2， .AE+AF的最小值为4/2.