第1章 微专题2 等腰三角形中的方程思想-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 微专题2等腰三角形中的方程思想 类型1等腰三角形中涉及求角度的计算，如果题目没有给出已知角，则可设底角为未知数，如果有 多个等腰三角形，则设最小的底角为未知数，然后利用内角和定理或者等腰三角形、等边三角形性 质列方程求解 例1如图，在△ABC中，已知AB=AC,点D,E【举一反三】如图，△ABC中，AB=AC,点D在 分别在AC,AB上，且BD=BC,AD=DE=EB, AC上，且BD=BC=AD.求∠C的度数. 求∠A的度数 类型2等腰三角形中涉及求边长的计算，优先设等量关系较多的边为未知数，或者设较短的边为 未知数 例2如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6, 【举一反三】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接5cm,BC=3cm,D为AC上的一点，将△BCD BD,求CD的长. 沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的点E处， 求AD的长. ●>18。 第一章三角形的证明及其应用 类型3等腰三角形涉及动点问题的计算优先设时间为未知数，然后表示出其他线段， 例3如图，等边△ABC的边长为15cm,现有两【举一反三】如图，已知等边△ABC的边长为6cm, 点M,N分别从点A,点B同时出发，沿三角形现有两点M,N分别从点A,点B同时出发，沿 的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s,点 三角形的边运动，运动时间为ts,已知点M的速 N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第 M,N同时停止运动. 一次到达B点时，M,N同时停止运动 (I)点M,N运动s后，M,N两点重合； (2)点M,N运动几秒后，△AMN为等边三角形？ (3)当点M,N在BC边上运动时，能否得到以 MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请 备用图1 备用图2 直接写出此时M,N运动的时间， (1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在 ;当M,N运动s时， 点N追上点M. (2)当点M,N在BC边上运动时，能否得到以 一B MN为底边的等腰△AMN?如存在，请求出 此时M,N运动的时间. (3)当△AMN为直角三角形时，运动时间t的值 是 ●>19。、C B B4 答图1 答图2 如答图1，∠ACB=∠D+∠DAC=90°+20°=110°； 如答图2，∠ABD=20°，故顶角∠A=90°-∠ABD=90° -20°=70° 【举一反三】解：①如答图1，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知∠ABD=45°，∠BDC=90°， ∴.∠A=∠BDC-∠ABD=45°， ∴∠ABC=∠C=2(180°-∠A)=67.5; D B 答图1 答图2 ②如答图2，当该等腰三角形为钝角三角形时 由题意可知∠ABD=45°，∠D=90°， ∠BAC=∠D+∠ABD=135°， ÷∠ABC=∠C=号(180-∠A=2.5 综上可知，这个等腰三角形的底角度数为67.5°或 22.5 微专题2等腰三角形中的方程思想 例1解：AD=DE=EB, ∴设∠BDE=∠ABD=x, .∠AED=∠A=2x, .BD=BC,AB=AC, .∠BDC=∠C=∠ABC=3x, 在△ABC中，3x+3x+2x=180°， 解得x=22.5°. ∴∠A=2x=22.5°X2=45°. 【举一反三】解：设∠A=x. .AD=BD, .∠ABD=∠A=x; BD=BC, '.∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x; .AB=AC, ∴.∠ABC=∠BCD=2x, .∠DBC=x; ,x+2x+2x=180°， ∴.x=36°， .∠C=72 例2解：AB=10,AC=8,BC=6, ∴.AC心+BC=82+62=102=AB2, .△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ,DE垂直平分AB, ∴.AD=BD, 设CD=x,则AD=BD=8一x, 在Rt△BCD中，(8-x)2=62+x2, 解得x=子CD=子 4· 【举一反三】解：.∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm, ∴.AC=AB2-BC=4cm, ,·将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的 参考苔案 点E处， ,∴.BE=BC=3cm,DE=DC,∠BED=∠C=90°， .'.AE=AB-BE=2 cm, .设AD=x,则CD=DE=4一x, '.在Rt△ADE中，AD=AE+DE, 即x2=22+(4-x)2, “解得x=号， AD=号cm 例3(1)15 解：(2)在等边△ABC中， ∴，AB=BC=CA,∠A=60, 如图A点M,N运动xs后，△AMN为等边三角形， 由运动知，AN=15-2x,AM=x, .15一2x=x,解得x=5, ∴.点M,N运动5s后，△AMN是 等边三角形 (3)存在，M,N运动的时间为20s, 理由如下： 答图1 如答图2，设M,N运动ys后，得到以MN为底边的等 腰三角形AMN, .AM=AN,.∠ANM =∠AMN, :△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB,∠C=∠B=60°， '.△ACN≌△ABM(AAS), ∴.CN=BM,∴.CM=BN, 由运动知，CM=y一15，BN= 答图2 15×3-2y, .y-15=15×3-2y,.y=20, 故点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为20s. 【举一反三】(1)线段BC的中点6 解：(2)当点M,N在BC边上运动时，可以得到以 MN为底边的等腰三角形， 由(1)知6秒时M,N两点重合，恰好在C处， 如答图，假设△AMN是等腰三 角形， 设M,N运动ts时，得到以 MN为底的等腰△AMN, ..AN-AM, CM=t-6,BN=18-2t, 答图 .'.∠AMN=∠ANM, ∴.∠AMC=∠ANB, '△ACB是等边三角形， ∴.∠C=∠B,AB=AC, ∴.△ACM≌△ABN(AAS), ∴.CM=BN, .t-6=18-2t, 解得t=8,符合题意 所以假设成立，当M,N运动8s时，能得到以MN 为底的等腰三角形， (3)2或号或号或9 第8课时直角三角形(1) 新课学习 1.(1)互余(2)a2+b=c 2.(1)直角(2)直角 3.互逆逆互逆逆